2025人教A版 高中《数学》必修一 第一章 集合与常用逻辑用语 课后练习（含答案解析）

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第一章　集合与常用逻辑用语1.1　集合的概念题组一　集合的概念与元素的特性1.已知a∈R,b∈R,若集合a,ba,1与{a2,a+b,0}相等,则a2 023+b2 024的值为(　　)A.-2　　B.-1　　C.1　　D.22.设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为(　　)A.-8　　B.-16　　C.8　　D.163.若集合{a,b,c,d}与{1,2,3,4}相等,且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4中有且只有一个是正确的,则符合条件的所有有序数组(a,b,c,d)的个数是　　　　. 题组二　元素与集合的关系4.若x∈{1,2,x2},则x的值为(　　)A.0,2　　B.0,2　　C.1,2　　D.0,1,25.(2024山东临沂期中)已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,则(　　)A.a+b∈PB.a+b∈QC.a+b∈MD.a+b不属于P,Q,M中的任何一个6.若M为关于x的一元二次方程x2-ax-5=0的所有实数根组成的集合,且-5∈M,则集合M中所有元素之和为　　　　. 7.已知集合A={1,2,3,4,6},B=xy|x,y∈A,则集合B中的元素个数为　　　　. 8.设集合A=2,3,a2-3a,a+2a+7,B={|a-2|,3},已知4∈A且4∉B,则a的取值构成的集合为　　　　. 题组三　集合的综合问题9.(多选题)设非空集合S={x|m≤x≤n},其中m,n∈R,若集合S满足:当x∈S时,有x2∈S,则下列结论正确的是　(　　)A.若m=1,则S={x|x≥1}B.若m=-12,则14≤n≤1C.若n=12,则-22≤m≤0D.若n=1,则-1≤m≤010.设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则11−x∈A.(1)若2∈A,试证明A中还有另外两个元素;(2)判断集合A是不是双元素集合,并说明理由;(3)若A中元素个数不超过8,所有元素的和为143,且A中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合A.答案与解析第一章　集合与常用逻辑用语1.1　集合的概念1.B　根据题意得a≠0,故ba=0,则b=0,因此{a,0,1}与{a2,a,0}相等,由集合中元素的互异性知a≠1,故a2=1,故a=-1,当a=-1,b=0时,{-1,0,1}={1,-1,0},符合题意,所以a2 023+b2 024=-1.故选B.2.C　由题意得A={-2,1},B={-1,2},又-2×(-1)=2,-2×2=-4,1×(-1)=-1,1×2=2,∴A☉B={-4,-1,2},因此-4×(-1)×2=8.故选C.3.答案　6解析　若仅有①正确,则a=1,b=1,c≠2,d=4,此时a=b,不满足集合中元素的互异性,故此种情况不成立.若仅有②正确,则a≠1,b≠1,c≠2,d=4,此时有(2,3,1,4),(3,2,1,4)两种情况.若仅有③正确,则a≠1,b=1,c=2,d=4,此时仅有(3,1,2,4)一种情况.若仅有④正确,则a≠1,b=1,c≠2,d≠4,此时有(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2)三种情况.综上,符合条件的所有有序数组(a,b,c,d)的个数是6.方法技巧　先用肯定条件确定参数的值,再用否定条件进行讨论.4.A　当x=1时,x2=1,不满足集合中元素的互异性;当x=2时,集合为{1,2,4},成立;当x=x2时,x=1(舍去)或x=0,当x=0时,集合为{1,2,0},成立.∴x=0或x=2.故选A.解题模板　由集合中元素的特性求参数的值的步骤5.B　∵a∈P,∴a=2k1,k1∈Z.∵b∈Q,∴b=2k2+1,k2∈Z.∴a+b=2(k1+k2)+1=2k+1(k1,k2,k∈Z),∴a+b∈Q.故选B.解题模板　集合{x∈A|P(x)}中的P(x)为集合A中元素x的共同特征,若a∈A,则a满足P(x);反过来,若a满足P(x),则a∈A.6.答案　-4解析　∵-5∈M,∴25+5a-5=0,解得a=-4,∴原方程为x2+4x-5=0,由根与系数的关系得,集合M中所有的元素之和为-4.7.答案　13解析　∵集合A={1,2,3,4,6},∴B=xy|x,y∈A=1,12,13,14,16,2,23,3,32,34,4,43,6,∴集合B中的元素个数为13.8.答案　{4}解析　∵4∈A,∴a2-3a=4或a+2a+7=4.当a2-3a=4时,解得a=-1或a=4,当a=-1时,a+2a+7=4,不满足集合中元素的互异性,舍去;当a=4时,A=2,3,4,232,B={2,3},满足题意.当a+2a+7=4时,解得a=-1(舍去)或a=-2,当a=-2时,B={4,3},不满足题意,舍去.综上所述,a的取值构成的集合为{4}.9.BC　∵非空集合S={x|m≤x≤n}满足:当x∈S时,有x2∈S,∴当m∈S时,有m2∈S,即m2≥m,解得m≥1或m≤0;同理,当n∈S时,有n2∈S,即n2≤n,解得0≤n≤1.对于A,若m=1,则必有m2=1∈S,故必有n≥1,0≤n≤1,∴m=n=1,所以S={1},故A错误;对于B,若m=-12,则必有m2=14∈S,故必有n≥14,0≤n≤1,解得14≤n≤1,故B正确;对于C,若n=12,则m≤m2≤12,解得-22≤m≤0,故C正确;对于D,若n=1,则m≤m2≤1,解得-1≤m≤0或m=1,故D错误.故选BC.10.解析　(1)证明:由2∈A得11−2=-1∈A;由-1∈A得11−(−1)=12∈A;由12∈A得11−12=2∈A,所以集合A中还有另外两个元素-1和12.(2)集合A不是双元素集合.理由如下:由题意得,若x∈A(x≠1且x≠0),则11−x∈A,则11−11−x=1-1x∈A,若1-1x∈A,则x∈A,所以集合A中应包含x,11−x,1-1x,且它们互不相等方程x=11−x,x=1-1x,11−x=1-1x均无解, 故集合A不是双元素集合. (3)由(2)得集合A中的元素个数应为3或6(一个元素x可生成3个不同的元素,因此A中元素的个数为3,6,9,…,又A中元素不超过8个,故A中元素个数为3或6),因为x·11−x·1−1x=-1,且A中有一个元素的平方等于所有元素的积,所以A中应有6个元素(若只有3个元素,则所有元素之积为-1,不是平方数),且其中一个元素为-1(6个元素的积为1,则其中一个元素的平方为1,而由题干中范围知该元素不是1),由-1∈A结合条件可得12∈A,2∈A,又因为-1+12+2=32,所以剩余三个元素的和为143-32=196,即x+11−x+x-1x=196,解得x=-12或x=3或x=23,故A=-1,12,2,-12,3,23.方法技巧　题干给出的是集合中元素的关系,即给定一个元素可以求出下一个元素,解题关键是找到元素的规律,由此分析元素的特点,结合已知就可以解决问题.1.2　集合间的基本关系题组一　集合间的基本关系1.已知集合A={x∈N|0≤x