高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册抛物线课后练习题

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知识点一 抛物线的简单几何性质
知识点二 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
②eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝x1＋x2＋p；
③eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF)))＋eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF)))＝eq \f(2,p).
【题型目录】
题型一、抛物线的几何性质的应用
题型二、直线与抛物线的位置关系
命题角度1 直线与抛物线位置关系的判断
命题角度2 直线与抛物线的相交问题
题型三、抛物线的综合问题
题型一、抛物线的几何性质的应用
1．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
2．是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则
A．B．C．D．
3．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq \r(3)，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(2,0) B．(1,0) C．(8,0) D．(4,0)
题型二、直线与抛物线的位置关系
命题角度1 直线与抛物线位置关系的判断
4．抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能
5．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（ ）
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3，0) D．(－2，0)
6．设过抛物线焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是______．
命题角度2 直线与抛物线的相交问题
7．已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A，B两点，点A在l上的投影为D.若，则（ ）
A．B．2C．D．3
8．过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，若在其准线上的投影长为6，则（ ）
A．B．C．12D．
9．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则（ ）
A．2B．4C．D．
10．已知直线过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于，两点，若使的直线有且仅有1条，则______.
11．已知为抛物线的焦点，过点的直线l交抛物线于，两点，若，则线段的中点到直线的距离为 _____．
12．过抛物线的焦点F作直线，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线的倾斜角为___________．
13．过点的直线与抛物线交于两点，，则△ABC面积的最小值为_______________.
14．已知为坐标原点，直线与抛物线相交于两点.
(1)求证：；
(2)求的面积S.
15．已知抛物线E：y2＝8x．
(1)求抛物线的焦点及准线方程；
(2)过点P(-1,1)的直线l1与抛物线E只有一个公共点，求直线l1的方程；
(3)过点M(2,3)的直线l2与抛物线E交于点A，B．若弦AB的中点为M，求直线l2的方程．
题型三、抛物线的综合问题
16．如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.
(1)求y1y2的值；
(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：eq \f(k1,k2)为定值．
17．已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0))的距离小1.
①求动点P的轨迹C的方程；
②设斜率为－1且不过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2))的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0.
1．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（多选）已知直线与抛物线相切，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.
5．已知抛物线：的焦点为，第一象限的，两点在上，若，，，若直线的倾斜角为，则________．
6．已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交抛物线为A、B两点，点P为准线与x轴的交点，则面积的最小值为___________.
7．设抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，若轴，且，则_________.
8．过抛物线的焦点的直线和抛物线交于两点，若弦，则该直线的方程是___________.
9．已知动点到的距离与点到直线：的距离相等.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若过点且倾斜角为60°的直线与动点的轨迹交于，两点，求线段的长度.
10．已知抛物线的焦点为，直线与C交于A，B两点．
(1)若的倾斜角为且过点F，求；
(2)若线段AB的中点坐标为，求的方程．
11．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点 的直线与抛物线只有一个公共点.
(1)求抛物线的方程；
(2)求直线的方程.
1．点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A．B．或
C． D．或
2．已知抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣3过圆C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心，将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线C3，则直线l：x+16y﹣1＝0与抛物线C3的位置关系为（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．以上都有可能
3．已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则（ ）
A．4B．12C．4或16D．4或12
4．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
5．已知A，是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则下列说法错误的是（ ）
A．直线过焦点时，最小值为4
B．直线过焦点且倾斜角为60°时（点A在第一象限），
C．若中点的横坐标为3，则最大值为8
D．点A坐标，且直线，斜率之和为0，与抛物线的另一交点为，则直线方程为：
6．过抛物线的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于（ ）
A．或B．或C．或D．与p值有关
7．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则的最小值是（ ）
A．40B．36C．28D．24
8．过抛物线的焦点F的直线与其交于A，B两点，，如果，那么（ ）
A．B．C．D．
9．（多选）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
10．（多选）泰戈尔说过一句话:世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转转瞬间无处寻觅，已知，直线，若某直线上存在点，使得点到点的距离比到直线的距离大.则称该直线为“最远距离直线”.则下列结论错误的是（ ）
A．是“最远距离直线”
B．不是“最远距离直线”
C．点的轨迹与直线是没有交汇的轨迹(即两个轨迹没有交点）
D．点的轨迹曲线是一条线段
11．已知抛物线，过点作抛物线的切线为切点，则_________．
12．已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线交于两点，若，则__________.
13．已知抛物线，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段的长是焦半径长的3倍，则直线的斜率为______．
14．设过点K (-1，0）的直线l与抛物线C ： y2 =4x交于A 、B两点，为抛物线的焦点，若|BF| =2|AF|，则cs ∠AFB =_______．
15．已知抛物线焦点为F，直线MN过焦点F且与抛物线C交于M､N两点，P为抛物线C准线l上一点且，连接PM交y轴于Q点，过Q作于点D，若，则___________.
16．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4．
(1)求p的值；
(2)过焦点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，求．
17．已知O为坐标原点，直线l是抛物线的准线，抛物线上一点，直线m：与抛物线交于A、B两点.
(1)若圆C的圆心在y轴上，圆C与直线l相切，且圆C过点P，求圆C的标准方程；
(2)求面积的最小值.
18．已知为抛物线上不同的两点，若，且直线的倾斜角为.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线交于，两点，是线段的中点，若，求点到轴距离的最小值及此时直线的方程.
19．已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值．
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p