高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册抛物线当堂达标检测题

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知识点一 抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．
2．焦点：定点F.
3．准线：定直线l.
知识点二 抛物线的标准方程
【题型目录】
题型一、抛物线的定义
命题点1 抛物线定义的理解
命题点2 利用抛物线定义求动点轨迹
命题点3抛物线上的点到定点的距离及最值
命题点4 抛物线上的点到定点和焦点的距离和、差最值
题型二、求抛物线的标准方程
命题点1 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
命题点2 根据定义求抛物线的标准方程
命题点3 根据抛物线上的点求标准方程
题型一、抛物线的定义
命题点1 抛物线定义的理解
1．已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（ ）.
A．B．C．或D．4或
2．若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______.
3．已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则__________.
命题点2 利用抛物线定义求动点轨迹
4．在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．
6．若点满足方程，则点P的轨迹是______．
命题点3抛物线上的点到定点的距离及最值
7．已知函数的图象上一点，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知为抛物线C：上一动点，过C的焦点F作：的切线，切点为A，则线段FA长度的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
9．已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________.
命题点4 抛物线上的点到定点和焦点的距离和、差最值
10．已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
11．已知抛物线的焦点为，定点，点为抛物线上一点，则的最小值为（ ）
A．8B．C．6D．
12．（多选）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线上，则（ ）
A．当时，最小值为1
B．当时，的最小值为3
C．当时，的最小值为4
D．当时，的最大值为2
13．如图所示，已知P为抛物线上的一个动点，点，F为抛物线C的焦点，若的最小值为3，则抛物线C的标准方程为______.
14．若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.
15．设是抛物线上的一个动点，点是焦点．
(1)求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值；
(2)若，求的最小值．
题型二、求抛物线的标准方程
命题点1 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
16．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（ ）
A．B．C．或D．或
17．焦点在x－y－1＝0上的抛物线的标准方程是______．
18．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为_____
19．已知抛物线的准线方程为，点是抛物线的焦点.
(1)求抛物线的方程；
(2)斜率为的直线过点，且与交于，两点，求线段的长.
命题点2 根据定义求抛物线的标准方程
20．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
21．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为____________.
22．设抛物线的焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设与相交于点D．若，且的面积为，则直线的斜率________，抛物线的方程为________．
23．已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等.
(1)求曲线的方程；
(2)求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程.
命题点3 根据抛物线上的点求标准方程
24．若点是抛物线上一点，点到该抛物线焦点的距离为6，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
25．顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为________.
26．如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3米时，水面宽12米，则水面上升1米后，水面宽度为___________米.
27．已知抛物线C：，经过点．
(1)求抛物线C的方程及准线方程；
(2)设O为原点，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：OA⊥OB．
28．如图，是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12m，镜深2m．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线的焦点位置；
(2)若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求容器的每根铁筋的长度．
1．在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（ ）
A．抛物线B．直线
C．抛物线或直线D．以上结论均不正确
2．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．4B．2C．1D．
3．已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且若，则（ ）
A．2B．C．D．4
4．已知圆C与过点且垂直于x轴的直线仅有1个公共点，且与圆外切，则点C的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．.
5．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
7．如图，正方形和正方形的边长分别为，（），原点为边的中点，抛物线经过，两点，则（ ）
A．B．C．1D．
8．（多选）已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为1B．的最小值为
C．的最小值为4D．的最小值为
9．已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________.
10．已知直线，抛物线C：上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为______，P到直线l距离的最小值为______．
11．已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________.
12．已知动点是曲线上任一点，动点到点的距离和到直线的距离相等，求的方程，并说明是什么曲线；
13．已知点，点Q在曲线上．
(1)若点Q在第一象限内，且，求点Q的坐标；
(2)求的最小值．
14．在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．
已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求：
(1)点P到点F与它到______的距离之和的最小值；
(2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值；
(3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值．
1．已知抛物线：上一点到其焦点的距离等于，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知点､，若过､两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）
A．椭圆B．圆C．双曲线D．抛物线
3．抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（ ）
A．B．C．D．2
4．已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．8D．5
5．已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（ ）
A．B．C．D．
6．某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．（多选）设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线l的方程是B．的最大值为2
C．的最小值为7D．以线段为直径的圆与y轴相切
8．（多选）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（ ）
A．
B．若，则M到x轴距离为3
C．若，则
D．的最小值为4
9．从抛物线在第一象限内的一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为___________.
10．已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为_______.
11．抛物线上任意一点P到点的距离最小值为___________.
12．已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.
13．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，于H，若，则抛物线C的方程为___________.
14．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m．
15．若M是抛物线上一动点，点，设是点M到准线的距离，要使最小，求点M的坐标．
16．已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦长为8．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线和y轴的距离之和的最小值．
17．已知方程的抛物线上有一点，点M到焦点F的距离为5，求m的值．
18．已知抛物线过点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设抛物线的焦点为，坐标原点为.过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，求的面积.图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)