数学选择性必修 第一册抛物线当堂检测题

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1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.
2.会求简单的抛物线方程．
3.掌握抛物线的几何性质.
4.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．
5.会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题.
6.解决一些抛物线的综合问题．
知识解读
知识点一 抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F) 的点的轨迹．
2．焦点：定点F.
3．准线：定直线l.
【答案】距离相等
知识点二 抛物线的标准方程
【答案】y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
知识点三 抛物线的简单几何性质
【答案】e＝1 2p
知识点四 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有 个公共点；若Δ0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
②eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝x1＋x2＋p；
③eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF)))＋eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF)))＝eq \f(2,p).
跟踪训练
一、单选题
1．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（ ）
A．6B．5C．4D．2
【答案】C
【分析】根据抛物线的标准方程，确定准线方程，根据抛物线的定义计算可得；
【详解】解：设点的横坐标为，抛物线的准线方程为，
点在抛物线上，，
，．
故选：C．
2．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为（1，0），则p=（ ）
A．2B．3C．5D．7
【答案】A
【分析】根据抛物线的焦点坐标求得的值.
【详解】由于抛物线的焦点为，
所以.
故选：A
3．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设抛物线方程为，代入点的坐标，即可求出的值，即可得解；
【详解】解：依题意设抛物线方程为，因为抛物线过点，
所以，解得，所以抛物线方程为；
故选：C
4．抛物线经过点（1，2），则此抛物线焦点到准线的距离为（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】D
【分析】先求出，再根据抛物线标准方程的特征可求解.
【详解】因为抛物线经过点（1，2），
所以，所以，
所以抛物线的焦点到准线的距离等于.
故选：D
5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】求出焦点的坐标，过点作轴的垂线，垂足为，由可得，求出，结合抛物线的定义，即可得解．
【详解】解：由抛物线，可知，准线的方程为，
过点作轴的垂线，垂足为，
因为，所以，
所以，
所以点到准线的距离为．
故选：C．
6．抛物线的焦点为F，点M在C上，，则M到y轴的距离是（ ）
A．4B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】设，由抛物线的定义，即，即可求出答案.
【详解】抛物线的准线方程为：
设，由抛物线的定义知：，即，
即，所以M到y轴的距离是.
故选：B.
7．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】设，，利用抛物线的定义直接求出的值，进而得到的值，即可求解
【详解】如图所示，设，，
因为，所以点到准线的距离为3，
所以，得，
因为，
所以，
所以，得，
所以的值为，
故选：C
8．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是（ ）
A．（2，＋∞）B．（1，＋∞）
C．D．[1，＋∞）
【答案】A
【分析】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，求出，当的最小值在原点处取得时，圆过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点．
【详解】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，
，
若的最小值不在处取得，则圆不过原点，
所以，即，此时圆半径为．
因此当时，圆无法触及抛物线的顶点．
故选：A．
二、多选题
9．已知圆，直线，直线l与抛物线交于A，B两点，（ ）．
A．l被圆C截得的弦长的最小值为
B．l被圆C截得的弦长的最小值为
C．若弦AB中点的坐标为，则
D．若弦AB中点的坐标为，则
【答案】AD
【分析】对于A，B：因为直线过定点，且在圆C内，所以当直线l与CP垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，结合垂径定理求解判断；对于C，D：利用点差法，设点运算求解判断．
【详解】因为直线，，即过定点
，则在圆C内，
所以当直线l与CP垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短．
因为圆C的半径为2，，所以弦长的最小值为，A正确，B错误
设，，则，
相减得，整理得．
因为弦AB中点的坐标为，所以，得，C正确，D错误
故选：AD．
10．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ）
A．焦点的坐标为
B．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点
C．直线与抛物线相交所得弦长为8
D．抛物线与圆交于两点，则
【答案】ACD
【分析】先求出抛物线方程，对选项逐一判断即可.
【详解】由题可知抛物线方程为
对于A，焦点的坐标为，故A正确
对于B，过点有抛物线的2条切线，还有，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误
对于C，，弦长为，故C正确
对于D，，解得（舍去），交点为，有，故D正确
故选：ACD
11．已知点为抛物线的焦点，直线过点交抛物线于，两点，.设为坐标原点，，直线与轴分别交于两点，则以下选项正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则面积的最小值为
D．四点共圆
【答案】ACD
【分析】由抛物线焦半径公式可直接构造方程求得，知A正确；设，与抛物线方程联立可得，由向量数量积的坐标运算可知B错误；由可知C正确；表示出直线方程后，可求得点坐标，进而得到，知，同理可得，由此可知D正确.
