高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试学案，共6页。学案主要包含了集合的概念与运算，充分条件与必要条件，全称量词命题与存在量词命题等内容，欢迎下载使用。


一、集合的概念与运算
1．集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解．
2．掌握集合的概念与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
例1 (1)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于( )
A．3 B．2
C．2或3 D．0或2或3
答案 D
解析 当m＝0时，方程mx－6＝0无解，
B＝∅，满足B⊆A；
当m≠0时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(6,m)))，因为B⊆A，所以eq \f(6,m)＝2或eq \f(6,m)＝3，解得m＝3或m＝2.
(2)已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
①若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；
②是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？
解 ①∵A＝{x|0≤x≤2}，
∴∁RA＝{x|x<0或x>2}．
∵(∁RA)∪B＝R，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤0，,a＋3≥2，))∴－1≤a≤0.
∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．
②由(1)知(∁RA)∪B＝R时，
－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，
∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．
即这样的a不存在．
反思感悟 集合基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
跟踪训练1 (1)(多选)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则( )
A．A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)))))
B．A∩(∁RB)＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2)≤x<2))))
C．A∪B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)))))
D．(∁RA)∪B＝R
答案 AB
解析 因为A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)))))，∁RA＝{x|x≥2}，∁RB＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(3,2)))))，
所以A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)))))，A∩(∁RB)＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2)≤x<2))))，A∪B＝{x|x<2}，(∁RA)∪B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)或x≥2)))).
(2)已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中的元素个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝3x2，,y＝5x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,3)，,y＝\f(25,3)，))
因此M∩N中的元素个数为2.
二、充分条件与必要条件
1．若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；
若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件．
2．掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养．
例2 (1)设x∈R，则“x>3或x<0”是“x>4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 由x>3或x<0，推不出x>4，
但当x>4时，不等式x>3或x<0成立．
(2)设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}．q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解 ∵q是p的充分不必要条件，
∴BA，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤－4，,a<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a≥－2，,a<0，))
解得－eq \f(2,3)≤a<0或a≤－4.
∴a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)≤a<0或a≤－4)))).
反思感悟 充要条件的常用判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．
(2)利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．
跟踪训练2 (1)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x>1或x<－2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 |x－2|<1⇔1由于{x|11或x<－2}的真子集，
所以“|x－2|<1”是“x>1或x<－2”的充分不必要条件．
(2)若－a答案 a>2
解析 根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，
应有{x|－2所以－a<－2，解得a>2.
三、全称量词命题与存在量词命题
1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定．
2．通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素养．
例3 (1)命题：“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．∀x∉R，x2≠x
B．∀x∈R，x2≠x
C．∃x∉R，x2≠x
D．∃x∈R，x2＝x
答案 D
解析 先将“∀”改为“∃”，再否定结论，可得命题的否定为∃x∈R，x2＝x.
(2)设命题p：∀x∈R，ax2＋x＋2>0，若綈p为假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 a>eq \f(1,8)
解析 因为綈p为假命题，所以命题p是真命题，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝1－8a<0，))解得a>eq \f(1,8).
反思感悟 全称量词命题与存在量词命题问题的关注点
(1)对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论．
(2)根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决．
跟踪训练3 (1)命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是____________________________________________．
答案 所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0
解析 把“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．
(2)命题p：存在实数x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立．若命题p为真命题，求实数a的取值范围．
解 当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；
当a≠0时，由题意可得ax2＋2x－1＝0有实根，得Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.
综上可得a≥－1，即实数a的取值范围是{a|a≥－1}．
1．(2019·全国Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA等于( )
A．{1,6} B．{1,7} C．{6,7} D．{1,6,7}
答案 C
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，
∴∁UA＝{1,6,7}．
又B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁UA＝{6,7}．
2．(2019·全国Ⅱ改编)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于( )
A．{x|x>－1} B．{x|x<2}
C．{x|－1答案 C
解析 A∩B＝{x|x>－1}∩{x|x<2}＝{x|－13．(2019·北京改编)已知集合A＝{x|－11}，则A∪B等于( )
A．{x|－1C．{x|x>－1} D．{x|x>1}
答案 C
解析 将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示．
由图可得A∪B＝{x|x>－1}．
4．(2019·天津)设x∈R，则“0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 由|x－1|<1可得05．(2016·上海)设a∈R，则“a>1”是“a2>1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 a>1⇒a2>1，a2>1⇒a>1或a<－1，
所以“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件．