高中数学空间向量的应用第1课时导学案

这是一份高中数学空间向量的应用第1课时导学案，共6页。
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]
[课时目标]
1.会用向量语言描述直线和平面. 2.理解直线的方向向量和平面的法向量.
3.会求直线的方向向量和平面的法向量.
逐点清(一) 空间中点的位置向量和直线的向量表示
[多维理解]
1.点的位置向量
如图,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量OP来表示.
我们把 称为点P的位置向量.
|微|点|助|解|
(1)用点的位置向量表示点时,基点可以任意选取;
(2)在确定好基点的情况下,点P的位置向量由点P的位置唯一确定;
(3)在空间直角坐标系中,如果选择坐标原点O作为基点,那么空间中点P的位置向量的坐标即为点P的坐标.
2.直线的向量表示
(1)设A是直线l上一点,a是直线l的方向向量,在直线l上取AB=a,设P是直线l上的任意一点,
①点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得AP=ta,即AP=tAB.
②取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OP=OA+ta,即OP=OA+tAB.
(2)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量 确定.
|微|点|助|解|
(1)空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.
(2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量,且直线l的方向向量有无数个.
(3)给定空间中任意一点A和非零向量a,就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线.
[微点练明]
1.若A(0,1,2),B(2,5,8)在直线l上,则直线l的一个方向向量为( )
A.(3,2,1)B.(1,3,2)
C.(2,1,3)D.(1,2,3)
2.已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过点A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,则a+b=( )
A.0 B.1 C.32 D.3
3.在空间直角坐标系中,直线l过点A(1,0,-1)且以μ=(2,3,4)为方向向量,M(x,y,z)为直线l上的任意一点,则点M的坐标满足的关系式是( )
A.x−12=y3=z+14B.x+12=y3=z−14
C.x−13=y2=z+14D.x−12=y4=z+13
4.在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为 ,直线BC1的一个方向向量为 .
逐点清(二) 空间中平面的向量表示
[多维理解]
1.空间平面的向量表达式
如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,
使OP=OA+xAB+yAC.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.空间中任意平面由空间一点及两个 向量唯一确定.
2.平面的法向量
如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的 .给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·AP=0}.
|微|点|助|解|
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.
(2)一个平面的法向量有无限多个,它们互相平行.
(3)求平面法向量的方法与步骤
①求平面ABC的法向量时,要选取平面内两个不共线向量,如AC,AB.
②设平面的法向量为n=(x,y,z).
③联立方程组n·AC=0,n·AB=0并求解.
④所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系,设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.
[微点练明]
1.已知平面α内有两点M(-2,3,1),N(2,4,1),若平面α的一个法向量为n=(6,a,6),则a=( )
A.-32 B.32 C.-24 D.24
2.已知点A(1,1,0),B(-1,0,2),C(0,2,0)都在平面α内,则平面α的一个法向量的坐标可以是( )
A.1,1,−32B.1,−1,12
C.(2,2,3)D.(2,-2,-1)
3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求:
(1)平面BDD1B1的一个法向量;
(2)平面BDEF的一个法向量.
4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,AB=AP=1,AD=3,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面PCD的一个法向量.
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1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.向量OP 2.(2)唯一
[微点练明] 1.D 2.D 3.A
4.(0,0,1) (0,1,1)(答案不唯一)
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.不共线 2.法向量
[微点练明]
1.选C 由题可得MN=(4,1,0),因为平面α的一个法向量为n=(6,a,6),所以n⊥MN,
所以n·MN=(6,a,6)·(4,1,0)=6×4+a×1+6×0=0,解得a=-24.
2.选C 由A(1,1,0),B(-1,0,2),C(0,2,0),得AB=(-2,-1,2),AC=(-1,1,0),设n=(x,y,z)是平面α的法向量,则n·AB=0,n·AC=0,即−2x−y+2z=0,−x+y=0,取x=2,则y=2,z=3,故n=(2,2,3),则与n=(2,2,3)共线的向量也是法向量,经验证,只有C正确.
3.解:(1)由题意,可得D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),连接AC,因为底面ABCD为正方形,所以AC⊥BD.又因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
所以DD1⊥AC,且BD∩DD1=D,则AC⊥平面BDD1B1,所以AC=(-2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量.(答案不唯一).
(2)DB=(2,2,0),DE=(1,0,2).
设平面BDEF的法向量为n=(x,y,z),则n·DB=0,n·DE=0,所以2x+2y=0,x+2z=0,令x=2,得y=-2,z=-1,所以n=(2,-2,-1)即为平面BDEF的一个法向量.(答案不唯一).
4.解:如图所示,建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,3,0),D(0,3,0),所以PC=(1,3,-1),PD=(0,3,-1).
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z).
则n·PC=0,n·PD=0,即x+3y−z=0,3y−z=0,
令y=1,则z=3,x=0,则n=(0,1,3),所以平面PCD的一个法向量为n=(0,1,3).