高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线优秀导学案

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1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,培养数学抽象的核心素养．
2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.
重点难点
重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程
难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题
课前预习 自主梳理
知识点一 双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}．
3．焦点：两个定点F1，F2.
4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.
思考：双曲线定义中的“距离的差的绝对值”中的“绝对值”能否去掉？
提示 不能去掉．若去掉，就变成双曲线的一个分支了．
注意点：
(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
知识点二 双曲线的标准方程
注意点：
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(2)a与b没有大小关系．
(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
思考：方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示哪种曲线？
提示 当m＝n＞0时，方程表示圆；
当m＞n＞0或n＞m＞0时，方程表示椭圆；
当mn＜0时，方程表示双曲线．
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间的距离)的点的轨迹是双曲线．( )
(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )
(3)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(4)双曲线的标准方程中，a，b的大小关系是a>b.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
【详解】 (1)错误．必须是距离的差的绝对值才表示双曲线．
(2)错误．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹为双曲线的一支．
(3)错误．因为||PF1|－|PF2||＝8＝|F1F2|，故对应的轨迹为两条射线．
(4)错误．双曲线的标准方程中，a，b只满足a>0，b>0，a，b的大小关系不确定．
2.双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，整理即可得渐近线方程.
【详解】双曲线的渐近线方程满足，整理可得.
故选：A.
【点睛】本题考查已知双曲线求解渐近线的方法，属于基础题.
3.若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据方程表示双曲线，由求解.
【详解】解：因为方程表示双曲线，
所以，即，
解得或，
所以实数的取值范围为，
故选：C
4.双曲线的两条准线间的距离为 ．
【答案】
【分析】首先将双曲线化为标准方程，求出，再求出准线方程：，即求.
【详解】由双曲线，即，
所以，，
所以，即，
所以双曲线的准线方程：，
所以两准线的距离为.
故答案为：
5.已知椭圆的一个焦点为F，双曲线的左、右焦点，分别为，，点P是双曲线左支上一点，则周长的最小值为（ ）
A．5B．C．10D．14
【答案】D
【分析】先确定相关点的坐标，然后运用双曲线的定义转化边的关系，最后根据三点共线即可求得最小值.
【详解】根据椭圆方程，不妨设，根据双曲线方程，可知，从而可知，
由双曲线定义可知，即，
所以周长，
要使其周长最小，即求的最小值，显然当三点共线时，有最小值，且最小值是，
因此，周长为.
故选:D
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
前面我们介绍了圆锥曲线的形成，并在平面直角坐标系中研究了椭圆及其标准方程．本节课我们将学习第二种圆锥曲线——双曲线．
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题．
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如广州电视塔“小蛮腰”的轮廓就是双曲线的一部分绕轴旋转所成的曲面．
如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。

