高中数学3.2 双曲线习题

这是一份高中数学3.2 双曲线习题，共24页。试卷主要包含了选择题，不定项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高二椭圆与双曲线专项练习
一、选择题
1. 方程x2+(y-2)2+x2+(y+2)2=10化简的结果是( )
A. x225+y216=1 B. x225+y221=1 C. x225+y24=1 D. y225+x221=1
2. 已知双曲线C的方程为x2m2+7-y29-m2=1，则C的焦距为
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
3. 设点F1，F2分别是椭圆C:x2b2+3+y2b2=1(b>0)的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆C的离心率为(    )
A. 12 B. 14 C. 154 D. 32
4. 如图F1，F2是双曲线C1：x2-y28=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限内的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是(    )

A. 23 B. 45 C. 35 D. 25
5. 若椭圆x236+y216=1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为(    )
A. 36 B. 16 C. 20 D. 24
6. 已知F1，F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，B为椭圆C的短轴的一个端点，直线BF1与椭圆C的另一个交点为A.若ΔBAF2为等腰三角形，则AF1AF2=(   )
A. 13 B. 12 C. 23 D. 3
7. 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=π3，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R=4r时，椭圆的离心率为(    )
A. 45 B. 23 C. 12 D. 15
8. 已知双曲线x225-y29=1上有一点M到右焦点F1的距离为18，则点M到左焦点F2的距离是(    )
A. 8 B. 28 C. 12 D. 8或28
9. 双曲线2x2-3y2=6的焦距是(    )
A. 2 B. 2(3-2) C. 25 D. 2(3+2)
10. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦点F1(-2,0)，F2(2,0)，过F1(-2,0)作倾斜角为60°的直线L交上半椭圆于点A，以F1A，F1O(O为坐标原点)为邻边作平行四边形OF1AB，点B恰好也在椭圆上，则b2=(    )
A. 3 B. 23 C. 43 D. 12
11. 设F1、F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|+|PF1|的最大值为(    )
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
12. 设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若cos∠AF2B=35，则椭圆E的离心率为(    )
A. 12 B. 23 C. 32 D. 22
13. 双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且斜率为3的直线与双曲线的左右两支分别交于P、Q两点，若QP=QF2，则双曲线C的离心率为(    )
A. 7 B. 6 C. 13+12 D. 13-12
14. 焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为54的双曲线标准方程是(     )．
A. x264-y2144=1 B. x236-y264=1 C. y264-x216=1 D. x264-y236=1
15. 已知双曲线过点P(2,2)，其渐近线方程为y=±12x，则该双曲线的标准方程为(    )
A. B. C. D.





二、不定项选择题
16. 已知斜率为2的直线l经过椭圆C:x25+y24=1的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是(    )
A. 椭圆C的短轴长为2 B. 椭圆C的离心率为55
C. |AB|=553 D.
三、填空题
17. 设AB是椭圆x216+y24=1的长轴，若把AB分成10等分，依次过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…P9．F1为椭圆的左焦点，则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|+|F1B|的值______ ．
18. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率______．
四、解答题
19. 在平面xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e=32．(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l方程为y=12x+m，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．













20. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为22．(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l经过点P0,-1，且与椭圆交于A,B两点，若AP=2PB，求直线l的方程．







21. 如图，设F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为左、右顶点，|AF|=2，离心率e=12，过点P(-8,0)作直线l与椭圆相交于不同的两点M，N．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求△MNF面积的最大值．







22. 如图，已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B．

(1)若椭圆Γ的离心率为12，线段AF中点M(22,0)，求|BM|的值；
(2)若△ABF外接圆的圆心在直线y=-x上，△ABF外接圆的半径为3，求椭圆Γ的方程．







23. 设F1，F2分别是C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．
(1)若直线MN的斜率为34，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．









