高中人教A版 (2019)双曲线公开课第1课时教学设计及反思

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学习目标
掌握双曲线的简单几何性质．
理解双曲线的渐近线及离心率的意义．
根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养．
教学重难点
重点：掌握双曲线的简单几何性质．
难点：（1）理解双曲线的渐近线及离心率的意义；
（2）根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养
学习过程
复习回顾，引入新知
教师：要求学生自主完成填空。
课前活动：类比椭圆的几何性质的研究，你认为应该研究双曲线 ①的哪些几何性质？如何研究这些性质？
新课探究
类比：类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，你可以发现双曲线上点的横坐标和纵坐标的范围分别是什么？
要求：请尝试着利用双曲线方程证明你的结论.
教师：归纳总结，得出双曲线的第一个几何性质：范围：双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域．
类比：类比研究椭圆对称性的方法，得到什么结论？
教师：归纳总结，得出双曲线的第二个几何性质：对称性：双曲线关于轴、轴和原点都是对称的．
类比：类比求椭圆顶点的方法，尝试求双曲线的顶点.
教师：归纳总结，得出双曲线的第三个几何性质：顶点，焦点在x轴：±a,0，焦点在y轴：0,±a.
探究：利用信息技术画出双曲线和两条直线．在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离．沿曲线向右上方拖动点，观察和的大小关系，你发现了什么？
教师：通过Gegebra软件进行演示.
思考：经过两点，作轴的平行线，经过两点，作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，求矩形的两条对角线所在直线的方程.
教师：归纳总结，得出双曲线的第四个几何性质：渐进线，双曲线的渐近线方程为，即；双曲线的渐近线方程为，即．
教师：下面学习双曲线的简单几何性质五：离心率，回顾椭圆离心率的定义，得出双曲线离心率的定义.
教师：肯定同学们的预猜，类比椭圆的离心率范围：，推导双曲线的离心率的范围.
思考：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？
追问：用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么区别和联系？
师生：归纳总结，学生类比焦点在x轴上双曲线几何性质，焦点在y轴上的双曲线的简单几何性质，完成下表
应用新知
例3 求双曲线的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程．．
跟踪练习：
能力提升
题型一：根据几何条件求双曲线的标准方程
例题1 （1）实轴长为，离心率为，求双曲线的标准方程.
中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)．
题型二：根据双曲线的有界性求范围或最值
例题2 点是双曲线上一动点，过作圆的两条切线，切点为，，则的最小值为 .
题型三：求双曲线的离心率或离心率的范围
例题3 已知双曲线，点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
课堂小结
随堂限时小练
1．双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．4
2．已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）以为渐近线的双曲线可以是（ ）
A．B．
C．D．
5．双曲线：的两焦点分别为，，焦距为，为双曲线上一点，且满足，，则双曲线的离心率为 .
6．写出双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程．
7．焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为,求双曲线的标准方程
课后作业布置
作业1：完成教材：第124页 练习1,2,3,4
作业2：配套辅导资料对应的《双曲线的简单几何性质 第1课时》
课后作业答案
练习（第124页）
1．求下列双曲线的实轴和虚轴的长，顶点和焦点的坐标即离心率．
（1）；（2）；（3）；（4）．
2．求符合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）顶点在轴上，两顶点间的距离是8，；
（2）焦点在轴上，焦距是16，．
3．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，求双曲线的标准方程和渐近线方程．
4．双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，求双曲线的标准方程．
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程


范围
x≤-a，x≥a，y∈R

顶点
(±a，0)
(0，______)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
实轴长＝_____，虚轴长＝_____
焦点
(±c，0)
(0，±c)
对称性
对称轴：x轴与y轴，对称中心：原点
对称轴：______，对称中心：____
渐近线
离心率
e＝eq \f(c,a)
e＝________