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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试优秀当堂达标检测题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试优秀当堂达标检测题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，集合，则下列关系中正确的是( )
A． B．
C． D．
2．集合，，，全集为，则图中阴影部分表示的集合是( )
A． B．
C． D．
3．已知集合，则满足的集合的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．8
4．集合，，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知集合满足，那么这样的集合的个数为( )
A．5B．6
C．7D．8
6．设，则“”是“”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．若集合中只有一个元素，则实数的值为( )
A．1 B．0
C．0或1 D．以上答案都不对
8．命题“，”的否定是( )
A．， B．，
C．， D．，
9．已知A、B均为集合的子集，且，，则 ( )
A．B．
C． D．
10．下列有关命题的说法正确的是( )
A．设集合M＝{x|0
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若csx＝csy，则x＝y”的逆命题为真命题
11．已知命题，，命题，恒成立．若p或q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
12．设数集，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是( )
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________．
14．若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是______．
15．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________．
16．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根（含相等两根）的充要条件是 ． ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题10分）已知全集，，，求的值．
18．（本小题12分）已知集合，．若，则由实数组成的集合．
19．（本小题12分）设全集为R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2
(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A．
(2)已知C＝{x|a
20．（本小题12分）求至少有一个负实根的充要条件．
21．（本小题12分）已知命题p{x|2≤x≤10}，命题q{x|x2a＋1}(a>0)，若p是q成立的充分不必要条件，求a的取值范围．
22．（本小题12分）已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
第一章 集合与常用逻辑用语章末检测参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，集合，则下列关系中正确的是( )
A． B．
C． D．
【解析】A
∵M＝{x|x<4}，N＝{x|0
2．集合，，，全集为，则图中阴影部分表示的集合是( )
A． B．
C． D．
【解析】C
∵M＝{1,3}，P＝{－2，－3}，∴M∩N＝{1}，N∩P＝{－2}，
故阴影部分表示的集合为{3，－3}．
3．已知集合，则满足的集合的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．8
【解析】C
因为由M∪N={-1，0，1}，得到集合M⊆M∪N，且集合N⊆M∪N，又M={0，-1}，所以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0，1}或{-1，1}或{0，-1，1}，共4个．
4．集合，，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】B
A＝{x||x|≤4，x∈R}⇒A＝{x|－4≤x≤4}，所以A⊆B⇔a>4，而a>5⇒a>4，反之，不成立，
所以“A⊆B”是“a>5”的必要不充分条件．
5．已知集合满足，那么这样的集合的个数为( )
A．5B．6
C．7D．8
【解析】C
根据题意，M集合一定含有元素1,2，且为集合{1,2,3,4,5}的真子集，所以集合M的个数为23－1＝7个,故选C．
6．设，则“”是“”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】C
由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
7．若集合中只有一个元素，则实数的值为( )
A．1 B．0
C．0或1 D．以上答案都不对
【解析】C
当k＝0时，A＝{－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k＝0，k＝1．故k＝0或k＝1．选C．
8．命题“，”的否定是( )
A．， B．，
C．， D．，
【解析】B
∵eq \f(x,x－1)>0，∴x<0或x>1，∴命题“∀x>0，eq \f(x,x－1)>0”的否定是 “∃x>0,0≤x≤1”
9．已知A、B均为集合的子集，且，，则 ( )
A．B．
C． D．
【解析】D
由题意知，A中有3和9，若A中有7或5，则∁UB中无7和5，即B中有7或5，则与A∩B＝{3}矛盾，故选D．
10．下列有关命题的说法正确的是( )
A．设集合M＝{x|0
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若csx＝csy，则x＝y”的逆命题为真命题
【解析】D
11．已知命题，，命题，恒成立．若p或q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
【解析】A
由p或q为假命题可知p和q都是假命题，即非p是真命题，所以m>－1；再由q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立为假命题知m≥2或m≤－2，∴m≥2
12．设数集，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是( )
A． B．
C． D．
【解析】A
此题虽新定义了“长度”概念，但题意不难理解，只要求出M∩N，然后再求一个式子的最小值即可；如何求M∩N呢？若真这样理解的话，就走弯路了．
其实，根本用不着求M∩N；集合M的“长度”是eq \f(3,4)，由于m是一个变量，因此，这个长度为eq \f(3,4)的区间可以在区间[0,1]上随意移动；同理，集合N的长度为eq \f(1,3)且也可以在区间[0,1]上随意移动；两区间的移动又互不影响，因此M∩N的“长度”的最小值即为eq \f(1,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＝eq \f(1,12)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________．
【解析】{(0,1)，(－1,2)}
A、B都表示点集，A∩B即是由集合A中落在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，将A中点的坐标代入直线方程检验知，A∩B＝{(0,1)，(－1,2)}．
14．若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是______．
【解析】由题意可知，Δ＝(1－a)2－4>0，解得或.
