高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册抛物线测试题

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二、焦半径公式
设抛物线上一点的坐标为，焦点为.
1、抛物线，.
2、抛物线，.
3、抛物线，.
4、抛物线，.
【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.
三、直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.
2、以抛物线与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，
若，直线与抛物线有两个交点；
若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若，直线与抛物线没有交点.
（2）直线的斜率存在.
设直线，抛物线，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，
即二次方程（或）解的个数.
①若，
则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当时，直线与抛物线相离，无公共点.
②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点.
四、直线与抛物线相交弦长问题
1、一般弦长
设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为.
（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）.
（2）,
推导：由题意，知，① ②
由①-②，得.故，即.
（3）直线的方程为.
2、焦点弦长
如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，
根据抛物线的定义有，，
故.
又因为是梯形的中位线，所以，
从而有下列结论；
（1）以为直径的圆必与准线相切.
（2）(焦点弦长与中点关系)
（3）.
（4）若直线的倾斜角为，则.
（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.
（6）为定值.
题型一 由抛物线解析式研究其几何性质
【例1】对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
【解析】由题知，该抛物线的标准方程为，则该抛物线开口向上，焦点坐标为.故选：A.
【变式1-1】下列命题中正确的是（ ）
A．抛物线 的焦点坐标为 ．
B．抛物线 的准线方程为 x =−1．
C．抛物线 的图象关于 x 轴对称．
D．抛物线 的图象关于 y 轴对称．
【答案】C
【解析】抛物线 的焦点坐标为 ，故A错误；抛物线 的准线方程为，故B错误；抛物线 的图象关于 x 轴对称，故C正确，D错误；故选：C.
【变式1-2】下列抛物线中，开口最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于对于抛物线的标准方程中，开口最大：说明一次项的系数的绝对值最小，观察四个选项发现：A选项平方项的系数的绝对值最小，本题选择A选项.
【变式1-3】在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，方程表示焦点在轴上的椭圆，得表示焦点在轴上开口向左的抛物线.故选：D.
题型二 由抛物线的几何性质求标准方程
【例2】以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】依题意设抛物线方程为．因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或．故选：C．
【变式2-1】抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意设出抛物线的方程，因为点在抛物线上，所以有，解得，所以抛物线的方程是：，故选：B.
【变式2-2】抛物线顶点在原点，对称轴为轴，焦点在直线上．则抛物线方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由顶点在原点、对称轴为轴可知，抛物线方程为．在中，令，得焦点为，故．故答案为D
【变式2-3】点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【解析】将转化为,当时，抛物线开口向上，准线方程，
点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；
当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.
所以抛物线的方程为或故选：D
题型三 直线与抛物线的位置关系判断
【例3】设直线，抛物线，当为何值时，与相切 ？相交？相离？
【答案】当时，与相切；当时，与相交； 当时，与相离.
【解析】联立方程，得消去并整理，得.
当时，方程为一元二次方程.所以.
当，即时，与相切；当，即且时，与相交；
当，即时，与相离.当时，直线的方程为，显然与抛物线交于点.
综上所述，当时，与相切；当时，与相交； 当时，与相离.
【变式3-1】直线与抛物线的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【解析】直线过定点，∵，∴在抛物线内部，∴直线与抛物线相交，故选：A．
【变式3-2】过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【答案】C
【解析】由已知，可得
①当直线过点且与轴平行时，方程为，与抛物线只有一个公共点；
②当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线只有一个公共点；
③当直线斜率存在时，设直线方程为，由可得，，
，解得，故直线方程.所以存在3条直线，，
满足过点与抛物线只有一个公共点.故选：C.
【变式3-3】直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（ ）
A． B．， C．， D．或
【答案】D
【解析】当时，直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意；当时，由可得：，若直线与抛物线有且只有一个公共点，则，整理可得：，所以，综上所述：或，故选：D.
【变式3-4】抛物线上的点到直线的最短距离是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，无解，故直线与抛物线没有公共点,如图所示. 设直线与抛物线相切，则直线与的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，，则，，所以两平行直线与的距离为：.故选：B.
题型四 直线与抛物线相交弦长问题
【例4】已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由题意可知，所以直线与的方程为，联立直线方程和抛物线方程，可得，设则，所以.故选：D.
【变式4-1】过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则POQ的面积为_________.