高二椭圆与双曲线专项练习
一、选择题
1. 方程x2+(y-2)2+x2+(y+2)2=10化简的结果是( )
A. x225+y216=1 B. x225+y221=1 C. x225+y24=1 D. y225+x221=1
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的定义问题，属于基础题．
根据方程得出它表示的几何意义是椭圆，从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程．
【解答】
解：∵方程x2+(y-2)2+x2+(y+2)2=10，
表示平面内点x,y到定点F1(0,-2)、F2(0,2)的距离的和是常数10(10>4)，
∴点x,y的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴2a=10，焦距2c=4的椭圆；
∴a=5，c=2，b=25-4=21，
∴椭圆的方程是y225+x221=1，即为化简的结果．
故选D．

2. 已知双曲线C的方程为x2m2+7-y29-m2=1，则C的焦距为
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．
依题意，可得c2=m2+7+9-m2=16，进而得出结果．
【解答】
解：∵x2m2+7-y29-m2=1，
∴c2=m2+7+9-m2=16，
∴c=4，2c=8．
故选D．

3. 设点F1，F2分别是椭圆C:x2b2+3+y2b2=1(b>0)的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆C的离心率为(    )
A. 12 B. 14 C. 154 D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了椭圆的定义和椭圆的性质及几何意义，由题意可得4a=4b2+3=8，可得b，即可得出c，从而得出离心率．
【解答】解：由题意知，椭圆C的长轴长为2a=2b2+3，
∵弦AB过点F1，
∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4b2+3=8，
又b>0，解得b=1，
∴a=2，则c=a2-b2=3，
则椭圆C的离心率为e=ca=32．
故选D．

4. 如图F1，F2是双曲线C1：x2-y28=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限内的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是(    )

A. 23 B. 45 C. 35 D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
利用椭圆以及双曲线的定义，转化求解椭圆的离心率即可．
【解答】
解：设椭圆的标准方程为：x2a2+y2b2=1,a>b>0，右焦点为F2c,0，
由题意F1，F2是双曲线C1：x2-y28=1与椭圆C2的公共焦点可知，
c=3,|F1F2|=|F1A|=6，
由双曲线的定义可知：|F1A|-|F2A|=2，∴|F2A|=4，
由椭圆的定义可知：|F1A|+|F2A|=10=2a，所以a=5，
∴C2的离心率是ca=35．
故选C．

5. 若椭圆x236+y216=1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为(    )
A. 36 B. 16 C. 20 D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的标准方程及定义，考查勾股定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
由题意可知：a=6，b=4，c=25.利用椭圆的定义及勾股定理即可求得|PF1||PF2|=32.根据三角形的面积公式，即可求得△PF1F2的面积．
【解答】
解：∵椭圆的方程：x236+y216=1，则a=6，b=4，c=a2-b2=25，
由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a=12，由勾股定理可知：|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=80，
∴|PF1||PF2|=32，
∴△PF1F2的面积=12|PF1||PF2|=16．
故选B．

6. 已知F1，F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，B为椭圆C的短轴的一个端点，直线BF1与椭圆C的另一个交点为A.若ΔBAF2为等腰三角形，则AF1AF2=(   )
A. 13 B. 12 C. 23 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了椭圆的概念及标准方程，属于基础题.设|AF1|=t，得到|AF2|=2a-t，由△BAF2为等腰三角形，则|AB|=|AF2|，即a+t=2a-t，得t=a2，即可得出结果．
【解答】解：设AF1=t(t>0)，由椭圆的定义可得AF2=2a-t．
由题意可知，AF2>BF2=a，
由于ΔBAF2是等腰三角形，则|AB|=AF2，即a+t=2a-t，
所以t=a2，所以AF1=a2，AF2=3a2，因此AF1AF2=13．
故选A

7. 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=π3，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R=4r时，椭圆的离心率为(    )
A. 45 B. 23 C. 12 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的几何性质、正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，属于较难题．
根据正弦定理|F1F2|sin∠F1PF2=2csinπ3=2R，得R=233c，r=36c，由余弦定理得|PF1||PF2|=43(a2-c2)，由三角形面积公式12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·r=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2，可得(2a+2c)·36c=43(a2-c2)·32，即可得出结果．
【解答】
解：由x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，
P为椭圆的一点，且∠F1PF2=π3，有|F1F2|=2c，
根据正弦定理|F1F2|sin∠F1PF2=2csinπ3=2R，得R=233c，
∵R=4r，∴r=36c，
由余弦定理得(2c)2 =|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，
由|PF1|+|PF2|=2a，可得|PF1||PF2|=43(a2-c2)，
由三角形面积公式12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·r ，
可得(2a+2c)·36c=43(a2-c2)·32，
即2a2-3c2-ac=0，故3e2+e-2=0，
解得：e=23或e=-1(舍)．
故选B．

