专题07 一次函数与几何综合问题的三种考法-【B卷常考】2022-2023学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题07 一次函数与几何综合的三种考法

类型一、面积问题

例1．如图，点A（1，0），B（0，）分别在x轴和y轴上，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC＝30°.

（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；

（2）若点P（m，）为坐标平面内一点，使得△APB与△ABC面积相等，求m的值.

【答案】(1)y=x+，点C(2，)；(2)m=或.

【解析】试题解析：

(1)

如图，过点C作CD⊥OA，垂足为D.设直线AB的解析式为y=kx+b (k≠0).

将点A的坐标(1, 0)与点B的坐标(0,)代入该直线的解析式，得，

解之，得.∴直线AB的解析式为.

∵点A的坐标是(1, 0)，点B的坐标是(0,)，∴OA=1，OB=，

∴在Rt△AOB中，.

∵在Rt△ABC，∠ABC=30°，∴，

∵在Rt△ABC中，AB2=BC2-AC2=(2AC)2-AC2=3AC2=22=4，∴AC=.

∵在Rt△AOB中，，∴∠OBA=30°，

∴在Rt△AOB中，∠OAB=90°-∠OBA=60°，

∵∠BAC=90°，∴∠CAD=180°-∠BAC-∠OAB=180°-90°-60°=30°.

∴在Rt△CAD中，，，

∴OD=OA+AD=1+1=2.，∴点C的坐标为(2,).

(2)

如图，作线段OB的垂直平分线MN，交OB于点G，交AB于点F. 过点A作AE⊥MN，垂足为E.

∵OB=，点P的纵坐标为，∴点P在OB的垂直平分线MN上.

∵Rt△ABC的面积为，

∴△APB的面积为，即△AFP的面积与△BFP的面积之和为，

∴.

∵AE+BG=OB=，∴，∴.

∵点F在OB的垂直平分线MN上，∴，∴点F的坐标为(，).

∵点F的坐标为(，)，点P的坐标为(m，)，

∴，

∴或，

∴或，

即m的值为或.

例2．如图,已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B,另一直线y=kx+b(k≠0)经过点C(1,0),且把△AOB分成两部分.

(1)若△AOB被分成的两部分面积相等,求k和b的值;

(2)若△AOB被分成的两部分面积比为1∶5,求k和b的值.

【答案】（1）b=2，k=-2；（2）

【详解】解：（1）由题意知：直线y＝kx＋b（k≠0）必过C点，

∵C是OA的中点，∴直线y＝kx＋b一定经过点B，C，如图（1）所示，

把B，C的坐标代入可得：∴，解得；

（2）∵S△AOB＝×2×2＝2，∵△AOB被分成的两部分面积比为1：5，

那么直线y＝kx＋b（k≠0）与y轴或AB交点的纵坐标就应该是：2×2×＝，

①当y＝kx＋b（k≠0）与直线y＝−x＋2相交时，交点为D，如图（2）所示，

当y＝时，直线y＝−x＋2与y＝kx＋b（k≠0）的交点D的横坐标就应该是−x＋2＝，∴x＝，

即交点D的坐标为（，），又根据C点的坐标为（1，0），可得：，∴，

②当y＝kx＋b（k≠0）与y轴相交时，交点为E，如图（3）所示，

∴交点E的坐标就应该是（0，），又有C点的坐标（1，0），可得：，∴

因此：k＝2，b＝−2或k＝−，b＝．

例3.如图，直线y＝kx＋6与x轴、y轴分别相交于点E，F，点E的坐标为(8，0)，点A的坐标为(6，0)，点P(x，y)是第一象限内直线上的一个动点(点P不与点E，F重合)．

(1)求k的值；

(2)在点P运动的过程中，求出△OPA的面积S与x的函数关系式；

(3)若△OPA的面积为，求此时点P的坐标．

【答案】(1) y＝－x＋6.(2)S＝－x＋18(0＜x＜8)(3) P()．

解：(1)由题意，得8k＋6＝0，解得k＝－.