【答案】
【解析】设P，Q，则，过抛物线y2=4x的焦点（1，0），
倾斜角为的直线为x-y-1=0，即x=1+y，代入y2=4x得：，即，
∴，∴
∴
【变式4-2】入射光线由点出发，沿轴反方向射向抛物线：上一点，反射光线与抛物线交于点，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】易得的纵坐标为，代入可得.根据抛物线的光学性质可得，因为入射光线由点出发，沿轴反方向射向抛物线，故反射光线经过抛物线的焦点，故的斜率为.设，则直线的方程为，联立可得，故故选：B
【变式4-3】已知直线与抛物线相交于两点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，直线不可能与轴平行，设直线的方程为，
由，消去，得，设，则，
所以，
因为，所以，解得或（舍），
，
当且仅当即时，取的最小值为,所以的最小值为,故选：C.
题型五 抛物线的中点弦及点差法
【例5】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【解析】设，，∵是AB的中点，∴，由，相减得，所以直线的斜率，故选：B．
【变式5-1】已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，，则，，所以，即，因为AB的中点为，，所以直线的斜率，所以直线的方程为，
所以焦点到直线的距离，故选：A.
【变式5-2】已知点F为抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点．若中点的纵坐标为2，则( )
A．6 B．7 C．9 D．10
【答案】D
【解析】焦点为，p＝4，设的中点为，
∴，∴，即，故，
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，故，故，∴，
∴．故选：D．
【变式5-3】经过抛物线：的焦点作直线与抛物线相交于､两点.若，则线段的中点的纵坐标为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】由题可得抛物线标准方程为，设，因为直线过抛物线焦点，所以，所以，中点，所以中点纵坐标为3，故选：C
题型六 抛物线中的定点定值最值问题
【例6】已知抛物线的焦点为，若过点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，满足．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点且斜率为的直线被抛物线截得的弦为，若在以为直径的圆内，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意知，则直线的方程为．
联立可得，，
设、，则．
由抛物线的定义可得，解得，所以抛物线的方程为．
（2）由题意知直线的方程为，
联立得，由，得．
设、，得，．
又，所以，．
因为点在以为直径的圆内，所以为钝角，即，
得
，解得.
因为，所以的取值范围为．
【变式6-1】已知、、，圆，抛物线，过的直线与抛物线交于、两点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与圆交于、两点，记面积为，面积为，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设、，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，与联立得，
所以，，因为，解得，
故抛物线的方程．
（2）由，，得，
设直线的方程为，即，则原点到直线的距离，
得，，
联立可得，即点，
所以，则且，则，
令，则，，则，
综上，的取值范围为．
【变式6-2】如图，已知抛物线，为抛物线焦点，点，,直线交抛物线于点，抛物线上的点（），过点作直线的垂线，垂足为.
（1）求抛物线的方程；
（2）求点到直线距离的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意得，到准线的距离等于，故，；
（2）由题意知，则，故，整理可得，
联立方程，整理得，可得.∴，
由题意，抛物线上（），过作直线的垂线，垂足为.
∴，可得，设到的距离为，则有，
，当且仅当时取等号.
【变式6-3】设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于、两点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线平分线段AB，求直线的倾斜角；
（3）若点 M 是抛物线的准线上的一点，直线的斜率分别为、、．求证：当时，为定值．
【答案】（1）；；（2）或；（3）证明见解析.
【解析】（1）设直线的方程为，代入，可得，所以，
又，所以，又，可得，所以抛物线的方程为；
（2）由（1）可知，
设点D是线段AB的中点，则有，，
由题知点D在直线上，所以，得或，
设直线l的倾斜角为，则或，又，
故直线的倾斜角为或；
（3）由题可知，抛物线的准线方程为，
所以，可得，即，由上知，又，
所以
，所以为定值．
【变式6-4】已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点.
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）（ⅰ）求证：直线过定点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H，设的面积为S，且满足，求直线的斜率的取值范围.
【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【解析】（1）由题意可知C：（）的准线方程为：，即，
所以.抛物线C的标准方程为
（2）设，，，
（ⅰ）由题意知直线不与y轴垂直，故直线方程可设为：，
与抛物线方程联立，化简得：，
根据韦达定理可得： 即，
，直线方程为，整理得：.
又因为，即.
将代入化简可得：，
代入整理得：故直线过定点
（ⅱ）由（ⅰ）知与x轴平行，直线的斜率一定存在，
由（ⅰ）知所以，
又因为即，化简得或
又由，得：且，即或
综上所述，
3.3.2 抛物线的简单几何性质
【题组1 由抛物线解析式研究其几何性质】
1、下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
【解析】抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.故选：A.
