人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线第2课时学案设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线第2课时学案设计，共14页。学案主要包含了直线与抛物线的位置关系，弦长问题，抛物线的轨迹问题等内容，欢迎下载使用。

导语
一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？
一、直线与抛物线的位置关系
问题1 类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系．
提示 如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点．
知识梳理
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．
(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
注意点：
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
例1 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
解 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个解x＝eq \f(1,4)，
∴直线l与C只有一个公共点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，
此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点．
反思感悟 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点．
跟踪训练1 已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
答案 [－1,1]
解析 由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；
当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k<0或0二、弦长问题
问题2 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图．如何求弦AB的长度？
提示 1.利用弦长公式．
2．根据抛物线的定义|AB|＝x1＋x2＋p.
知识梳理
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
注意点：
(1)x1·x2＝eq \f(p2,4).
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (α是直线AB的倾斜角)．
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．
例2 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(5,2)p，求AB所在的直线方程．
解 由题意知焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠eq \f(5,2)p，不满足题意．
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，k≠0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由根与系数的关系得y1＋y2＝eq \f(2p,k)，y1y2＝－p2.
所以|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))·y1－y22)
＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))＝eq \f(5,2)p，
解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0
或2x＋y－p＝0.
延伸探究
若本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．
解 如图，过A，B，M分别作准线x＝－eq \f(p,2)的垂线交准线于点C，D，E.
由定义知|AC|＋|BD|＝eq \f(5,2)p，
则梯形ABDC的中位线|ME|＝eq \f(5,4)p，
∴点M到y轴的距离为eq \f(5,4)p－eq \f(p,2)＝eq \f(3,4)p.
反思感悟 求弦长问题的方法
(1)一般弦长：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
(2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
跟踪训练2 已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值．
解 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,y2＝8x，))
得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，
y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.
(1)因为|AB|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(2)·eq \r(64－32m)＝10，
所以m＝eq \f(7,16)，经检验符合题意．
(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，
解得m＝－8或m＝0(舍去)．
所以m＝－8，经检验符合题意．
三、抛物线的轨迹问题
例3 设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))的距离比点P到x轴的距离大eq \f(1,2).
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(6)，求实数k的值．
解 (1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝eq \f(1,2)，
∴eq \r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2)＝y＋eq \f(1,2)，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝2y，))消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(4k2＋8)
＝2eq \r(6)，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
反思感悟 求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．
跟踪训练3 若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
解 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且eq \f(p,2)＝2，p＝4，
故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝8x.
1．知识清单：
(1)直线和抛物线的位置关系．
(2)抛物线中弦长问题．
(3)抛物线的轨迹问题．
2．方法归纳：直接法、定义法、代数法．
3．常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误．
1．动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
答案 D
解析 依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，
设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，
所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线.
2．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
答案 D
解析 当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的．当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切．
3．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________.
答案 (4,2)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,y2＝4x，))
得x2－8x＋4＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4,2)．
4．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
答案 0或1
解析 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，
当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，
∴k＝1.
综上，k＝0或1.
课时对点练
1．过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|等于( )
A．16 B．12 C．10 D．8
答案 B
解析 由题意得p＝6，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋6＝12.
2．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆心C的轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
答案 A
解析 设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，所以圆心C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故圆心C的轨迹是抛物线．
3．直线2x－y－4＝0与抛物线y2＝6x交于A，B两点，则线段AB的长度为( )
A．8 B.eq \f(\r(285),2)
C.eq \f(\r(305),2) D.eq \f(\r(335),2)
答案 B
解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝6x，,2x－y－4＝0，))
消去y并整理得2x2－11x＋8＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(11,2)，x1x2＝4，
∴|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋4)×eq \r(\f(121,4)－4×4)＝eq \f(\r(285),2).
4．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(7,5) C.eq \f(8,5) D．3
答案 A
解析 方法一 设与抛物线相切的直线，
且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋m＝0.
与抛物线y＝－x2联立，消去y可得3x2－4x－m＝0，
由题意知，Δ＝16＋12m＝0，
∴m＝－eq \f(4,3).
