高中数学必修第一册人教A版（2019） 1.1~1.3 集合 单元教学设计

“集合”的单元教学设计

一、内容和内容解析

（一）内容

1.集合的概念

2.集合间的基本关系

3.集合的基本运算

（二）内容解析

内容本质：集合是现代数学的基本语言和工具，用以刻画一类事物，是学习、掌握和使用数学语言的基础，有着高度的概括性与广泛的应用性.集合是由组成它的元素确定的，研究集合实质就是研究元素.

蕴含的思想与方法：用集合语言来刻画所研究的数学对象时，要求抽象出这类事物的共同特征，是提升数学抽象的重要途径.在集合教学中，我们要通过提出的指引性问题，指引学生恰到好处地运用分类讨论、数形结合、化归与转化以及类比等数学思维方法，提高数学思维能力.

知识点上下位关系：本单元内容属于“预备知识”，定位是帮助学生完成初高中数学学习的过渡.让学生从初中学习过的数集、解集、点集出发，概括它们的共同特征，抽象出集合的概念.教科书对于集合的研究经历了一个完整的数学思考过程，作为一个范例，它向学生完整展示了研究数学问题的“基本套路”，这将为后续的教学提供思维方式的示范及学习方法的引领.集合知识的学习，是后续常用逻辑用语、函数中定义域与值域、概率中样本空间以及立体几何中点线面位置关系的基础.

育人价值：集合语言是数学的基本语言，它能简洁准确的表述数学的研究对象，表达和交流数学问题.掌握语言的最好的方法就是使用，因此，在本章分三个层次安排集合语言的使用：一是读懂问题中的集合概念和符号；二是处理问题时，根据需要运用集合语言进行表述；三是创设情境，根据情境需求进行三种语言（自然语言、图形语言、符号语言）的转换.通过这样进阶式的安排，让学生逐渐熟悉集合语言的抽象性，从而提升数学抽象与直观想象等核心素养.

教学重点：用集合语言准确地表示数学的研究对象.

二、目标和目标分析

（一）单元目标

1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能用图表达集合间的基本关系，从而提升学生的数学抽象与直观想象素养.

2.能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言（列举法与描述法）刻画不同的数学对象，初步感受集合语言的准确与简洁.

3.理解两个集合的并集与交集的含义，理解在给定集合中的一个子集的补集含义，能求两个集合的并集、交集与求给定子集的补集，从而提升学生的数学运算素养.

（二）目标解析

达成上述目标的标志是：

1.让学生能根据集合中元素的确定性、互异性与无序性判断一个群体能否构成一个集合以及一个元素是不是集合中的元素并会用“”、“ ”表示，能用常用数集符号表示有关集合，能在具体实例中合理地定义全集，能说出空集的特征，能求给定集合的子集.

2.让学生能根据具体问题的条件，列举出所有元素并用列举法表示集合，或概括出集合中元素的共同特征并用描述法表示集合.

3.让学生能举例说明两个集合的并集与交集以及全集、补集的含义，会求两个集合的并集、交集及给定集合的补集，并能用图表示，感受几何图形的直观性.

三、教学问题诊断分析

1.学生在初中接触过集合，但知识极其零散，这是教学中首先要遇到的教学问题.因此，教学中应选取典型数学实例，让学生抽象出集合的概念及集合中元素的三大特性.

2.在理解了集合的概念及集合中元素的三大特性后，如何理解集合的相等与包含关系与集合的基本运算，是第二个教学问题.教学中，要让学生通过类比实数的相等及大小关系与实数的运算，通过提出引导性问题，指引学生发现问题、提出问题、研究问题，联想集合间的基本关系与集合的交并补运算.

3.集合是刻画一类事物的语言和工具，如何使学生学会用集合的语言简洁的、准确的表述数学的研究对象，用数学的语言表达和交流数学问题，是第三个教学问题. 掌握语言的最好方法就是使用。因此在教学中，我们分三个层次安排集合语言的使用：一是读懂问题中的集合概念与符号；二是在处理问题时，根据需要，运用集合语言进行表述；三是创设情境，根据情境需求进行三种语言的转换.通过这样进阶式的安排，让学生逐步熟悉集合语言的抽象性.