15．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________．
【解析】1
∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1．
16．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根（含相等两根）的充要条件是 ． ．
【解析】 令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，则方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝2k－12－4k2≥0，,－\f(2k－1,2)＞1，,f1＞0))⇔k＜－2．
因此k＜－2是使方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根的充要条件．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题10分）已知全集，，，求的值．
【解析】2
由补集概念及集合中元素互异性知应满足
分两种情况进行讨论：
在A中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合②，故舍去。
在B中，由（1）得a=－3,a=2，分别代入（2、（3）、（4）检验，a=－3不合②，故舍去，a=2能满足②③④，故a=2符合题意。
18．（本小题12分）已知集合，．若，则由实数组成的集合．
【解析】
当 时，集合 为空集，符合 ．
当 时，A＝， ，由 ，得 或，即或；
所以 ．
19．（本小题12分）设全集为R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2
(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A．
(2)已知C＝{x|a
解析：(1)A∩B＝{x|3≤x<6}．
因为∁RB＝{x|x≤2或x≥9}，
所以(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}．
(2)因为C⊆B，如图所示：
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥2，,a＋1≤9，))解得2≤a≤8，
所以所求集合为{a|2≤a≤8}．
20．（本小题12分）求至少有一个负实根的充要条件．
【解析】
（1）时为一元一次方程，其根为，符合题目要求
（2）当时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判断式，即，从而……
①又设方程的两根为，则由韦达定理得
因而方程有一个负实根的充要条件是，得…．
①②方程有两个负根的充要条件是，即
综上，至少有一个负实根的充要条件是：………．．
21．（本小题12分）已知命题p{x|2≤x≤10}，命题q{x|x2a＋1}(a>0)，若p是q成立的充分不必要条件，求a的取值范围．
解析：p是q的充分不必要条件，
∴p⇒q，q不能推出p，
∴{x|2≤x≤10}{x|x＜a或x＞2a＋1}(a＞0)
画出数轴：
结合数轴得
a>10或2a＋1<2，
故a的取值范围为a>10或0
22．（本小题12分）已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
解析：集合A是方程ax2－3x＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．
(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解，得∴a>eq \f(9,8)，
即实数a的取值范围是(eq \f(9,8)，＋∞)．
(2)当a＝0时，方程只有一解eq \f(2,3)，此时A中只有一个元素eq \f(2,3)；
当a≠0时，应有Δ＝0，
∴a＝eq \f(9,8)，此时方程有两个相等的实数根，A中只有一个元素eq \f(4,3)，
∴当a＝0或a＝eq \f(9,8)时，A中只有一个元素，分别是eq \f(2,3)和eq \f(4,3)．
(3)A中至多有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a＝0或a≥eq \f(9,8)，即a的取值范围是{a|a＝0或a≥eq \f(9,8)}．
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，集合，则下列关系中正确的是( )
A． B．
C． D．
2．集合，，，全集为，则图中阴影部分表示的集合是( )
A． B．
C． D．
3．已知集合，则满足的集合的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．8
4．集合，，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知集合满足，那么这样的集合的个数为( )
A．5B．6
C．7D．8
6．设，则“”是“”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．若集合中只有一个元素，则实数的值为( )
A．1 B．0
C．0或1 D．以上答案都不对
8．命题“，”的否定是( )
A．， B．，
C．， D．，
9．已知A、B均为集合的子集，且，，则 ( )
A．B．
C． D．
10．下列有关命题的说法正确的是( )
A．设集合M＝{x|0
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若csx＝csy，则x＝y”的逆命题为真命题
11．已知命题，，命题，恒成立．若p或q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
12．设数集，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是( )
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________．
14．若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是______．
15．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________．
16．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根（含相等两根）的充要条件是 ． ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题10分）已知全集，，，求的值．
18．（本小题12分）已知集合，．若，则由实数组成的集合．
19．（本小题12分）设全集为R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2
(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A．
(2)已知C＝{x|a
20．（本小题12分）求至少有一个负实根的充要条件．
21．（本小题12分）已知命题p{x|2≤x≤10}，命题q{x|x
22．（本小题12分）已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
第一章 集合与常用逻辑用语章末检测参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，集合，则下列关系中正确的是( )
A． B．
C． D．
【解析】A
∵M＝{x|x<4}，N＝{x|0
2．集合，，，全集为，则图中阴影部分表示的集合是( )
A． B．
C． D．
【解析】C
∵M＝{1,3}，P＝{－2，－3}，∴M∩N＝{1}，N∩P＝{－2}，
故阴影部分表示的集合为{3，－3}．
3．已知集合，则满足的集合的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．8
【解析】C
因为由M∪N={-1，0，1}，得到集合M⊆M∪N，且集合N⊆M∪N，又M={0，-1}，所以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0，1}或{-1，1}或{0，-1，1}，共4个．
