新课标人教A版高中数学必修一第一章单元小结 教案

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

回顾反思

构建体系

生：借助课本.并回顾学习过程. 整理函数掌握函数的有关性质归纳知识的纵横联系.

师生合作：学生口述单元基本知识及相互联系，老师点评、阐述、板书网络图.

整理知识，培养归纳能力. 

形成知识网络系统.

经典例题

剖  析

升华能力

例1试讨论函数f (x) =，x(–1，1)的单调性(其中a≠0).

例2  试计论并证明函数y = f (x) = x +(a＞0)在定义域上的单调性，函数在(0，+∞)上是否有最小值？

例3  已知f (x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f (xy) =

f (x) + f (y)，f (2) =1.

（1）求证：f (8) =3；

（2）解不等式

f (x) – f (x–2) ＞3.

例4 已知函数f (x)，当x、y∈R时，恒有f (x + y) = f (x) + f ( y).

（1）求证：f (x)是奇函数；

（2）如果x∈R+ ，f (x)＜0，并且f (1) =，试求f (x)在区间[–2，6]上的最值.

师生合作：学生独立尝试完成例1 ~ 例4并由学生代表板书解答过程. 老师点评. 师生共同小结解题思络.

例1【解析】设–x＜x­1＜x2＜1，

即△x = x2–x1＞0，

则△y = f (x2) – f (x2)

=

=

∵–1＜x1＜x2＜1，

∴x1–x2＜0，–1＜0，–1＜0.

|x1x2|＜1，即 –1＜x1x2＜1，x1x2 +1＞0，

∴＜0.

因此，当a＞0时，△y = f (x2) – f (x1)＜0，

即f (x1)＞f (x2)，此时函数为减函数；

当a＜0时，△y = f (x2) – f (x1) ＞0，

即f (x1)＜f (x2)，此时函数为增函数.

例2【解析】函数y = x +(a＞0)在区间(–∞，–)上是增函数，在区间[–，0]上是减函数，在区间 (0，]上是减函数，在区间(，+∞)上是增函数.

先证明y = x +(a＞0)在(0，+∞)上的增减性，

任取0＜x1＜x2，

则△x = x1–x2＜0，

△y = f (x1) – f (x2)

= (x1 +) – (x2 +)

= (x1–x2) + (–)

= (x1–x2) +

= (x1–x2) (1–)

=△x.

∵0＜x1＜x2，

∴△x = x1–x2＜0，x1x2＞0.

（1）当x1，x2∈(0，)时，0＜x1x2＜a，∴x1x2 – a＜0，

此时①＞0时，

△y = f (x1) – f (x2)＞0，

∴f (x)在(0，)上是减函数.

（2）当x1，x2∈[，+∞）时，x1x2＞a，∴x1x2 – a＞0，

此时①＜0，△y= f (x1) – f (x2)＜0，

∴f (x)在[，+∞）上是增函数，

同理可证函数f (x)在(–∞，–)上为增函数，

在[–，0)上为减函数.

由函数f (x) = x +在[0，)上为减函数，且在[，+∞)上为增函数知道，f (x)≥f () =2，其中x∈(0，+ ∞)，

∴f (x)min=2，

也可以配方求f (x) = x +(a＞0)在(0，+∞)上的最小值，

∴f (x) = x += ()2 + 2，

当且仅当x =时，f (x)min =2.

例3【解析】（1）在f (xy) = f (x) + f (y)中，

设x = y =2，则有f (4)=f (2)+f (2)，

设x= 4，y =2，

则有f (8) = f (4) + f (2)

=3 f (2) = 3.

（2）由f (x) – f (x–2)＞3，

得f (x)＞f (8) + f (x–2) = f [8 (x–2)]，

∵f (x) 是(0，+∞)上的增函数，

∴，解得2＜x＜，

故原不等式的解集为{x|2＜x＜}.

例4【解析】（1）∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称，

∵f (x + y) = f (x) + f ( y)，

令y = –x，x、– x∈R，

代入f (x + y) = f (x) + f ( y)，

∴f (0) = f (0) + f (0)，得f (0) = 0，

∴f (x) + f (–x) = 0，得

f (–x) = – f (x)，

∴f (x)为奇函数.

（2）设x、y∈R+，

∵f (x+y) = f (x) + f ( y)，

∴f (x+y) – f (x) = f ( y)，

∵x∈R+，f (x)＜0，

∴f (x+y) – f (x)＜0，

∴f (x+y)＜f (x).

∵x+y＜x，

∴f (x)在(0，+∞)上是减函数.

又∵f (x)为奇函数，

f (0) = 0，

∴f (x)在(–∞，+∞)上是减函数.

∴在区间[–2，6]上f (–2)为最大值，f (6)为最小值.

∵f (1) =，

∴f (–2)= – f (2) = –2 f (1) =1，

f (6) = 2 f (3)=2[ f (1) + f (2)]

= –3，

∴f (x)在区间[–2，6]上的最大值为1，最小值为–3.

动手尝试练习，培养并提高解题能力.