8. 已知双曲线x225-y29=1上有一点M到右焦点F1的距离为18，则点M到左焦点F2的距离是(    )
A. 8 B. 28 C. 12 D. 8或28
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是定义法的运用，注意检验M的位置，属于基础题．
求得双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义，可得||MF1|-|MF2||=2a=10，解方程可得所求值，检验M在两支的情况即可．
【解答】
解：双曲线x225-y29=1的a=5，b=3，c=a2+b2=34，
由双曲线的定义可得，
即为|18-|MF2||=10，解得|MF2|=8或28．
检验若M在右支上，可得|MF1|≥ c-a=34-5，|MF2|≥ c+a=34+5，所以成立；
若M在左支上，可得|MF1|≥c+a=34+5，|MF2|≥ c-a=34-5成立．
故选D．

9. 双曲线2x2-3y2=6的焦距是(    )
A. 2 B. 2(3-2) C. 25 D. 2(3+2)
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的概念及标准方程以及双曲线的性质及几何意义，属于基础题，
利用双曲线的标准方程，可直接求解．
【解答】
解：由题意，得到双曲线的标准方程为x23-y22=1，
于是得到a=3，b=2，c=a2+b2=5，
故双曲线的焦距为2c=25．
故选C．

10. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦点F1(-2,0)，F2(2,0)，过F1(-2,0)作倾斜角为60°的直线L交上半椭圆于点A，以F1A，F1O(O为坐标原点)为邻边作平行四边形OF1AB，点B恰好也在椭圆上，则b2=(    )
A. 3 B. 23 C. 43 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．
利用四边形OF1AB为平行四边形，可先写出点A，B的坐标，然后代入椭圆的方程再进行后面的求解可得．
【解答】
解：由题意可得：c=2，直线AF1的斜率kAF1=tanπ3=3，
所以直线AF1为y=3(x+2)，a2=b2+4①，
因为四边形OF1AB为平行四边形，
所以AF1//BO，AB//F1O，
即AB//x轴，
所以kAF1=kBO=3，
所以设点B(m,n)，A(z,n)，所以可得kBO=nm=3，
所以点B(m,3m)，点A(z,3m)，
点B(m,3m)代入椭圆x2a2+y2b2=1可得m2a2+3m2b2=1②，
把点A(z,3m)代入y=3(x+2)可得z=m-2，
所以点A(m-2,3m)，
把点A(m-2,3m)代入椭圆x2a2+y2b2=1可得m-22a2+3m2b2=1③，
联立①②③可得b2=23，
故选B．

11. 设F1、F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|+|PF1|的最大值为(    )
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查线段和的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆定义及性质的合理运用．
由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|-|PF2|=10+|PM|-|PF2|≤10+|MF2|，当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，由此能求出|PM|+|PF1|的最大值．
【解答】
解：∵F1、F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点，
∴由题意F2(3,0)，
∵点M的坐标为(6,4)，∴|MF2|=(6-3)2+(4-0)2=5，
由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|-|PF2|=10+|PM|-|PF2|≤10+|MF2|=15，
当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，
∴|PM|+|PF1|的最大值为15．
故选：C．

