数学人教A版 (2019)3.2 双曲线第2课时导学案

这是一份数学人教A版 (2019)3.2 双曲线第2课时导学案，共15页。学案主要包含了双曲线定义的应用，双曲线方程的设法，双曲线的实际生活应用等内容，欢迎下载使用。

导语
双曲线是我们在平时生活中经常见到的图形，这节课研究双曲线在实际生活中的应用．
一、双曲线定义的应用
例1 已知A(－4,0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,7)＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A．9 B．2eq \r(5)＋6
C．10 D．12
答案 C
解析 设点C(1,4)，点B在圆上，则|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1，
由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，
设A′为双曲线右焦点，
所以由双曲线定义知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6，
所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10.
反思感悟 求解与双曲线有关的长度和最值问题，都可以通过相应的双曲线的定义去解决．
跟踪训练1 已知定点A(3,1)，F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A.eq \r(2) B．5eq \r(2)＋4 C．5eq \r(2)－4 D.eq \r(2)＋4
答案 C
解析 设F1是双曲线的左焦点，
根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|－|PF|＝2a，
所以|PF|＝|PF1|－2a，
所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4，
结合图形可得|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝eq \r([3－－4]2＋1－02)＝5eq \r(2)，
当且仅当P，A，F1三点共线时取得等号，即图形中点P在P′处取得最小值，
所以|PA|＋|PF1|－4≥5eq \r(2)－4，所以|PA|＋|PF|的最小值为5eq \r(2)－4.
二、双曲线方程的设法
例2 已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3eq \r(2)，2)，求双曲线C的方程．
解 (1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义，知m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，
∴eq \f(1,2)mn＝4＝eq \f(1,2)|F1F2|·h，
∴h＝eq \f(2\r(5),5).
(2)设所求双曲线C的方程为eq \f(x2,16－λ)－eq \f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3eq \r(2)，2)，
∴eq \f(18,16－λ)－eq \f(4,4＋λ)＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴所求双曲线C的方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1.
反思感悟 共焦点双曲线的设法
与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为eq \f(x2,a2＋λ)－eq \f(y2,b2－λ)＝1(－a2<λ0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为eq \f(y2,a2＋λ)－eq \f(x2,b2－λ)＝1(－a2<λ跟踪训练2 已知双曲线中，c＝eq \r(6)，且经过点(－5,2)，焦点在x轴上，求该双曲线的标准方程．
解 方法一 依题意可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝6，,\f(25,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝5，,b2＝1，))
∴所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,5)－y2＝1.
方法二 ∵焦点在x轴上，c＝eq \r(6)，
∴设所求双曲线方程为eq \f(x2,λ)－eq \f(y2,6－λ)＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，∴eq \f(25,λ)－eq \f(4,6－λ)＝1，
∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是eq \f(x2,5)－y2＝1.
三、双曲线的实际生活应用
例3 神舟“九号飞船”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角．
解 设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，
以直线AB为x 轴，线段AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，
则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2eq \r(3))．
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－eq \r(3)，线段BC的中点D(－4，eq \r(3))，
∴直线PD的方程为y－eq \r(3)＝eq \f(1,\r(3))(x＋4)，①
又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
∴双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥3)，②
联立①②，得P点坐标为(8,5eq \r(3))，
∴kPA＝eq \f(5\r(3),8－3)＝eq \r(3)，因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.
反思感悟 利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
跟踪训练3 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是______km.
答案 x2－eq \f(y2,3)＝1(x>0) 2eq \r(7)－2
解析 如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．
则|DA|－|DB|＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支．
故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故轨迹方程为x2－eq \f(y2,3)＝1(x>0)．
根据题意知C(3，eq \r(3))，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2eq \r(7)－2.