那么，什么是双曲线呢？我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题．
问题1：椭圆的定义是什么，它的标准方程是怎样的？
【活动预设】学生回答，教师通过学生的答案，强调求曲线方程的步骤以及方程中a、b、c间的关系．
【设计意图】通过对椭圆及其标准方程的复习，帮助学生回顾椭圆研究的过程，为研究双曲线及其标准方程做准备．
环节二 观察分析，感知概念
问题2：我们知道，平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于)的点的轨迹是椭圆．一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？下面我们先用信息技术探究一下．
探究
如图3.2-1，在直线上取两个定点，，是直线上的动点．在平面内，取定点，，以点为圆心、线段为半径作圆，再以为圆心、线段为半径作圆．
我们知道，当点在线段上运动时，如果，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆．
如图3.2-2，在的条件下，让点在线段外运动，这时动点满足什么几何条件？两圆的交点的轨迹是什么形状？
我们发现，在的条件下，点在线段外运动时，当点靠近定点时，；当点靠近定点时，．
总之，点与两个定点，距离的差的绝对值是一个常数()．这时，点的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支．
一般地，我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线(hyperbla)．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
【活动预设】借助信息技术手段，探究在直线l上取两个定点A、B，P是直线l上的动点．在平面内取两个定点F1F2，以F1为圆心，线段PA为半径作圆，再以F2为圆心，线段PB为半径作圆，探究点P在线段AB上运动时，两圆交点的轨迹；点P在线段AB外运动时，两圆交点的轨迹．
【设计意图】通过强化双曲线概念的抽象和建立过程，提高学生思维的严谨性与语言表达能力；同时让学生获得焦点、焦距等概念．
环节三 抽象概括，形成概念
探究
类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？
观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点和的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图3.2-3所示的平面直角坐标系．设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，那么，焦点，的坐标分别是，，又设（为大于0的常数，）．
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
．
因为
，
所以
①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①得
同除以得
由双曲线得定义知，，即，所以，
类比椭圆标准方程得建立过程，令，其中，代入上式得
②
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点得坐标都是方程②的解，以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点，的距离之差的绝对值为，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上．我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程．它表示焦点在轴上，焦点分别是，的双曲线，这里．
环节四 辨析理解 深化概念
思考
类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么？
如图3.2-4，双曲线的焦距为，焦点分别是，，，的意义同上，这时双曲线的方程是
这个方程也是双曲线的标准方程．
例1巳知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
解：因为双曲线的焦点轴上，所以设它的标准方程为，
由，得，又，因此，
所以，双曲线的标准方程为．
例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
分析：先根据题意判断轨迹的形状．由声速及A，B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上．
解：如图3.2-5，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且原点与线段AB的中点重合．
设炮弹爆炸点P的坐标为，则，
即，．
又，所以，，．
因为，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此．
所以炮弹爆炸点的轨迹方程为．
利用两个不同的观测点A，B测得同一点P发出信号的时间差，可以确定点P所在双曲线的方程．如果再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的点P发出信号的时间差，就可以确定点P所在另一双曲线的方程．解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置，这是双曲线的一个重要应用．
环节五 概念应用，巩固内化
探究
如图3.2-6，点，的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1例3比较，你有什么发现？
解：设，则，，，
根据题意可得，．
整理得：．
推广：双曲线上任一点，，，则．
证明：因为点在双曲线上，所以，
，
．
反过来也成立，
若，，动点满足，则点的轨迹方程为．
这就是双曲线的第三定义．
环节六 归纳总结,反思提升
问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．知识清单：
(1)双曲线的定义．
(2)双曲线的标准方程及其推导过程．
(3)双曲线标准方程的条件．
2．方法归纳：待定系数法、分类讨论．
3．常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件．
【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
环节七目标检测，作业布置
完成教材：第121页 练习 第1，2，3,4题
第127 页 习题3.2 第1,2,5,6,7题
备用练习
1.已知椭圆与双曲线共焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆与双曲线共焦点，可得，然后计算，利用，可得结果.
【详解】由题可知：
又
又，所以，则
所以，则
即
故选：A
【点睛】本题考查椭圆与双曲线简单应用，掌握之间的关系，简单计算，属基础题.
2.设F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．9
【答案】B
【分析】由双曲线的的定义可得，于是将问题转化为求的最小值，由得出答案.
【详解】设双曲线的由焦点为，且点A在双曲线的两支之间.
由双曲线的定义可得,即
所以
当且仅当三点共线时，取得等号.
故选：B

3.已知是双曲线的左、右焦点，双曲线上一点P满足，则△的面积是 ．
【答案】2
【分析】假设在左支上，由双曲线定义及已知条件可得，再用余弦定理求，进而求其正弦值，利用三角形面积公式求△的面积.
【详解】不妨假设在左支上，则，又，
所以，而，则，
所以，故，
综上，△的面积是.
故答案为：2.
4.双曲线的焦距为4，且其渐近线与圆相切，则双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据焦距，可求得c值，根据渐近线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a，b，c的关系，即可求得a，b值，即可得答案.
【详解】因为双曲线的焦距为4，所以．
由双曲线的两条渐近线与圆相切，可得．
又，所以，，
所以双曲线的标准方程为．
故答案为：
5.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：的渐近线l2：y＝﹣x的倾斜角是渐近线l1：y＝x的倾斜角的2倍，第二象限内一点P在渐近线l2上，且与双曲线C的右焦点F，点O构成底边长为2的等腰三角形，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．x2﹣＝1B．x2﹣＝1C．﹣y2＝1D．﹣y2＝1
【答案】A
【分析】根据直线的斜率与倾斜角之间的关系，结合等腰三角形的性质、双曲线中之间的关系进行求解即可.
【详解】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线l2：的倾斜角是渐近线l1：的倾斜角的2倍，
设渐近线l1的倾斜角为α，则渐近线l2的倾斜角为2α，则α+2α＝π，
所以α＝，所以，
第二象限内一点P在渐近线l2上，且与双曲线C的右焦点F，∠POF＝，
点O构成底边长为2的等腰三角形，
所以|PF|＝2，∠OFP＝，所以l1⊥PF，所以c＝2，a2+b2＝4，解得a＝1，b＝，
所以双曲线方程为：x2﹣＝1．
故选：A．
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1_(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1_(a>0，b>0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝c2－a2