12. 设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若cos∠AF2B=35，则椭圆E的离心率为(    )
A. 12 B. 23 C. 32 D. 22
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程及其性质、勾股定理的逆定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设|BF1|=k(k>0)，则|AF1|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF2B=35，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．
【解答】
解：设|BF1|=k(k>0)，
则|AF1|=3k，|AB|=4k，
∴|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k，
∵cos∠AF2B=35，
在△ABF2中，由余弦定理，得：
|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|⋅|BF2|cos∠AF2B，
∴(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2- 65(2a-3k)(2a-k)，
化简可得(a+k)(a-3k)=0，而a+k>0，故a=3k，
∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，|AB|=4k，
∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，
∴AF1⊥AF2，且AF1=AF2=3k，
∴△AF1F2是等腰直角三角形，2c2=2a2，
∴c=22a，
∴椭圆的离心率e=ca=22．
故选D．


13. 双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且斜率为3的直线与双曲线的左右两支分别交于P、Q两点，若QP=QF2，则双曲线C的离心率为(    )
A. 7 B. 6 C. 13+12 D. 13-12
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义，简单性质的应用，转化思想以及计算能力数形结合的应用，属于中档题．
根据双曲线的定义，可知|PF1|=2a，|PF2|=4a，|F1F2|=2c，利用余弦定理列出关系式求解双曲线的离心率即可．
【解答】
解：双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，
∵|QP|=|QF2|，|QF1-QF2|=2a，∴|PF1|=2a，|PF2|=4a，
|F1F2|=2c，因为直线PQ的斜率为3，∴∠PF1F2=π3，
由余弦定理可得：16a2=4a2+4c2-2×2a×2ccosπ3，
解得c2-ac-3a2=0，所以，e2-e-3=0，e>1，
可得e=13+12
故选：C．



14. 焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为54的双曲线标准方程是(     )．
A. x264-y2144=1 B. x236-y264=1 C. y264-x216=1 D. x264-y236=1
【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查学生掌握双曲线的性质，会利用待定系数法求双曲线的标准方程，是一道中档题．
由虚轴长是12求出虚半轴b，根据双曲线的性质c2=a2+b2以及离心率，求出a2，写出双曲线的标准方程．
【解答】
解：根据题意设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，
可知2b=12，解得b=6①，
又因为离心率e=ca=54②，
根据双曲线的性质可得a2=c2-b2③，
由①②③得，a2=64，
所以双曲线的标准方程为：x264- y236=1 ，
故选D．

15. 已知双曲线过点P(2,2)，其渐近线方程为y=±12x，则该双曲线的标准方程为(    )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查利用待定系数法求双曲线的标准方程，属基础题．
由双曲线的渐近线方程可以设其方程为：x24-y2=λ，将点(2,2)代入方程中，计算可得λ的值，即可得双曲线的方程． 
【解答】
解：∵双曲线的渐近线方程为y=±12x，
∴可设双曲线方程为x24-y2=λ，λ≠0，
将点(2,2)代入方程中，解得λ=-3，
∴双曲线方程为y23-x212=1 ，
故选D．


二、不定项选择题（本大题共1小题，共4.0分）
16. 已知斜率为2的直线l经过椭圆C:x25+y24=1的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是(    )
A. 椭圆C的短轴长为2 B. 椭圆C的离心率为55
C. |AB|=553 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，属于基础题．
根据椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系、弦长公式分别判断即可．
【解析】
解：由椭圆C的标准方程可知，短轴长为4，离心率为5-45=55，左焦点为F(-1,0)，
直线l的方程为y=2x+2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x25+y24=1y=2x+2可得3x2+5x=0，
∴x1+x2=-53，x1x2=0，
∴|AB|=1+22|x1-x2|=553，点O到直线l的距离为25=255，
∴S△AOB=12×553×255=53．
故选BCD．

三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
17. 设AB是椭圆x216+y24=1的长轴，若把AB分成10等分，依次过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…P9．F1为椭圆的左焦点，则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|+|F1B|的值______ ．
【答案】44
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆的定义，椭圆的性质和几何意义，属于中档题．
由题意可知当i+j=10时有：|PiF1|=|PjF2|，其中i、j∈{1,2，3，…，9}，由椭圆定义可知：|PiF1|+|PiF2|=2a=2×4=8，i∈{1,2，3，…，9}，根据椭圆性质则|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|=36，|F1A|+|F1B|=2a=8，即可求得答案．
【解答】
解：F1是椭圆的左焦点，不妨令右焦点为F2，
分别连接点F2与P1，P2，…P9九个点，

