高中人教A版 (2019)双曲线课后复习题

这是一份高中人教A版 (2019)双曲线课后复习题，共6页。试卷主要包含了已知椭圆C1，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
A.6B.8
C.9D.10
2.(多选)已知方程x2m2+n-y23m2−n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值可以是( )
A.1B.2
C.3D.4
3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是( )
A.x2-y2=8B.x2-y2=4
C.y2-x2=8D.y2-x2=4
4.(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A.4B.3
C.2D.2
5.(多选)已知椭圆C1:x2m2+y2=1(m>0且m≠1)与双曲线C2:x2n2-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为椭圆C1,
双曲线C2的离心率,则( )
A.0nD.当n=1时,m=3
6.(多选)已知双曲线C:y216-x29=-1的焦点分别为F1,F2,则下列结论正确的是( )
A.渐近线方程为3x±4y=0
B.双曲线C与椭圆x225+y29=1的离心率互为倒数
C.若双曲线C上一点P满足|PF1|=2|PF2|,则△PF1F2的周长为28
D.若从双曲线C的左、右支上任取一点,则这两点的最短距离为6
7.(2023·全国甲卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=( )
A.55B.255
C.355D.455
8.(5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1的离心率e=54,实半轴长为4,则双曲线的方程为 .
9.(5分)若中心在坐标原点,离心率为53的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为 .
10.(5分)已知点B1,B2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)虚轴的两个端点,过B1且垂直于y轴的直线与双曲线交于P,Q两点,若△PQB2为正三角形,则该双曲线的离心率e为 .
11.(5分)已知F1,F2分别是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若双曲线E上存在一点P使得|PF1+PF2|=b,则双曲线E的离心率的取值范围为 .
12.(10分)已知双曲线的两个焦点分别是F1(-4,0),F2(4,0),点P是双曲线左支上的一点,|PF2|-|PF1|=4.
(1)求双曲线的标准方程;(5分)
(2)写出该双曲线的实半轴长和虚半轴长、离心率、渐近线方程.(5分)
13.(10分)求中心在原点,适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)顶点在x轴上,两顶点间的距离是10,且经过点(10,3);(5分)
(2)一个焦点坐标为(5,0),一条渐近线方程为3x-4y=0.(5分)
14.(15分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点(3,-1),点M(32,m)在双曲线上.求:
(1)双曲线的方程;(5分)
(2)MF1·MF2;(5分)
(3)△F1MF2的面积.(5分)
15.(15分)已知双曲线C:x24-y23=1.
(1)求与双曲线C有共同的渐近线,且实轴长为6的双曲线的标准方程;(8分)
(2)P为双曲线C右支上一动点,点A的坐标是(4,0),求|PA|的最小值.(7分)
课时检测(三十四)
1．选B 由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
2．选AB 由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2.又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3.故选AB.
3．选A 令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，∴c＝4，a2＝b2＝eq \f(1,2)c2＝eq \f(1,2)×16＝8，即双曲线方程为x2－y2＝8.
4．选C 设F1(0，－4)，F2(0,4)，P(－6,4)，则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝eq \r((－6)2＋(4＋4)2)＝10，|PF2|＝ eq \r((－6)2＋(4－4)2)＝6，则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，则e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(8,4)＝2.故选C.
5．选BC 因为椭圆C1，双曲线C2的焦点相同，所以m>1，m2－1＝n2＋1，所以m2＝n2＋2，所以m>n，当n＝1时，m＝eq \r(3)，故A、D错误，C正确．因为(e1e2)2＝eq \f(m2－1,m2)·eq \f(n2＋1,n2)＝eq \f(n2＋1,n2＋2)·eq \f(n2＋1,n2)＝eq \f(n4＋2n2＋1,n4＋2n2)＝1＋eq \f(1,n4＋2n2)>1，所以e1>eq \f(1,e2)，故B正确．
6．选CD 由题意可得C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，故渐近线为3y＝±4x，故A错误；易知双曲线和椭圆的离心率分别为e1＝eq \r(\f(9＋16,9))＝eq \f(5,3)，e2＝eq \r(\f(25－9,25))＝eq \f(4,5)，显然它们不互为倒数，故B错误；由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝2×3＝6，若|PF1|＝2|PF2|，则||PF1|－|PF2||＝|PF2|＝6，|PF1|＝12，又|F1F2|＝2×eq \r(16＋9)＝10，故△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝6＋12＋10＝28，故C正确；由双曲线的图象可知左、右两支上距离最近的两点为左、右顶点，即最短距离为6，故D正确．
7．选D 根据双曲线的离心率e＝eq \r(5)＝eq \f(c,a)，得c＝eq \r(5)a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，eq \f(b2,a2)＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．
法一 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x，,(x－2)2＋(y－3)2＝1，))得5x2－16x＋12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(16,5)，x1x2＝eq \f(12,5).所以|AB|＝eq \r(1＋22)·|x1－x2|＝eq \r(5) eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))2－4×\f(12,5))＝eq \f(4\r(5),5)，故选D.