当A，M，C共线时等号成立．
1．知识清单：
(1)双曲线定义的应用．
(2)双曲线方程的求法．
(3)双曲线在实际生活中的应用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错．
1．如图，双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,10)＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是( )
A．3 B．4 C．6 D．8
答案 C
解析 如图所示，设双曲线的右焦点为F2，连接P2F2，因为双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，根据双曲线的对称性，可得|P1F1|＝|P2F2|，所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.
2．相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是( )
A．双曲线的一支 B．双曲线
C．椭圆 D．抛物线
答案 B
解析 由已知可得||PA|－|PB||＝2k<4k＝|AB|，
根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点双曲线上，
则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线．
3．经过点P(－3,2eq \r(7))和Q(－6eq \r(2)，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是_______．
答案 eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1
解析 设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25)，))
故双曲线的标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1.
4．已知F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为______．
答案 9
解析 对于双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1，则a＝2，b＝2eq \r(3)，c＝4，如图所示，
设双曲线的右焦点为M，则M(4,0)，
由双曲线的定义可得|PF|－|PM|＝4，
则|PF|＝4＋|PM|，
所以，|PF|＋|PA|＝|PM|＋|PA|＋4≥|AM|＋4＝eq \r(1－42＋4－02)＋4＝9，
当且仅当A，P，M三点共线时，等号成立．
因此，|PF|＋|PA|的最小值为9.
课时对点练
1．与椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1共焦点，且过点(－2，eq \r(10))的双曲线方程为( )
A.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(y2,5)－eq \f(x2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,3)＝1
答案 B
解析 方法一 由题意得椭圆的焦点为(0,3)，(0，－3)，
所以双曲线的焦点为(0,3)，(0，－3)，
设双曲线的方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝9，,\f(10,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝5，,b2＝4.))
所以双曲线的方程为eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1.
方法二 设双曲线的方程为eq \f(x2,16＋λ)＋eq \f(y2,25＋λ)＝1(－25<λ<－16)，
又因为双曲线过点(－2，eq \r(10))，
可得eq \f(4,λ＋16)＋eq \f(10,25＋λ)＝1，
解得λ＝－7(舍去)或λ＝－20.
所以双曲线的方程为eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1.
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝2|AF2|＝4，则双曲线的方程为( )
A．x2－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－y2＝1
C.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
答案 A
解析 由题意，根据双曲线的定义及|AF1|＝2|AF2|＝4，
可得|AF1|－|AF2|＝2＝2a，解得a＝1，
因为∠F1AF2＝90°，
所以|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2＝20，
即(2c)2＝20，即c2＝5，
又b2＋a2＝c2，则b2＝c2－a2＝4，
所以双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1.
3．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦点分别为F1(－5，0)，F2(5,0)，P为C上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq \f(3,4)，则C的方程为( )
A．x2－eq \f(y2,24)＝1 B.eq \f(x2,24)－y2＝1
C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
答案 A
解析 ∵F1(－5,0)，F2(5,0)，
∴c＝5，|F1F2|＝10，
∵PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq \f(3,4)，
∴cs∠PF1F2＝eq \f(4,5)＝eq \f(|PF1|,|F1F2|)，
∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，
由双曲线的定义可知，|PF1|－|PF2|＝2＝2a，
∴a＝1，
∴b2＝c2－a2＝25－1＝24.
∴双曲线的方程为x2－eq \f(y2,24)＝1.
4．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－eq \r(5)，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )
A.eq \f(x2,4)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
答案 B
解析 由已知条件，得焦点在x轴上，设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝5.①
∵线段PF1的中点的坐标为(0,2)，
∴点P的坐标为(eq \r(5)，4)，将其代入双曲线的方程，
得eq \f(5,a2)－eq \f(16,b2)＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，
∴双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1.
5．已知双曲线的两个焦点为F1(－eq \r(10)，0)，F2(eq \r(10)，0)，M是此双曲线上的一点，且满足eq \(MF,\s\up6(→))1·
eq \(MF,\s\up6(→))2＝0，|eq \(MF,\s\up6(→))1|·|eq \(MF,\s\up6(→))2|＝2，则该双曲线的方程是( )
A.eq \f(x2,9)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,7)＝1 D.eq \f(x2,7)－eq \f(y2,3)＝1
答案 A
解析 ∵eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(MF1,\s\up6(→))⊥eq \(MF2,\s\up6(→))，即MF1⊥MF2，
∴|MF1|2＋|MF2|2＝40.