根据对称性易知当i+j=10时有：|PiF1|=|PjF2|，其中i、j∈{1,2，3，…，9}，
由椭圆定义可知：|PiF1|+|PiF2|=2a=2×4=8，i∈{1,2，3，…，9}，
∴2(|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|)=9×8=72，
即|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|=36，
又|F1A|+|F1B|=2a=8，
∴|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+⋯+|F1P9|+|F1B|
=36+8=44．
故答案为44．


18. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率______．
【答案】3-1
【解析】解：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)焦点在x轴上，设A(c2,y)，
将x=c2代入椭圆方程c24a2+y2b2=1，解得y=±b4a2-c22a．
∵△OFP为等边三角形，则tan∠AOF=yc2
∴b4a2-c22a=3×c2．
化为：e4-8e2+4=0，0 解得：e2=4-23，
由0 故答案为：3-1．
由题意可知：设A(c2,y)，代入椭圆方程，求得y，由等比三角形的性质可知：丨y丨=3⋅c2，由离心率的公式及离心率的取值范围，即可求得椭圆离心率．
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查等边三角形的性质，考查计算能力，属于中档题．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
19. 在平面xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e=32．(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l方程为y=12x+m，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．
【答案】解：(1)椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e=32，
可得：4a2+1a2-c2=1ca=32
解得a=22，c=6，则b=2，
∴椭圆方程为：x28+y22=1；
(2)直线方程为y=12x+m，
A(x1,y1)、B(x2,y2)，
∴联立方程可得y=12x+mx28+y22=1整理得：x2+2mx+2m2-4=0，
直线与椭圆要有两个交点，所以Δ=2m2-42m2-4>0，
即-2 当点P在直线AB上时m=0，
故-2 又x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，
利用弦长公式得：|AB|=1+k2x1+x22-4x1x2
=1+144m2-4(2m2-4)=5(4-m2)，

由点到直线的距离公式得到P到l的距离d=2|m|5．
S=12|AB|⋅d=12⋅5(4-m2)⋅2|m|5=m2(4-m2)≤m2+(4-m2)2=2．
当且仅当m2=2，即m=±2时取到最大值，
最大值为2．
【解析】本题主要考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力.属于中档题．
(1)利用已知条件列出方程组，然后求解a，b即可得到椭圆方程；
(2)联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过基本不等式求解最值即可．

20. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为22．(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l经过点P0,-1，且与椭圆交于A,B两点，若AP=2PB，求直线l的方程．
【答案】解：(1)依题意可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由2c=4，c=2，e=ca=22，则a=22，b2=a2-c2=4，
∴椭圆C的方程为：x28+y24=1．
(2)由题意可知直线l的斜率存在，设l的方程为：y=kx-1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=kx-1x28+y24=1，整理得(2k2+1)x2-4kx-6=0，且△>0，
则x1+x2=4k2k2+1，x1x2=-62k2+1，
由AP=2PB，
即(-x1,-1-y1)=2(x2,y2+1)，x1=-2x2，-x2=4k2k2+1-2x22=-62k2+1，
消去x2并解关于k的方程得：k=±3010，
∴l的方程为：y=±3010x-1．
【解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．
(1)设椭圆的方程，由2c=4，根据椭圆的离心率公式，即可求得a，b2=a2-c2，即可求得椭圆方程；
(2)设直线l的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及向量的坐标，即可求得k的值，求得直线l的方程．