∴最小值为两平行线之间的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)＋8)),5)＝eq \f(4,3).
方法二 设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，
该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为eq \f(|4m－3m2－8|,5)，
当m＝eq \f(2,3)时，取得最小值eq \f(4,3).
5．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且|OE|＝eq \r(13)，则p等于( )
A．2 B．3 C．6 D．12
答案 A
解析 由题意可知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，则直线AB为y＝x－eq \f(p,2)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝2px1，,y\\al(2,2)＝2px2，))相减得，
yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝2p(x1－x2)⇒y1＋y2＝2p，
因为E为线段AB的中点，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，即Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，p))，
因为E在直线AB：y＝x－eq \f(p,2)上，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3p,2)，p))，
又因为|OE|＝eq \r(13)，所以p＝2.
6．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为( )
A．2 B．4 C．2eq \r(2) D．8
答案 C
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
准线方程为x＝－eq \f(p,2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴直线AB的方程为y＝x－eq \f(p,2)，
代入y2＝2px可得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0，
∴x1＋x2＝3p，x1x2＝eq \f(p2,4)，
由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)，
∴|AF|·|BF|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2)))
＝x1x2＋eq \f(p,2)(x1＋x2)＋eq \f(p2,4)
＝eq \f(p2,4)＋eq \f(3,2)p2＋eq \f(p2,4)
＝2p2＝16，
解得p＝2eq \r(2).
7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
答案 eq \f(7,2)
解析 抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x＝－1，p＝2.由抛物线的定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋p＝7，故x1＋x2＝5.于是弦AB的中点M的横坐标为eq \f(5,2)，因此点M到抛物线准线的距离为eq \f(5,2)＋1＝eq \f(7,2).
8．已知抛物线C：y2＝2x，斜率为k的直线l过定点M(x0，0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3(O为坐标原点)，则x0＝________.
答案 3
解析 设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
与抛物线方程联立可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2x，,y＝kx－x0，))
消去y并整理可得，k2x2－(2k2x0＋2)x＋k2xeq \\al(2,0)＝0，
由根与系数的关系可得，x1x2＝xeq \\al(2,0)，
则y1y2＝－eq \r(4x1x2)＝－2x0，
∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3，
∴x1x2＋y1y2＝3，即xeq \\al(2,0)－2x0＝3，
解得x0＝3(负值舍去)．
9．过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A，B两点．求证：
(1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；
(2)直线AB过定点．
证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)，
(1)kOA＝eq \f(y1,x1)，kOB＝eq \f(y2,x2)，
∵OA⊥OB，
∴kOA·kOB＝－1，
∴x1x2＋y1y2＝0，
∵yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，
∴eq \f(y\\al(2,1),2p)·eq \f(y\\al(2,2),2p)＋y1y2＝0，
∵y1≠0，y2≠0，
∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.
(2)当直线AB的斜率存在时，∵yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，
∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(2p,y1＋y2)，
∴kAB＝eq \f(2p,y1＋y2)，
∴直线AB：y－y1＝eq \f(2p,y1＋y2)(x－x1)，
∴y＝eq \f(2px,y1＋y2)＋y1－eq \f(2px1,y1＋y2)，
∴y＝eq \f(2px,y1＋y2)＋eq \f(y\\al(2,1)－2px1＋y1y2,y1＋y2)，
∵yeq \\al(2,1)＝2px1，y1y2＝－4p2，
∴y＝eq \f(2px,y1＋y2)＋eq \f(－4p2,y1＋y2)，
∴y＝eq \f(2p,y1＋y2)(x－2p)，
∴AB过定点(2p,0)．
当直线AB的斜率不存在时，则kOA＝1，
∴直线OA：y＝x，与抛物线方程联立，得x2＝2px，
∴A(2p,2p)，故直线AB过定点(2p,0)，
综上，AB过定点(2p,0)．
10.如图，已知抛物线y2＝4x，其焦点为F.