∴y＝－x＋6.

(2)过点P作PD⊥OA于点D.

∵点P(x，y)是第一象限内直线上的一个动点，∴PD＝－x＋6(0＜x＜8)．

∵点A的坐标为(6，0)，∴S＝×6×(－x＋6)＝－x＋18(0＜x＜8)．

(3)∵△OPA的面积为，∴－x＋18＝，解得x＝.

将x＝代入y＝－x＋6，得y＝，∴P(，)．

【变式训练1】如图，已知直线y＝－2x＋6与x轴交于点A，与y轴交于点B．

(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________．

(2)求△AOB的面积．

(3)直线AB上是否存在一点C(点C与点B不重合)，使△AOC的面积等于△AOB的面积？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) (3，0)，(0，6)；(2)9；(3)存在，点C的坐标为(6，－6)．

【详解】（1）当y＝0时，－2x＋6＝0，解得x＝3，则A点的坐标为（3，0）；当x＝0时，y＝－2x＋6＝6，则B点的坐标为（0，6）.

（2）S△AOB＝×3×6＝9.

（3）存在.理由如下：设点C的坐标为（t，－2t＋6）.

因为△AOC的面积等于△AOB的面积，所以×3×|－2t＋6|＝9，解得t1＝6，t2＝0（与点B重合，舍去）.所以点C的坐标为（6，－6）.

【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线y＝2x＋m与y轴交于点A，与直线y＝－x＋5交于点B（4，n），P为直线y＝－x＋5上一点.

（1）求m，n的值；

（2）求线段AP的最小值，并求此时点P的坐标.

【答案】（1）m＝－7，n＝1；（2）P（6，－1）.

【详解】（1）∵点B（4，n）在直线上y＝－x＋5上，∴n＝1，即B（4，1），

∵点B（4，1）在直线上y＝2x＋m上，∴m＝－7；

（2）过点A作直线y＝－x＋5的垂线，垂足为P，

此时线段AP最短，∴∠APN＝90°，

∵直线y＝－x＋5与y轴交于点N（0，5），

直线y＝2x－7与y轴交于点A（0，－7），

∴AN＝12，∠ANP＝45°，

∴AM＝PM＝6，∴OM＝1，

∴P（6，－1）.

【变式训练3】如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，x轴上一点C的坐标为，点P是直线l上一点．

(1)当点P的横坐标为2时，求的面积；

(2)若，求此时点P的坐标．

【答案】(1)9；(2)(4,2)或(12,-2)

【解析】(1)∵P点在直线l上，其横坐标为2，∴当x=2时，，

∵C(6,0)，∴OC=6，∴；

(2)当x=0时，，∴B点坐标为(0,4)，∴OB=4，

当y=0时，，解得x=8，∴A点坐标为(8,0)，∴OA=8，∴，

∵，∴，∴，

即，解得，即，

当时，，解得x=4，∴此时P点坐标为(4,2)，

当时，，解得x=12，∴此时P点坐标为(12,-2)，

综上：P点坐标为(4,2)、(12,-2)．

类型二、几何图形存在性问题

例1.直线AB：y＝－x＋b分别与x，y轴交于A（8，0）、B两点，过点B的直线交x轴轴负半轴于C，且OB：OC＝4：3．

（1）求点B的坐标为 __________；

（2）求直线BC的解析式；

（3）动点M从C出发沿射线CA方向运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设M运动t秒时，当t为何值时△BCM为等腰三角形．

【答案】(1)B(0，8)；(2) y＝x＋8；(3)10秒、秒或12秒.

