专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型-【B卷必考】2021-2022学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型

类型一、面积问题

例1．在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与x轴交于A点 （2，0）与轴交于点B（0，1）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）点M（1，y1），N（3，y2）在直线AB上，比较y1与y2的大小.

（3）若x轴上有一点C，且S△ABC=2，求点C的坐标

【变式训练1】已知一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．

（）分别求，的值；

（）点为轴上一动点，如果的面积是，请求出点的坐标．

【变式训练2】如图，在正方形中，，点为线段上的一个动点．设，由点首尾顺次相接形成图形的面积为．

（1）求关于的函数表达式及的取值范围；

（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为，且为第一象限内位于直线右侧的一个动点，若正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的点坐标；

（3）在（2）的条件下，若为经过且垂直于轴的直线，为上的一个动点，使得，请直接写出符合条件的点的坐标．

【变式训练3】如图，已知直线与过点A（3，0）的直线交于点C（1，m），且与x轴交于点B，与y轴交于点D．

（1）求直线的解析式；

（2）若点D关于x轴的对称点为P，求△PBC的面积．

类型二、一次函数与平行四边形

例1.如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别交于点，，点是直线上的一个动点，连接．

（1）求直线的函数解析式；

（2）如图1，若轴，求点到直线的距离；

（3）如图2，点，点是直线上的动点，试探索点，在运动过程中，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点，的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式训练1】一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P（-3，2），与x轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求k的值及点A、B的坐标；

（2）已知点C（-1，0），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．

【变式训练2】平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点．

（1）求，的值；

（2）直线与直线，分别交于M，N两点，当MN＝3时，若以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．

类型三、一次函数与等腰三角形

例1．一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A（，0），B（0，1），以AB为边在第一象限内做等边△ABC．

（1）线段AB的长是 　 　，∠BAO＝　 　°，点C的坐标是 　 　；

（2）如果在第二象限内有一点P（a，1），试用含a的代数式表示四边形ABPO的面积．

（3）在y轴上存在点M，使△MAB为等腰三角形，请直接写出点M的坐标．

【变式训练1】如图一，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．

（1）求直线的解析式；

（2）如图二，点在直线上且在轴左侧，过点作轴交直线于点，交轴于点，当，求出，两点的坐标；

（3）将直线：向左平移12个单位得到直线交轴于点，点是点关于原点对称点．过点作直线轴．点在直线上，写出以点，，，为顶点且为腰的等腰三角形，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．

【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2），且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴交于点C．

（1）求直线n的函数表达式；

（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；

（3）若△ABC是等腰三角形，求直线l的函数表达式．

【变式训练3】如图，直线，与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．

（1）______；点的坐标为______．

（2）求直线的解析表达式；

（3）求的面积；

（4）在直线上存在异于点的另一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的横坐标？

类型四、一次函数与直角三角形

例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数y＝x＋b的图象交于点C（－2，m）．

（1）求m和b的值；

（2）函数y＝－x＋b的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M（到A停止运动），设点E的运动时间为t秒．

①当ΔACE的面积为12时，求t的值；

②在点E运动过程中，是否存在t的值，使ΔACE为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【变式训练1】如图1，在菱形中，，对角线交于点从点出发，沿方向匀速运动，点运动速度为．图2是点运动时，的面积随点运动时间变化的函数图像．

（1）____________；

（2）点在上运动时，为何值时，四边形的面积为；

（3）在点运动过程中，是否存在某一时刻使得为直角三角形，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【变式训练2】在平面直角坐标系xOy中，将直线向下平移2个单位后，与一次函数的图象相交于点A．

（1）将直线向下平移2个单位后对应的解析式为　         ；

（2）求点A的坐标；

（3）若P是x轴上一点，且满足△OAP是等腰直角三角形，直接写出点P的坐标．

类型五、最值问题

例1．如图，将直线向上平移后经过点，分别交x轴y轴于点B、C．

（1）求直线的函数表达式；

（2）点P为直线上一动点，连接．问：线段的长是否存在最小值？若存在，求出线段的最小值，若不存在，请说明理由．

【变式训练1】如图，四边形是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，，点E在边上．

（1）若点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M，将纸片沿直线折叠，顶点C恰好落在上，并与上的点G重合．

①求点G、点E的坐标；

②若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围．

（2）若点E为上的一动点，点C关于直线的对称点为G，连接，请求出线段的最小值．