教学难点：用符号语言表示集合.

四、教学支持条件分析

1.学生在小学和初中已经接触过一些集合，如各种数集、不等式的解集、点集等，这是学习集合知识特别是抽象集合概念的基础.教学时应充分利用学生已有的集合知识，不断补充与完善知识结构.

    2.利用网络平台（比如：数学实验室、等）在课堂检测、学生展示等环节中，让教师及时了解学生的反馈信息，适时作出评价.

五、课时教学设计

本单元共4课时，具体分配如下：

第1课时，集合的概念；

第2课时，集合间的基本关系；

第3课时，集合的基本运算（一）——并集与交集；

第4课时，集合的基本运算（二）——补集.

第1课时 

（一）教学内容

集合的概念

（二）教学目标

1.结合具体实例，了解元素及集合的含义，能根据集合中元素的确定性、互异性与无序性判断一个群体能否构成一个集合，发展数学抽象素养.

2.理解元素与集合的“属于”关系，能判断一个元素是不是集合中的元素并会用“”、“ ”表示，了解集合相等的含义.

3.知道常用数集及其专用记号.

4.针对具体问题，能在自然语言基础上，用列举法和描述法刻画集合，感受集合语言的意义和作用，提高语言转换与抽象概括的能力，提升数学抽象素养.

（三）教学重点

集合的含义，集合中元素的三个特性，集合的表示方法.

（四）教学难点

集合中元素的确定性，选择适当的方法表示具体问题中的集合.

（五）教学过程

问题1 思考并回答下列问题：

（I）你能求出方程的解吗？

　　（II）你能说说到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么吗？

师生活动：

（1）学生经过思考，作出解答.

（2）教师针对学生的不同答案作出适时评价，并指出对于不同的研究范围，同一个问题会有不同的答案.从而指明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础.对于数学对象与研究范围的表述，我们需要使用一种数学的语言与工具——集合.

（3）教师追问：在小学与初中，我们学习过哪些集合，你能说说吗？

（4）学生快速作答.

（5）教师作出评价后适时引出本节课题——集合的概念.

　　设计意图：使学生对本章学习内容、学习目标和学习意义在总体上有一个大致的了解，帮助学生高屋建瓴地认识学习内容，感受学习集合的必要性.

问题2  看这6个例子，

（I）以内的所有偶数；                                  

（II）立德中学今年入学的全体高一学生；                                   

（III）所有正方形；                         

（IV）到直线的距离等于定长的所有的点;

（V）方程的所有实数根；

（VI）中国古代四大发明。

这些例子也都能组成集合吗？你能概括出它们具有的共同特征吗？

　　师生活动：

　　（1）学生思考.

（2）教师引导学生分析例（I）与（II）：

（I）研究对象是之间的每一个偶数2，4，6，8，10，这5个偶数的全体就是一个集合；

（II）研究对象是立德中学今年入学的每一位高一学生，他们的全体也是一个集合.

（3）教师追问：例（III）至（VI）也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？

（4）学生自主分析解答，教师在学生表述的基础上再给出元素与集合的概念：

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.

　　设计意图：从生活和学习中的例子出发研究集合，一是让学生了解集合与我们的生活、学习息息相关，从而使学生认识到研究集合的必要性；二是为研究集合提供大量素材，便于引导学生观察实例，使学生在充分体验和感悟的基础上归纳、抽象概括生成元素与集合的概念，在帮助学生深刻理解集合含义的同时，培养学生数学抽象能力.

　　问题3  判断下列元素的全体是否组成集合，如果是，指出该集合的元素，如果不能组成集合，请说明理由。

　　（I）我国的直辖市；

　　（II）树人中学高一（2）班的高个子同学；

　　（III）较小的数；

　　（IV）单词“”中的字母。

师生活动：

（1）学生先独立思考，讨论交流后回答问题.