【详解】解：（1）y=﹣x+b分别与x轴交于A（8、0），得：﹣8+b=0．解得b=8，

即函数解析式为y=﹣x+8，当x=0时，y=8，B点坐标是（0，8）；

（2）由OB：OC=4：3，BC=8，得：8：BC=4：3，解得BC=6，即C（﹣6，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b，图象经过点B，C，得：，解得： ，

∴直线BC的解析式为y=x+8；

（3）设M点坐标（a，0），由勾股定理得：BC==10，

分三种情况讨论：①当MC=BC=10时，由路程处以速度等于时间，得10÷1=10（秒），

即M运动10秒，△BCM为等腰三角形；

②当MC=MB时，MC2=MB2，即（a+6）2=a2+82，

化简，得12a=28，解得a=即M（，0）．MC=﹣（﹣6）=+6=，

由路程除以速度等于时间，得÷1=（秒），即M运动秒时，△BCM为等腰三角形；

③当BC=BM时，得OC=OM=6，即MC=6﹣（﹣6）=6+6=12，

由路程除以速度等于时间，得12÷1=12（秒），即M运动12秒时，△BCM为等腰三角形．

综上所述：t=10（秒），t=（秒），t=12（秒）时，△BCM为等腰三角形．

例2.根据题意，解答问题：

（1）如图1，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长.

（2）如图2，类比（1）的解题过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出点M（3，4）与点N（﹣2，﹣1）之间的距离.

（3）在（2）的基础上，若有一点D在x轴上运动，当满足DM=DN时，请求出此时点D的坐标.

【答案】（1）；（2）；（3）点D的坐标为（2，0）.

【详解】详解：（1）令x=0，得y=4，即A（0，4）．令y=0，得x=-2，即B（-2，0）．

在Rt△AOB中，根据勾股定理有：AB＝；

（2）如图2，过M点作x轴的垂线MF，过N作y轴的垂线NE，MF和NE交于点C．

根据题意：MC=4-（-1）=5，NC=3-（-2）=5．则在Rt△MCN中，根据勾股定理有：

MN＝；

（3）如图3，设点D坐标为（m，0），连结ND，MD，

过N作NG垂直x轴于G，过M作MH垂直x轴于H．

则GD=|m-（-2）|，GN=1，DN2=GN2+GD2=12+（m+2）2

MH=4，DH=|3-m|，DM2=MH2+DH2=42+（3-m）2

∵DM=DN，∴DM2=DN2，即12+（m+2）=42+（3-m）2，整理得：10m=20  得m=2 

∴点D的坐标为（2，0）．

例3.如图，在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数y＝x＋b的图象交于点C（－2，m）．

（1）求m和b的值；

（2）函数y＝－x＋b的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M（到A停止运动），设点E的运动时间为t秒．

①当ΔACE的面积为12时，求t的值；

②在点E运动过程中，是否存在t的值，使ΔACE为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）m=4，b=；（2）①t=5；②t＝4或t＝6

【解析】（1）∵点C（−2，m）在直线y＝−x＋2上，

∴m＝−（−2）＋2＝2＋2＝4，∴点C（−2，4），

∵函数y＝x＋b的图象过点C（−2，4），∴4＝×（−2）＋b，得b=，即m的值是4，b的值是；

（2）①∵函数y＝−x＋2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，∴点A（2，0），点B（0，2），