(1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
解 (1)由题意知，中点弦所在的直线斜率存在．
设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则yeq \\al(2,1)＝4x1，yeq \\al(2,2)＝4x2，kPQ＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝2，
∴所求直线方程为2x－y－1＝0.
(2)依题意知，直线m，n的斜率存在，设直线m的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，其两根为x3，x4，且x3＋x4＝eq \f(4,k2)＋2.
由抛物线的定义可知，|AB|＝2＋x3＋x4＝eq \f(4,k2)＋4，
同理，|CD|＝4k2＋4，
∴四边形ACBD的面积S＝eq \f(1,2)(4k2＋4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,k2)＋4))＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋k2＋\f(1,k2)))≥32.当且仅当k＝±1时取得最小值．
11．设抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x＋4y＋12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为( )
A．2 B.eq \f(15,3) C.eq \f(16,3) D．3
答案 A
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,3x＋4y＋12＝0，))
得3y2＋16y＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故方程无解，
∴直线3x＋4y＋12＝0与抛物线相离．
又d1＋d2＝d1＋1＋d2－1，
而d1＋1为P到准线x＝－1的距离，
故d1＋1为P到焦点F(1,0)的距离，
从而d1＋1＋d2的最小值为F到直线3x＋4y＋12＝0的距离，
即eq \f(|1×3＋0×4＋12|,\r(32＋42))＝3，
故d1＋d2的最小值为2.
12．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为eq \r(3)的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(2) C．2eq \r(3) D．3eq \r(3)
答案 C
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝eq \r(3)(x－1)．
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝－\f(2\r(3),3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2\r(3).))
∵点M在x轴的上方，
∴M(3,2eq \r(3))．
∵MN⊥l，
∴N(－1,2eq \r(3))．
∴|NF|＝eq \r(1＋12＋0－2\r(3)2)＝4，
|MF|＝|MN|＝3＋1＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2eq \r(3).
13．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)的最小值是________．
答案 32
解析 设AB的方程为x＝my＋4，
代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ>0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
所以yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，
当m＝0时，yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)的最小值为32.
14．已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
答案 2
解析 由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点F的坐标为(1,0)，
所以直线AB的方程为y＝k(x－1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x，))
得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝eq \f(2k2＋2,k2)，x1x2＝1，
因为∠AMB＝90°，
所以eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1]
＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2
＝(1－k－k2)eq \f(2k2＋2,k2)＋(1＋k2)＋k2＋2k＋2＝0，
解得k＝2.
经检验，k＝2符合题意．
15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．今有抛物线y2＝2px(p>0)，如图，一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于x轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为__________．
答案 y2＝3x
解析 由抛物线的光学性质可得，PQ必过抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)).
当直线PQ的斜率不存在时，易得|PQ|＝2p；
当直线PQ的斜率存在时，
设PQ的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))
得k2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－px＋\f(p2,4)))＝2px，
整理得4k2x2－(4k2p＋8p)x＋k2p2＝0，
所以x1＋x2＝p＋eq \f(2p,k2)，x1x2＝eq \f(p2,4).
所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))>2p.
综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p＝3，
所以抛物线的方程为y2＝3x.
16.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的最小值．
解 (1)由题意可知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
则该直线方程为y＝x－eq \f(p,2)，
代入y2＝2px(p>0)，
得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则有x1＋x2＝3p.
∵|MN|＝8，
∴x1＋x2＋p＝8，
即3p＋p＝8，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，
得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.
∵直线l为抛物线C的切线，
∴Δ＝0，解得b＝1.
∴直线l的方程为y＝x＋1.
由(1)可知x1＋x2＝6，x1x2＝1.
设P(m，m＋1)，
则eq \(PM,\s\up6(→))＝(x1－m，y1－(m＋1))，eq \(PN,\s\up6(→))＝(x2－m，y2－(m＋1))，
∴eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)]·[y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)·(y1＋y2)＋(m＋1)2.
∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，
∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.
∵yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝4(x1－x2)，
∴y1＋y2＝4×eq \f(x1－x2,y1－y2)＝4，
∴eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2,3)时，eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))取得最小值，最小值为－14.