（2）教师引导学生阅读教材的倒数第10行到倒数第5行，并适时做个别辅导与答疑.

    （3）教师引导学生概括出集合中元素的三性：确定性、互异性、无序性.

　　设计意图：通过以上问题的研究，加深学生对集合概念的巩固和理解，明确集合中元素的三性：确定性、互异性、无序性，培养学生数学抽象能力.

问题4  阅读教科书第2页倒数第4行“我们通常用大写拉丁字母……”至第3页表格中的“数学中一些常用数集及其记法”，并回答：

　　（I）元素与集合之间存在着什么关系？请举例说明.

　　（II）常用的数集有哪些？分别用什么字母表示？

师生活动：

（1）学生自主阅读后交流.

（2）教师总结：集合与元素的字母表示、元素与集合关系的符号表示：

用大写拉丁字母表示集合，用小写拉丁字母表示集合中的元素。属于A ，.不属于A，.

（3）课堂测试1：

用“”或“”填空：

   (I)设所有亚洲国家组成的集合为，则中国     ，美国    ，印度   ，英国     .

   (II)若方程的所有实数解组成集合，则    ，     .

（4）引导学生回忆数集的扩充过程，并逐一介绍这些常用数集的字母表示：

非负整数集或自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集.

（5）课堂测试2：

用“”或“”填空：

0                   -3               0.5                 

　　设计意图：对于难度不大的内容，特别是符号比较多时，学生通过阅读，熟悉自然语言和符号语言，并建立它们之间的对应关系。

　　问题5  从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合，用大写的拉丁字母表示一个集合，一些常用的数集还有专用的字母表示.除此之外，我们还可以用什么方式表示集合呢？

师生活动：

（1）引导学生阅读教科书、独立思考、讨论交流，根据学生交流情况，教师可以适时地选择以下问题进行追问.

追问1  我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，你会用符号来表示问题3中（I）和（IV）相应的集合吗？

　　追问2  表示一个集合，关键是确定什么？

（2）学生思考后交流、回答，教师作出评价后强调表示一个集合，关键是确定它包含哪些元素，从而引导学生在“列举”的基础上规范生成两个集合的列举法表示：（I）；（IV）.并给出列举法的定义：

把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.

（3）追问3  列举法表示集合需要注意哪些问题？哪些类型的集合用列举法表示为宜？

（4）学生独立思考并回答问题：一一列举，用逗号隔开，再用花括号括起来；元素能一一列举.

　　设计意图：帮助学生学习用列举法表示集合.

问题6  （I）你能用自然语言表示集合吗？（II）你能用列举法表示不等式的解集吗？

　　（1）学生回顾集合的列举法表示和不等式解集的含义，在独立思考的基础上交流、探讨，教师启发引导、补充总结.

　　（I）学生一般会用自然语言表述如下：小于10且能被3整除的自然数，既大于等于0又小于等于9的被3整除的数等，教学中要注意学生自然语言表述的准确性和严谨性.

（II）是，满足的实数有无数个，我们不能一一列举，所以的解集无法用列举法表示，这就说明了学习描述法的必要性.

（2）追问1  不等式的解集中的元素有何共同特征？怎样表示不等式的解集？

　　对于追问1，学生独立思考后讨论交流，教师梳理总结后给出其解集的描述法表示：.然后概括出描述法的定义：

一般地，设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.

（3）追问2  （I）整数集可以分为奇数集和偶数集.那么奇数的共同特征是什么？你能用上面的表示方法表示奇数集吗？（II）你能用描述法表示有理数集吗？

对于追问2，（I）学生回忆奇数的定义，在此基础上交流、探讨奇数的共同特征，教师引导学生模仿上面的表示方法表示奇数集为：；（II）引导学生回忆初中所学的有理数的相关知识，概括有理数的共同特征，师生共同写出有理数集的描述法表示：.