∵函数y＝x＋的图象与x轴交于点D，∴点D的坐标为（−14，0），∴AD＝16，

∵△ACE的面积为12，∴(16−2t)×4÷2＝12，解得，t＝5．即当△ACE的面积为12时，t的值是5；

②当t＝4或t＝6时，△ACE是直角三角形，理由：当∠ACE＝90°时，AC⊥CE，

∵点A（2，0），点B（0，2），点C（−2，4），点D（−14，0），

∴OA＝OB，AC＝4，∴∠BAO＝45°，∴∠CAE＝45°，∴∠CEA＝45°，∴CA＝CE＝4，∴AE＝8，

∵AE＝16−2t，∴8＝16−2t，解得，t＝4；

当∠CEA＝90°时，∵AC＝4，∠CAE＝45°，∴AE＝4，

∵AE＝16−2t，∴4＝16−2t，解得，t＝6；

由上可得，当t＝4或t＝6时，△ACE是直角三角形．

【变式训练1】如图，点A的坐标为（4，0）．点P是直线y=x+3在第一象限内的点，过P作PMx轴于点M，O是原点．

（1）设点P的坐标为（x，y），试用它的纵坐标y表示△OPA的面积S；

（2）S与y是怎样的函数关系？它的自变量y的取值范围是什么？

（3）如果用P的坐标表示△OPA的面积S，S与x是怎样的函数关系？它的自变量的取值范围是什么？

（4）在直线y=x+3上求一点Q，使△QOA是以OA为底的等腰三角形．

【答案】（1）S=2y；（2））S是y的正比例函数，自变量y的取值范围是0＜y＜3；（3）S=x+6，S是x的一次函数，自变量的取值范围是0＜x＜6；（4）Q的坐标为（2，2）．

【详解】(1)直线y= x+3与)与y轴的交点为B(0，3)，设点P(x，y)，因为点P在第一象限，x>0，y>0，所以S=OA·PM=×y×4=2y．

(2)S是y的正比例函数，自变量y的取值范围是0<y<3．

(3)S=2y=2( x+3)= x+6，S是x的一次函数，自变量的取值范围是0<x<6．

(4)因为△QOA是以OA为底的等腰三角形，所以点Q在OA的中垂线上，

设Q (x0, y0)     则     解得     点Q的坐标为( 2，2)．

【变式训练2】已知函数 的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点M（2，4）； 在x轴上有一动点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点C，D

(1)求直线AB的函数关系式及点A的坐标；

(2)设点p(a，0)，若CD＝OB，求a的值及点C的坐标；

(3)在轴上是否存在点E，使为等腰三角形？如果存在，求出点E的坐标；如果不存在，说明理由．

【答案】(1)y＝－x＋5，点A的坐标(10，0)，(2)a＝3或1，C的坐标（3，）或（1，）

(3)存在，点E的坐标（0，8）、（0，），（0，－），（0，）

【解析】(1)把点M（2，4）代入y=-x+b中，可得：4=-×2+b，解得：b=5，

所以直线AB的函数关系式是y=-x+5，把y=0代入y=-x+5得x=10，∴点A坐标为（10，0）；

(2)把x=0代入y=-x+5得y=5，∴B点坐标为（0，5），∴OB=5，

∵CD=OB，∴CD=，

∵PC⊥x轴，点P（a，0），∴C点坐标为（a，-a+5），D点坐标为（a，2a），

∴|2a-（-a+5）|=，∴a=3或1，

当a=3时，y=-x+5=；当a=1时，y=-x+5=；∴点C的坐标为（1，）或（3，）；

(3)设点E（0，m），

∵点M（2，4）．∴OM2=22+42=20，

OE2=m2，EM2=22+（m-4）2=m2-8m+20，

①OE=OM时，OE2=OM2，∴m2=20，∴m=±2，

∴点E的坐标为（0，2）或（0，-2）；

②OE=EM时，OE2=EM2，∴m2=m2-8m+20，∴m=，∴点E的坐标为（0，）；

③OM=EM时，OM2=EM2，∴20=m2-8m+20，∴m=8或0（舍去），∴点E的坐标为（0，8）；

综上，存在，点E的坐标为（0，2）或（0，-2）或（0，）或（0，8）．

【变式训练3】如图，直线（）与x轴、y轴分别交于点B，C，且OB=2．

(1)求k的值．

(2)若点A是直线y=kx-1上一动点，且点A在第一象限，当△AOB的面积为2时，求点A的坐标．

(3)在（2）的条件下，y轴上是否存在点P，使得△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)k的值为；(2)点A的坐标为（6，2）；(3)0，) 0，-) 0，) 0，)