21. 如图，设F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为左、右顶点，|AF|=2，离心率e=12，过点P(-8,0)作直线l与椭圆相交于不同的两点M，N．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求△MNF面积的最大值．
【答案】解：(1)因为|AF|=a-c=2，e=ca=12．
所以c=2，a=4，
所以b=a2-c2=23．
故c的标准方程为x216+y212=1．
(2)设M(x1,y1).N(x2,y2)，
显然直线l的斜率不为0.设直线l的方程为x=my-8．
联立x=my-8x216+y212=1可得(3m2+4)y2-48my+144=0．
由Δ=(-48m)2-4(3m2+4)×144=576(m2-4)>0，
解得m>2或m<-2．
且y1+y2=48m3m2+4，y1y2=1443m2+4，
|MN|=1+m2|y2-y1|=241+m2⋅m2-43m2+4．
又点F到直线l的距高d=2-81+m2=61+m2，
所以．
当且仅当3m2-4=16m2-4.即m=±2321时取等号．
所以△MNF面积的最大值为33．
【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，及基本不等式求最值，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、以及直线与椭圆的相交弦长公式的合理运用．
(1)由已知条件a-c=2，ca=12，求出a，c，由b=a2-c2解得b，由此能求出椭圆C的方程．
(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，由题意设直线AB的方程为x=my-8，由{x=my-8x216+y212=1.可得(3m2+4)y2-48my+144=0，由此韦达定理、点到直线距离公式等结合基本不等式及已知条件能求出△MNF面积的最大值．

22. 如图，已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B．

(1)若椭圆Γ的离心率为12，线段AF中点M(22,0)，求|BM|的值；
(2)若△ABF外接圆的圆心在直线y=-x上，△ABF外接圆的半径为3，求椭圆Γ的方程．
【答案】解：(1)因为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，
所以ca=12，则a=2c，
又A(a,0)，F(-c,0)，
因为线段AF中点M的横坐标为22，所以a-c2=22，
所以c=2，
则a2=8，b2=a2-c2=6，
可得B(0,6)，
由M(22,0)，所以|BM|=262；
(2)因为A(a,0)，F(-c,0)，
所以线段AF的垂直平分线方程为：x=a-c2．
又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y=-x上，
所以C(a-c2,-a-c2)，
因为A(a,0)，B(0,b)，
可得AB的斜率为-ba，中点为(a2,b2)，
所以线段AB的垂直平分线方程为：y-b2=ab(x-a2)，
由C在线段AB的垂直平分线上，得-a-c2-b2=ab(a-c2-a2)，
整理得，b(a-c)+b2=ac，即(b-c)(a+b)=0．
因为a+b>0，所以b=c，
△ABF外接圆的半径R2=|CA|2=(a-c2-a)2+(a-c2)2=a2+c22=9，
又a2=b2+c2，
可得a2=12，b2=6，
所求椭圆方程为x212+y26=1．
【解析】(1)运用椭圆的离心率公式和中点坐标公式、两点的距离公式，可得所求值；
(2)由A，F的坐标，可得AF的垂直平分线方程，以及圆心在直线y=-x上，可得圆心C的坐标，再由AB的垂直平分线方程，可得b=c，结合两点的距离公式可得a，b，进而得到椭圆方程．
本题考查椭圆的方程和性质、圆的方程的求法，以及直线方程和两直线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于较难题．

23. 设F1，F2分别是C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．
(1)若直线MN的斜率为34，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．
【答案】解：(1)∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，
∴M的横坐标为c，当x=c时，y=b2a，即M(c,b2a)，
若直线MN的斜率为34，
即tan∠MF1F2=b2a2c=b22ac=34，
即b2=32ac=a2-c2，
即c2+32ac-a2=0，
则e2+32e-1=0，
即2e2+3e-2=0
解得e=12或e=-2(舍去)，
即e=12．
(Ⅱ)由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，
设M(c,y)，(y>0)，
则c2a2+y2b2=1，即y2=b4a2，解得y=b2a，
∵OD是△MF1F2的中位线，
∴b2a=4，即b2=4a，
由|MN|=5|F1N|，
则|MF1|=4|F1N|，
解得|DF1|=2|F1N|，
即DF1=2F1N
设N(x1,y1)，由题意知y1<0，
则(-c,-2)=2(x1+c,y1).
即2(x1+c)=-c2y1=-2，即x1=-32cy1=-1
代入椭圆方程得9c24a2+1b2=1，
将b2=4a代入得9(a2-4a)4a2+14a=1，
解得a=7，b=27．
【解析】(1)根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为34，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；
(2)根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．
本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．