　　（4）追问3  在描述法中，竖线前后各表示什么内容？描述法表示集合需要注意哪些问题？哪些类型的集合用描述法表示为宜？

对于追问3，教师引导学生观察、思考、分析，归纳总结：在中的是这个集合的元素的代表形式，是元素的取值（或变化）范围，是集合中元素所具有的共同特征.并强调分用描述法表示集合时需要注意的问题：①写清该集合中元素的代表符号.用简明、准确的语言说明该集合中元素的性质.代表元素与元素的性质间须用“”隔开，竖线前是集合元素的代表符号及取值（或变化）范围，竖线后是集合元素具有的共同特征即集合中元素的性质；②元素的取值（或范围）从上下文来看，若是明确的可省略不写.如集合可表示为；③描述法适用于集合元素有无限多个的情况及元素的共同特征明显的集合.

（5）追问4  已知集合，吗？吗？吗？一般地，如果，那么你能得到哪些结论？

　　设计意图：通过对问题6的思考与解答，使学生体会用描述法表示集合的必要性，通过用描述法表示奇数集和有理数集，向学生详细解释何为共同特征以及如何用描述法表示集合，让学生学会识别并用符号表示共同特征，熟悉描述法的表示形式.通过追问4帮助学生理解“对于任何，都有，且成立.”的含义，从而加深学生对描述法的理解，帮助学生正确熟练地使用描述法，最终突破教学难点.

　　问题7  你能用描述法和列举法表示下列集合吗？

　　（I）方程的所有实数根组成的集合.

  （II）由大于10且小于20的所有整数组成的集合.

    （III）方程的实数解组成的集合.

  师生活动：引导学生分析集合中的元素及元素的共同特征，教师给出解答示范.

　　设计意图：巩固描述法和列举法，学生体会描述法与列举法各自的特点.

　　问题8  你能举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点.

　　师生活动：学生独立思考、讨论交流，根据学生交流情况，教师补充完善、提炼总结.

　　自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法，既简单明了，通俗易懂，又能清晰的反映出集合当中的所有元素.

　　列举法：把集合中元素一一列举出来表示集合的方法.一般情况下，对于有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法，它具有直观明了的特点.

　　描述法：用概括集合所含元素的共同特征来表示集合的方法.对于无限集，一般采用描述法.

　　设计意图：让学生反思、总结本节的学习，体会不同表示方法的特点，加深对列举法和描述法的理解与认识.

　　（六）目标检测设计

　　1.课堂目标检测

　（1）下列说法正确的是       （  ）

A．                    B．所有小正数组成一个集合

C．集合       D．双峰五中251班的高个子同学组成一个集合

设计意图：这是水平一的问题，检测对集合概念、元素与集合的关系理解与掌握程度.

（2）判断下列元素的全体能否组成集合，并说明理由:

　　①平面内到定点距离为1的点；

②我国的小河流.

设计意图：这是水平二的问题，检测对集合中元素的确定性的理解和掌握程度.

设计意图：这是水平一的问题，检测对集合与元素的关系的理解和掌握程度.

（3）若，则中元素所应满足的条件是什么？

设计意图：这是水平二的问题，检测对集合中元素的互异性的理解和掌握程度.

（4）用适当的方法表示下列集合：

　　①由方程的所有实数根组成的集合；

　　②不等式的解集.

设计意图：这是水平一的问题，检测对集合表示方法的掌握程度，以及综合联系所学知识分析和选择集合表示方法的能力.

2. 课后作业

教科书习题1.1第1，2，3题.

设计意图：课后巩固所学.

3. 数学小论文

阅读教科书第6页拓广探索，请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识.

设计意图：通过设计这样一道数学文化的题目，引导学生体味集合为何“惊人”和“最美”，从中感受数学的精神和价值，提升数学文化素养和学科核心素养.

湖南省娄底市双峰县第五中学 周朝晖