【解析】(1)解∶∵OB=2．∴点B（2，0），

把点B代入，得：，解得：；

(2)解：由（1）得：直线的解析式为，

∵△AOB的面积为2，点A在第一象限，

∴，OB=2，∴，∴当yA=2时，，∴A（6，2）；

(3)解：存在，理由如下：∵A（6，2），∴，

设点P（0，m），当时，如图，

点P的坐标为或（0，-）；

当AP=OP时，AP2=OP2，

∴，解得：m=10，∴此时点的坐标为（0，10）；

当AP=OA时，AP2=OA2，

∴，解得：m=4或0（舍去）；

∴此时点的坐标为（0，4）；

综上所述，存在点P的坐标为或（0，-）或（0，10）或（0，4）．

【变式训练4】在平面直角坐标系xOy中，将直线向下平移2个单位后，与一次函数的图象相交于点A．

（1）将直线向下平移2个单位后对应的解析式为　         ；

（2）求点A的坐标；

（3）若P是x轴上一点，且满足△OAP是等腰直角三角形，直接写出点P的坐标．

【答案】（1）；（2）（2，2）；（3）（2，0）或（4，0）．

【解析】（1）根据题意，得；故答案为：．

（2）由题意得：，解得：，∴点A的坐标为（2，2）；

（3）如图所示，

∵P是x轴上一点，且满足△OAP是等腰直角三角形，

当OA=OP时，P点坐标为（4，0），当OP=AP时，P点坐标为（2，0），

综上，P点的坐标为：（2，0）或（4，0）．

类型三、最值问题

例1．如图，将直线向上平移后经过点，分别交x轴y轴于点B、C．

（1）求直线的函数表达式；

（2）点P为直线上一动点，连接．问：线段的长是否存在最小值？若存在，求出线段的最小值，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，线段的最小值为4.8．

【解析】（1）设平移后的直线的解析式为，代入得，解得

∴直线的解析式为；

（2）存在，理由如下：令x=0，得y=6，∴C（0，6），故OC=6

令y=0，得x=8，∴B（8，0）故OB=8∴BC=

∵OP⊥BC时，线段最小，

∵S△ABC==，∴=，即线段的最小值为4.8．

【变式训练1】如图，四边形是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，，点E在边上．

（1）若点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M，将纸片沿直线折叠，顶点C恰好落在上，并与上的点G重合．

①求点G、点E的坐标；

②若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围．

（2）若点E为上的一动点，点C关于直线的对称点为G，连接，请求出线段的最小值．

【答案】（1）①G（3，4），E（，5）；②-15≤n≤-4；（2）

【解析】（1）由折叠的性质可知，OG=OC=5，由勾股定理得，GN=，

∴点G的坐标为（3，4）；设CE=x，则EM=3-x，由折叠的性质可知：EG=CE=x，

∵GN=4，∴GM=5-4=1，

在Rt△EMG中，，即，解得：x=，

∴点E的坐标为（，5）；

设OE所在直线的解析式为：y=kx，则k=5，解得，k=3，

∴OE所在直线的解析式为：y=3x，

∵直线l：y=mx+n平行于直线OE，∴m=3，即直线l的解析式为y=3x+n，

当直线l经过点M（3，5）时，5=3×3+n，解得，n=-4，

当直线l经过点A（5，0）时，0=3×5+n，解得，n=-15，

∴直线l与长方形ABMN有公共点时，-15≤n≤-4；

（3）连接OB，OG，

∵OC=BC=5，∠OCB=90°，∴BC=OC=，

∵点C关于直线OE的对称点为点G，∴OC=OG=5，∴BG≥OB-OG，

∴当O、B、G三点共线时，BG取得最小值，

∴BG的最小值为．

【变式训练2】在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，，记旋转角为．

(1)如图①，若，求的长；

(2)如图②，若，求点的坐标；

(3)在（2）的条件下，边上有一点，旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）

【答案】(1)；(2)；(3)

【解析】(1)解：∵绕点A旋转得到，，

∴，∴，∴．

∵，，∴，，∴，∴；

(2)解：过点作轴于点．

∵，∴，∴， ∴，

∴，，∴；

(3)解：由旋转知，，∴，

如下图，作A关于y轴的对称点C，连接交y轴于P，

∴，此时，的值最小．

∵点C与点A关于y轴对称，∴．

∵，∴直线的解析式为，令，，∴．