法二 因为圆心(2,3)到渐近线y＝2x的距离d＝eq \f(|2×2－3|,\r(22＋(－1)2))＝eq \f(\r(5),5)，所以|AB|＝2eq \r(1－d2)＝2eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2)＝eq \f(4\r(5),5)，故选D.
8．解析：由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(5,4)，,a＝4，,c2＝a2＋b2，))解得b＝3，所以双曲线方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
答案：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
9．解析：∵eq \f(c,a)＝eq \f(5,3)，∴eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(25,9)，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(16,9)，∴eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，∴eq \f(a,b)＝eq \f(3,4).又∵双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x，∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x.
答案：y＝±eq \f(3,4)x
10．解析：如图所示，依题意Q点纵坐标为b，把y＝b代入双曲线方程可得x＝±eq \r(2)a，所以点Q的坐标为(eq \r(2)a，b)，又Rt△B2B1Q中，tan∠B1B2Q＝eq \f(|B1Q|,|B1B2|)＝eq \f(\r(2)a,2b)＝eq \f(\r(3),3)，则eq \f(b,a)＝eq \f(\r(6),2)，e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(\f(5,2))＝eq \f(\r(10),2).
答案：eq \f(\r(10),2)
11．解析：如图所示，＋2＝2，所以2||＝b，所以||＝eq \f(b,2)，又因为||≥||＝a，即eq \f(b,2)≥a，即b≥2a，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)≥eq \f(\r(a2＋(2a)2),a)＝eq \r(5)，所以双曲线的离心率的取值范围为[eq \r(5)，＋∞)．
答案：[eq \r(5)，＋∞)
12．解：(1)由题意可得，c＝4，a＝2，则b＝eq \r(c2－a2)＝2eq \r(3)，且焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.
(2)由(1)可知，该双曲线的实半轴长为2，虚半轴长为2eq \r(3)，离心率为e＝eq \f(c,a)＝2，渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.
13．解：(1)设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，因为两顶点间的距离是10，且经过点(10,3)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝10，,\f(100,a2)－\f(9,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝\r(3)，))则双曲线方程为eq \f(x2,25)－eq \f(y2,3)＝1.
(2)因为一个焦点坐标为(5,0)，可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，且c＝5，由一条渐近线方程为3x－4y＝0，可得y＝eq \f(3,4)x，则eq \f(b,a)＝eq \f(3,4)，
设a＝4k，b＝3k，k>0，则c2＝a2＋b2⇒52＝(4k)2＋(3k)2，解得k＝1，
则a＝4，b＝3，所以双曲线方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
14．解：(1)因为e＝eq \r(2)，所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．因为过点(3，－1)，所以9－1＝λ，即λ＝8，所以双曲线的方程为x2－y2＝8.
(2)由(1)可设F1(－4,0)，F2(4,0)，所以1＝(－4－3eq \r(2)，－m)，＝(4－3eq \r(2)，－m)，
所以·＝(－4－3eq \r(2))×(4－3eq \r(2))＋m2＝2＋m2，因为M点在双曲线上，所以18－m2＝8，即m2＝10，所以1·＝12.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝8，由(2)知m＝±eq \r(10)，所以△F1MF2的高h＝|m|＝eq \r(10)，
所以S△MF1F2＝eq \f(1,2)×8×eq \r(10)＝4eq \r(10).
15．解：(1)由题可设所求双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝λ(λ≠0)，
①当λ>0时，方程为eq \f(x2,4λ)－eq \f(y2,3λ)＝1，令4λ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,2)))2得λ＝eq \f(9,4)，即双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(4y2,27)＝1，即eq \f(x2,9)－eq \f(y2,\f(27,4))＝1.
②当λ