高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第1课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第1课时学案，共13页。学案主要包含了双曲线的定义，双曲线的标准方程及其推导过程，双曲线定义的简单应用等内容，欢迎下载使用。

第1课时 双曲线及其标准方程
学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法．
导语
我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆．那么，与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？
一、双曲线的定义
问题1 如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点．在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆．我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2|＜|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果|F1F2|＞|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹．
如图，在|F1F2|＞|AB|的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？
提示 如题图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数．
知识梳理
一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注意点：
(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
例1 已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为( )
A．双曲线或一条直线
B．双曲线或两条直线
C．双曲线一支或一条直线
D．双曲线一支或一条射线
答案 D
解析 当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)．
当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线．
反思感悟 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件．
跟踪训练1 已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
答案 D
解析 F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
二、双曲线的标准方程及其推导过程
问题2 类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
提示 观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，
此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2 (c,0)，焦距为2c，c>0.
设P(x，y)是双曲线上一点，则
||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，
因为|PF1|＝eq \r(x＋c2＋y2)，|PF2|＝eq \r(x－c2＋y2)，
所以eq \r(x＋c2＋y2)－eq \r(x－c2＋y2)＝±2a，①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,c2－a2)＝1.
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
问题3 设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0 ，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
提示 eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．
知识梳理
双曲线的标准方程
注意点：
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(2)a与b没有大小关系．
(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
例2 (1)以椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，eq \r(10))的双曲线的标准方程为________．
答案 eq \f(x2,3)－eq \f(y2,5)＝1
解析 由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2eq \r(2).
设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，eq \f(9,a2)－eq \f(10,b2)＝1，
解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,5)＝1.
(2)求过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(15,4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程．
解 设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
因为点P，Q在双曲线上，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9).))
故双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1.
反思感悟 双曲线的标准方程
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．
(2)当mn<0时，方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线．
跟踪训练2 焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2eq \r(6)，2eq \r(2))的双曲线的标准方程为________．
答案 eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1
解析 设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2eq \r(6)，2eq \r(2))代入方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(16,a2)－\f(4,b2)＝1，①,\f(24,a2)－\f(8,b2)＝1，②))
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1.
三、双曲线定义的简单应用
例3 (1)若双曲线E：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 B．9 C．5 D．3
答案 B
解析 由题意得||PF1|－|PF2||＝6，
∴|PF2|＝|PF1|±6，∴|PF2|＝9或－3(舍去)，故选B.
(2)已知双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解 由eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
＝eq \f(1,2)×64×eq \f(\r(3),2)＝16eq \r(3).
反思感悟 双曲线的定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．
跟踪训练3 设F1，F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,24)＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4eq \r(2) B．8eq \r(3) C．24 D．48
答案 C
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|－|PF2|＝2，,3|PF1|＝4|PF2|，))解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.
在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝24.
1．知识清单：
(1)双曲线的定义．
(2)双曲线的标准方程及其推导过程．
(3)双曲线定义的简单应用．
2．方法归纳：待定系数法、分类讨论．
3．常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件．
1．已知点P(x，y)的坐标满足eq \r(x－12＋y2)－eq \r(x＋12＋y2)＝±eq \r(2)，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．两条射线 D．双曲线的一支
答案 B
解析 设A(1,0)，B(－1,0)，
则由已知得||PA－|PB||＝eq \r(2)，即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数eq \r(2)，又|AB|＝2，且eq \r(2)<2，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线．
2．方程eq \f(x2,2＋m)－eq \f(y2,2－m)＝1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A．－2＜m＜2 B．m＞0
C．m≥0 D．|m|≥2
答案 A
解析 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.
∴－2＜m＜2.
3．若椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,a2)＝1与双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,2)＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A．1 B．1或－2
C．1或eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,04．已知双曲线的焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)，P是双曲线上一点且||PF1|－|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1 D.eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1
答案 C
解析 由双曲线的定义可得c＝3,2a＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，且焦点在y轴上，所以双曲线的方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1.
课时对点练
1．双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(y2,20)－eq \f(x2,16)＝1 D.eq \f(y2,20)－eq \f(x2,4)＝1
答案 B
解析 2a＝|eq \r(－5＋62＋22)－eq \r(－5－62＋22)|＝4eq \r(5)，
所以a＝2eq \r(5)，
又c＝6，
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,16)＝1.
2．已知方程eq \f(x2,1＋m)＋eq \f(y2,m－2)＝1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－1,2)
答案 D
解析 ∵方程eq \f(x2,1＋m)＋eq \f(y2,m－2)＝1表示双曲线，
∴(m－2)(m＋1)<0，
解得－1∴m的取值范围是(－1,2)．
3．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，0)) D．(eq \r(3)，0)
答案 B
解析 将双曲线方程化为标准方程为x2－eq \f(y2,\f(1,2))＝1，
∴a2＝1，b2＝eq \f(1,2)，
∴c2＝a2＋b2＝eq \f(3,2)，
∴c＝eq \f(\r(6),2)，
故右焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，0)).
4．(多选)双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．17 B．7 C．22 D．2
答案 CD
解析 设双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，
则a＝5，b＝3，c＝eq \r(34)，
设P为双曲线上一点，不妨令|PF1|＝12(12>a＋c＝5＋eq \r(34))，
∴点P可能在左支，也可能在右支，
由||PF1|－|PF2||＝2a＝10，
得|12－|PF2||＝10，
∴|PF2|＝22或2.