则(|MF1|－|MF2|)2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36.
∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，即a＝3.
∵c＝eq \r(10)，∴b2＝c2－a2＝1.
则该双曲线的方程是eq \f(x2,9)－y2＝1.
6．已知点P在曲线C1：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的右支上，点Q在曲线C2：(x＋5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x－5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
答案 C
解析 双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，且|PF1|－|PF2|＝8，
而这两个焦点恰好是两圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝1的圆心，
且两圆的半径分别是r2＝1，r3＝1，
所以|PQ|max＝|PF1|＋1，|PR|min＝|PF2|－1，
所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PF1|＋1)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋2＝8＋2＝10.
7．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(eq \r(5)，0)和(－eq \r(5)，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________．
答案 eq \f(x2,4)－y2＝1
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|·|PF2|＝2，,|PF1|2＋|PF2|2＝2\r(5)2))
⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，
又c＝eq \r(5)，所以b＝1，
故双曲线的方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
8．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，且|PF1|＝2|PF2|，则cs ∠F1PF2＝________.
答案 eq \f(3,4)
解析 由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2eq \r(2)，
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2eq \r(2)，|PF1|＝4eq \r(2)，|F1F2|＝2c＝2eq \r(a2＋b2)＝4.
∴cs ∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(32＋8－16,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq \f(3,4).
9．已知与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1共焦点的双曲线过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))，求该双曲线的标准方程．
解 已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，
则c2＝16＋9＝25，
∴c＝5.
设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
依题意知b2＝25－a2，
故所求双曲线方程可写为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,25－a2)＝1.
∵点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))在所求双曲线上，
∴eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)))2,a2)－eq \f(－\r(6)2,25－a2)＝1，
化简得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝eq \f(125,4).
当a2＝eq \f(125,4)时，b2＝25－a2＝25－eq \f(125,4)＝－eq \f(25,4)＜0，不符合题意，舍去，
∴a2＝1，b2＝24，
∴所求双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,24)＝1.
10.2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，若PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．
解 矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，
第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近，
依题意知，界线是第三类点的轨迹，
设M为界线上的任一点，则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50，
∴界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分，
如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
设所求双曲线方程的标准形式为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
∵a＝25,2c＝|AB|＝eq \r(1002＋1502－2×100×150×cs 60°)＝50eq \r(7)，
∴c＝25eq \r(7)，b2＝c2－a2＝3 750，
故双曲线的标准方程为eq \f(x2,625)－eq \f(y2,3 750)＝1，
注意到点C的坐标为(25eq \r(7)，60)，故y的最大值为60，此时x＝35，
故界线的曲线方程为eq \f(x2,625)－eq \f(y2,3 750)＝1(25≤x≤35，y>0)．
11．若双曲线eq \f(x2,n)－y2＝1(n>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(n＋2)，则△PF1F2的面积为( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．2 D．4
答案 A
解析 设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2eq \r(n)，
已知|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(n＋2)，
解得|PF1|＝eq \r(n＋2)＋eq \r(n)，|PF2|＝eq \r(n＋2)－eq \r(n)，
|PF1|·|PF2|＝2.
又|F1F2|＝2eq \r(n＋1)，
则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，
∴＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×2＝1.
12．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．已知双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是( )
A.eq \f(13,14) B．－eq \f(11,14) C.eq \f(11,14) D．－eq \f(13,14)
答案 C
解析 设P(8，y0)在第一象限，eq \f(64,16)－eq \f(y\\al(2,0),9)＝1⇒y0＝3eq \r(3)，
|PF2|＝eq \r(8－52＋3\r(3)2)＝6，
|PF1|＝6＋8＝14，|F1F2|＝10，cs∠F1PF2＝eq \f(142＋62－102,2×14×6)＝eq \f(11,14).