4．集合，，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】B
A＝{x||x|≤4，x∈R}⇒A＝{x|－4≤x≤4}，所以A⊆B⇔a>4，而a>5⇒a>4，反之，不成立，
所以“A⊆B”是“a>5”的必要不充分条件．
5．已知集合满足，那么这样的集合的个数为( )
A．5B．6
C．7D．8
【解析】C
根据题意，M集合一定含有元素1,2，且为集合{1,2,3,4,5}的真子集，所以集合M的个数为23－1＝7个,故选C．
6．设，则“”是“”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】C
由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
7．若集合中只有一个元素，则实数的值为( )
A．1 B．0
C．0或1 D．以上答案都不对
【解析】C
当k＝0时，A＝{－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k＝0，k＝1．故k＝0或k＝1．选C．
8．命题“，”的否定是( )
A．， B．，
C．， D．，
【解析】B
∵eq \f(x,x－1)>0，∴x<0或x>1，∴命题“∀x>0，eq \f(x,x－1)>0”的否定是 “∃x>0,0≤x≤1”
9．已知A、B均为集合的子集，且，，则 ( )
A．B．
C． D．
【解析】D
由题意知，A中有3和9，若A中有7或5，则∁UB中无7和5，即B中有7或5，则与A∩B＝{3}矛盾，故选D．
10．下列有关命题的说法正确的是( )
A．设集合M＝{x|0
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若csx＝csy，则x＝y”的逆命题为真命题
【解析】D
11．已知命题，，命题，恒成立．若p或q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
【解析】A
由p或q为假命题可知p和q都是假命题，即非p是真命题，所以m>－1；再由q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立为假命题知m≥2或m≤－2，∴m≥2
12．设数集，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是( )
A． B．
C． D．
【解析】A
此题虽新定义了“长度”概念，但题意不难理解，只要求出M∩N，然后再求一个式子的最小值即可；如何求M∩N呢？若真这样理解的话，就走弯路了．
其实，根本用不着求M∩N；集合M的“长度”是eq \f(3,4)，由于m是一个变量，因此，这个长度为eq \f(3,4)的区间可以在区间[0,1]上随意移动；同理，集合N的长度为eq \f(1,3)且也可以在区间[0,1]上随意移动；两区间的移动又互不影响，因此M∩N的“长度”的最小值即为eq \f(1,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＝eq \f(1,12)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________．
【解析】{(0,1)，(－1,2)}
A、B都表示点集，A∩B即是由集合A中落在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，将A中点的坐标代入直线方程检验知，A∩B＝{(0,1)，(－1,2)}．
14．若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是______．
【解析】由题意可知，Δ＝(1－a)2－4>0，解得或.
15．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________．
【解析】1
∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1．
16．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根（含相等两根）的充要条件是 ． ．
【解析】 令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，则方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝2k－12－4k2≥0，,－\f(2k－1,2)＞1，,f1＞0))⇔k＜－2．
因此k＜－2是使方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根的充要条件．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题10分）已知全集，，，求的值．
【解析】2
由补集概念及集合中元素互异性知应满足
分两种情况进行讨论：
在A中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合②，故舍去。
在B中，由（1）得a=－3,a=2，分别代入（2、（3）、（4）检验，a=－3不合②，故舍去，a=2能满足②③④，故a=2符合题意。
18．（本小题12分）已知集合，．若，则由实数组成的集合．
【解析】
当 时，集合 为空集，符合 ．
当 时，A＝， ，由 ，得 或，即或；
所以 ．
19．（本小题12分）设全集为R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2
(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A．
(2)已知C＝{x|a
解析：(1)A∩B＝{x|3≤x<6}．
因为∁RB＝{x|x≤2或x≥9}，
所以(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}．
(2)因为C⊆B，如图所示：
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥2，,a＋1≤9，))解得2≤a≤8，
所以所求集合为{a|2≤a≤8}．
20．（本小题12分）求至少有一个负实根的充要条件．
【解析】
（1）时为一元一次方程，其根为，符合题目要求
（2）当时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判断式，即，从而……
①又设方程的两根为，则由韦达定理得
因而方程有一个负实根的充要条件是，得…．
①②方程有两个负根的充要条件是，即
综上，至少有一个负实根的充要条件是：………．．
21．（本小题12分）已知命题p{x|2≤x≤10}，命题q{x|x
解析：p是q的充分不必要条件，
∴p⇒q，q不能推出p，
∴{x|2≤x≤10}{x|x＜a或x＞2a＋1}(a＞0)
画出数轴：
结合数轴得
a>10或2a＋1<2，
故a的取值范围为a>10或0
22．（本小题12分）已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
解析：集合A是方程ax2－3x＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．
(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解，得∴a>eq \f(9,8)，
即实数a的取值范围是(eq \f(9,8)，＋∞)．
(2)当a＝0时，方程只有一解eq \f(2,3)，此时A中只有一个元素eq \f(2,3)；
当a≠0时，应有Δ＝0，
∴a＝eq \f(9,8)，此时方程有两个相等的实数根，A中只有一个元素eq \f(4,3)，
∴当a＝0或a＝eq \f(9,8)时，A中只有一个元素，分别是eq \f(2,3)和eq \f(4,3)．
(3)A中至多有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a＝0或a≥eq \f(9,8)，即a的取值范围是{a|a＝0或a≥eq \f(9,8)}．
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