∴点P到另一个焦点的距离是22或2.
5．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为( )
A．4a B．4a－m
C．4a＋2m D．4a－2m
答案 C
解析 不妨设|AF2|>|AF1|，
由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，
于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.
6．已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A．3或7 B．6或14
C．3 D．7
答案 A
解析 设F2是双曲线的右焦点，
连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，
∴|ON|＝eq \f(1,2)|PF2|，
∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，
∴|PF2|＝14或6，
∴|ON|＝eq \f(1,2)|PF2|＝7或3.
7．焦点在x轴上的双曲线经过点P(4eq \r(2)，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________．
答案 eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
解析 设焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
则由QF1⊥QF2，得＝－1，
∴eq \f(5,c)·eq \f(5,－c)＝－1，∴c＝5.
设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
∵双曲线过点P(4eq \r(2)，－3)，
∴eq \f(32,a2)－eq \f(9,b2)＝1，
又∵c2＝a2＋b2＝25，
∴a2＝16，b2＝9.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
8．设F1，F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，则|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|的值为________．
答案 2eq \r(10)
解析 由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为
F1(－eq \r(10)，0)，F2(eq \r(10)，0)．
设点P(x，y)，
则eq \(PF1,\s\up6(→))＝(－eq \r(10)－x，－y)，eq \(PF2,\s\up6(→))＝(eq \r(10)－x，－y)．
∵eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，
∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.
∴|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|＝eq \r(|\(PF1,\s\up6(→))|2＋|\(PF2,\s\up6(→))|2＋2\(PF1,\s\up6(→))·\(PF2,\s\up6(→)))＝eq \r(2x2＋y2＋20)＝2eq \r(10).
9．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝eq \f(3,4)，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．
解 因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝eq \f(3,4)，
所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.
由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.
所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.
以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．
设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
由|PM|－|PN|＝4，
得2a＝4，a＝2，a2＝4.
由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，
所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，
故所求方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,96)＝1(x>2)．
10．如图，若F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
解 (1)F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点，
则a＝3，b＝4，c＝5，
设点M到另一个焦点的距离为m，
由双曲线定义可知|m－16|＝2a＝6，
解得m＝10或m＝22，
即点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)P是双曲线左支上的点，|PF2|－|PF1|＝2a＝6，
则|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF1|2＝36，
代入|PF1|·|PF2|＝32，
可得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100，
即|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，
所以△F1PF2为直角三角形，
所以＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×32＝16.
11．设椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1和双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cs∠F1PF2等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,9) D.eq \f(3,5)
答案 B
解析 设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，
则d1＋d2＝2eq \r(6)，①
|d1－d2|＝2eq \r(3)，②
①2＋②2，得deq \\al(2,1)＋deq \\al(2,2)＝18.
①2－②2，得2d1d2＝6.
而c＝2，
∴cs∠F1PF2＝eq \f(1,3).
12．双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．1 B．4 C．7 D．9
答案 B
解析 在双曲线x2－y2＝1中，a＝b＝1，c＝eq \r(2)，
设P在右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵∠F1PF2＝60°，
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－|PF1||PF2|，
即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|，
即|PF1|·|PF2∣＝4c2－4a2＝4b2＝4.
13．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．双曲线的一支 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案 A
解析 设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，
由两圆外切的充要条件，得
|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝1，
又|O1O2|＝4，
∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)．
14．(多选)已知点P在双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有( )
A．点P到x轴的距离为eq \f(20,3)
B．|PF1|＋|PF2|＝eq \f(50,3)
C．△PF1F2为钝角三角形
D．∠F1PF2＝eq \f(π,3)
答案 BC
解析 因为双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，所以c＝eq \r(16＋9)＝5.又因为＝eq \f(1,2)·2c|yP|＝eq \f(1,2)·10·|yP|＝20，所以|yP|＝4，所以选项A错误；
将|yP|＝4代入C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1得eq \f(x2,16)－eq \f(42,9)＝1，即|xP|＝eq \f(20,3).由对称性，不妨取P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,3)，4))，可知|PF2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,3)－5))2＋42)＝eq \f(13,3).由双曲线定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝eq \f(13,3)＋8＝eq \f(37,3)，所以|PF1|＋|PF2|＝eq \f(13,3)＋eq \f(37,3)＝eq \f(50,3)，所以选项B正确；
由对称性，对于点P，在△PF1F2中，|PF1|＝eq \f(37,3)>2c＝10>|PF2|＝eq \f(13,3).且cs∠PF2F1＝eq \f(|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2,2|PF2|·|F1F2|)＝－eq \f(5,13)<0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确；
由余弦定理得
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(319,481)≠eq \f(1,2)，∠F1PF2≠eq \f(π,3)，所以选项D错误．
15．已知P为双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若，则△MF1F2的面积为( )
A．2eq \r(7) B．10 C．8 D．6
答案 B
解析 设△PF1F2的内切圆的半径为R，
由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.
因为，
所以eq \f(1,2)(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，
所以R＝2，
所以＝eq \f(1,2)·2c·R＝10.
16.如图所示，已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，＝12eq \r(3)，求双曲线的标准方程．
解 由题意得||PF1|－|PF2||＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得
cs 60°＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)
＝eq \f(|PF1－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)，
∴|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2.
∴＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin 60°＝2b2·eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)b2.
∴eq \r(3)b2＝12eq \r(3)，b2＝12.
由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝c2－a2