13．已知A(－3,0)，B是圆x2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A．9 B．2eq \r(5)＋4 C．8 D．7
答案 C
解析 如图所示，设圆心为C，双曲线右焦点为A′(3,0)，且|PB|≥|PC|－1，|PA|＝|PA′|＋4，
所以|PB|＋|PA|≥|PC|＋|PA′|＋3≥|A′C|＋3＝8，当且仅当A′，B，C三点共线时取得等号．
14.一块面积为12公顷的三角形形状的农场，如图所示，在△PEF中，已知tan∠PEF＝eq \f(1,2)，tan∠PFE＝－2，试建立适当的直角坐标系，求出分别以E，F为左、右焦点且过点P的双曲线方程为_______________．
答案 eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1
解析 以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
设以E，F为焦点且过点P的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，
焦点为E(－c,0)，F(c,0)．
由tan∠PEF＝eq \f(1,2)，tan∠EFP＝－2，
设∠PFx＝α，则tan α＝tan(π－∠EFP)＝2，
得直线PE和直线PF的方程分别为y＝eq \f(1,2)(x＋c)①
和y＝2(x－c)．②
将①②联立，解得x＝eq \f(5,3)c，y＝eq \f(4,3)c，
即P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)c，\f(4,3)c)).
在△EFP中，|EF|＝2c，EF上的高为点P的纵坐标，
由题设条件S△EFP＝eq \f(4,3)c2＝12，
∴c＝3，即P点坐标为(5,4)．
由两点间的距离公式|PE|＝eq \r(5＋32＋42)＝4eq \r(5)，|PF|＝eq \r(5－32＋42)＝2eq \r(5)，|PE|－|PF|＝2a，
∴a＝eq \r(5)，
又b2＝c2－a2＝4，
故所求双曲线的方程为eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1.
15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C′：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为________．
答案 2k(a－m)
解析 光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，
|BF2|＝2m＋|BF1|，
|BF1|＋|BA|＋|AF1|＝|BF2|－2m＋|BA|＋|AF1|＝|AF2|＋|AF1|－2m＝2a－2m，
所以光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m)．
16．已知△OFQ的面积为2eq \r(6)，且eq \(OF,\s\up6(→))·eq \(FQ,\s\up6(→))＝m，其中O为坐标原点．
(1)设eq \r(6)(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，|eq \(OF,\s\up6(→))|＝c，m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)－1))c2，当|eq \(OQ,\s\up6(→))|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
解 (1)因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)|\(OF,\s\up6(→))|·|\(FQ,\s\up6(→))|sinπ－θ＝2\r(6)，,|\(OF,\s\up6(→))|·|\(FQ,\s\up6(→))|cs θ＝m，))
所以tan θ＝eq \f(4\r(6),m).
又eq \r(6)所以1即tan θ的取值范围为(1,4)．
(2)设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
Q(x1，y1)，则eq \(FQ,\s\up6(→))＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝eq \f(1,2)|eq \(OF,\s\up6(→))|·|y1|＝2eq \r(6)，则y1＝±eq \f(4\r(6),c).
又eq \(OF,\s\up6(→))·eq \(FQ,\s\up6(→))＝m，即(c,0)·(x1－c，y1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)－1))c2，
解得x1＝eq \f(\r(6),4)c，
所以|eq \(OQ,\s\up6(→))|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))＝eq \r(\f(3,8)c2＋\f(96,c2))≥eq \r(12)＝2eq \r(3)，
当且仅当c＝4时，取等号，|eq \(OQ,\s\up6(→))|最小，
这时Q的坐标为(eq \r(6)，eq \r(6))或(eq \r(6)，－eq \r(6))．
因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(6,a2)－\f(6,b2)＝1，,a2＋b2＝16，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝12，))
于是所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.