【详解】
对于A，由抛物线焦半径公式得：，解得：，A正确；
对于B，由题意知：直线斜率存在，设，
由得：，；
由得：，则，
，B错误；
对于C，若，则，不妨设，
则（当且仅当时取等号），即面积的最小值为，C正确；
对于D，直线的斜率为，
直线的方程为，令得：，
点的横坐标为，即，
则直线的斜率，，，
同理可得：，四点共圆，D正确．
故选：ACD．
12．在平面直角坐标系中，，F为抛物线的焦点，点P在C上，轴于A，则（ ）
A．当时，的最小值为3
B．当时，的最小值为4
C．当时，的最大值为1
D．当轴时，为定值
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的定义结合图象一一计算可得；
【详解】解：对于A：时抛物线，焦点，点在抛物线外，
所以，当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故A错误；
对于B、C：当时抛物线，焦点，准线方程为，点在抛物线内，
设与准线交于点，则，所以，
当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故B正确；
，
当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故C正确；
对于D：抛物线，焦点，准线方程为，
当，此时，则，解得，
即或，如图取，则，，
所以，故D正确；
故选：BCD
三、填空题
13．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，到准线的距离为，且，则抛物线的方程为____________.
【答案】
【分析】根据抛物线的几何意义结合三角形种的关系求解即可
【详解】依题意可得，所以抛物线的方程为.
故答案为：
14．过点的抛物线的标准方程是__________.
【答案】或
【分析】按焦点位置的不同设出抛物线方程，利用待定系数法求解作答.
【详解】当抛物线焦点在x轴上时，设方程为，则有，解得，即有，
当抛物线焦点在y轴上时，设方程为，则有，解得，即有，
所以过点的抛物线的标准方程是或.
故答案为：或
15．已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________.
【答案】3
【分析】确定圆心坐标以及抛物线的焦点和准线，结合图形的结合性质可得，结合抛物线定义可得，即可得的最小值.
【详解】由题意得：,抛物线焦点为，准线为，
则
,当A,F,C三点共线时取等号，
而，故的最小值为，
故答案为：3
16．抛物线的焦点为，其准线与相交于A，两点，若为等边三角形，则___________.
【答案】
【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，求出AB的长，根据为等边三角形，得到关于p的方程，即可求得答案.
【详解】抛物线的焦点为，其准线为，
将与联立，得，解得，
则 ，
由于为等边三角形，故，
即，解得 ，
故答案为：6
四、解答题
17．已知点在抛物线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）将点代入抛物线方程，求解的值即可；
（2）设直线方程，与抛物线C的方程联立，由韦达定理得的值，计算的值即可.
【详解】(1)∵点在抛物线C上，
∴，解得，
∴抛物线C的方程为.
(2)证明：设直线，，，
联立，消去y可得，，
由韦达定理有，，
∴，即得证.
18．已知抛物线的焦点为，为坐标原点．
(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由，利用可构造方程求得，由此可得抛物线方程；
（2）根据对称性可知轴，设，代入抛物线方程可得，利用可构造方程求得，由此可得，即为所求边长.
【详解】(1)由抛物线方程知：，为抛物线的通径，则，
，解得：，
抛物线的标准方程为：.
(2)为正三角形，，由抛物线对称性可知：轴，
设，则，解得：，，
，，解得：，
，即的边长为.
19．已知动圆M过定点，且在y轴上截得的弦长为4，圆心M的轨迹为曲线L．
(1)求L的方程；
(2)已知点，，P是L上的一个动点，设直线PB，PC与L的另一交点分别为E，F，求证：当P点在L上运动时，直线EF恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．
【答案】(1)；(2)证明见解析，定点；
【分析】（1）设圆心，圆的半径为R，依题意得到方程，整理即可；
（2）设，，，即可得到直线的方程，同理可得直线与直线的方程，再根据直线过点，直线过点，即可消去，从而求出过定点坐标；
【详解】(1)解：设圆心，圆的半径为R，则，整理得．
所以动圆圆心的轨迹方程为．
(2)证明：抛物线的方程为，设，，，
则直线的方程为，
得，
又，所以直线的方程为．
同理可得直线的方程为，
直线的方程为
因为直线过点，所以；
因为直线过点，所以．
消去，得．
代入的方程，得，
所以直线恒过一个定点．
20．已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为.
(1)求抛物线的方程和点的坐标；
(2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点.
【答案】(1)抛物线；；(2)证明见解析
【分析】（1）设，结合抛物线焦半径公式可构造方程组求得，由此可得抛物线方程和点坐标；
（2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；由垂直关系可得，代入韦达定理的结论可整理得到，代入直线方程可得定点坐标.
【详解】(1)设，则，解得：，
抛物线；.
(2)由题意知：直线斜率不为零，可设，，，
由得：，，即；
，；
，，
又，；
则（此时成立），
直线，
当时，，直线恒过定点.
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
顶点坐标
O(0,0)
离心率

通径长