2、抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为抛物线：，所以其关于轴对称，即对称轴为直线．故选：D．
3、已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（ ）
A．2 B．2或4 C．1或2 D．1
【答案】B
【解析】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，
所以，即，代入抛物线方程可得，整理得，解得或.故选：B.
4、（多选）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时，
D．当点在曲线上时，点到直线的距离
【答案】AB
【解析】由抛物线定义，知曲线是以为焦点，
直线为准线的抛物线，其方程为，故A正确；
若点在曲线上，则点也在曲线上，故曲线关于轴对称，故B正确；
由知，故C错误；点到直线的距离，所以D错误故选：AB
5、已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【答案】B
【解析】对于①：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，矛盾.故①错误；对于②：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：异号，符合要求.故②成立；对于③：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，符合要求.故③成立；对于④：由椭圆的图像可知：；
由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，矛盾.故④错误；故选：B
【题组2 由抛物线的几何性质求标准方程】
1、求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点为；
（2）准线方程是；
（3）对称轴为x轴，焦点到准线的距离是4．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】（1）由题意设抛物线的方程为
由焦点为，则，则所以抛物线的方程为：
（2）由题意设抛物线的方程为
由抛物线的准线方程是，即，则所以抛物线的方程为：
（3）由题意设抛物线的方程为或
由焦点到准线的距离是4，则 所以抛物线的方程为：或
2、分别根据下列条件，求抛物线的标准方程．
（1）准线方程是；
（2）抛物线的焦点是双曲线的左顶点；
（3）抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，.
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】（1）准线方程为，所以抛物线方程开口向上，且，
得，所以抛物线方程是；
（2）双曲线方程，左顶点为，
所以抛物线的焦点为，抛物线的开口向左，，，
所以抛物线方程是；
（3）设抛物线方程，，当时，，
，即，解得：或，抛物线方程为或；
设抛物线方程，，当时，，
，解得：或，抛物线方程为或；
综上可知，抛物线方程为或.
3、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点F的距离等于5，则抛物线方程为______，m＝______．
【答案】
【解析】由题意可知抛物线的开口向左，所以设抛物线的方程为，则，
又因为点到焦点F的距离等于5，所以，解得，所以抛物线的方程为，将代入抛物线方程得：，解得.
故答案为：；.
4、顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为______．
【答案】
【解析】由抛物线的焦点在x轴上，设其方程为，因为通径长为6，所以，所以，所以所求抛物线方程为．
故答案为：．
【题组3 直线与抛物线的位置关系判断】
1、判断下列直线与圆锥曲线的交点情况：
（1）直线与抛物线；
（2）直线与椭圆.
【答案】（1）直线与抛物线有两个交点；（2）直线与椭圆有两个交点.
【解析】（1）联立方程得，
因为，所以方程有两个不等的实数根，
所以直线与抛物线有两个交点.
（2）联立方程得，
因为，所以方程组有两组解，所以直线与椭圆有两个交点.
2、（多选）已知直线与抛物线相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】联立可得，由题意可得，解得.故选：BC.
3、已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（ ）条
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】当直线平行于轴（即抛物线的）时，直线与抛物线只有一个公共点，直线与抛物线的轴不平行时，由于在抛物线的外部（与焦点在不同区域），因此过点有的抛物线的切线有两条．综上，符合要求的直线有3条．故选：D．
4、已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（ ）
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3，0) D．(－2，0)
【答案】A
【解析】因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.，将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3.故选：A
5、已知点在直线上，点在曲线上，则的最小值为_____.
【答案】
【解析】设与直线平行且与抛物线相切的直线为，则的最小值即为这两平行线间的距离，联立 消去，得 ，，即得直线和相切，故的最小值即为这两平行线间的距离，最小距离为 ，
故答案为：
【题组4 直线与抛物线相交弦长问题】
1、过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若的中点的横坐标为2，则线段的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】设点的横坐标分别为，则.由过抛物线的焦点的弦长公式知：.故选：C
2、直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ）
A．6 B．8 C．2 D．4
【答案】B
【解析】因为抛物线的焦点坐标为，又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，
所以，所以．故选：B
3、直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的半径为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【解析】直线刚好经过抛物线C的焦点（1，0），故，
所以以为直径的圆的半径为4.故选：A.
4、经过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若（其中O为坐标原点），则直线l的斜率为______．
【答案】
【解析】由已知，设直线斜率为，直线方程为，设，
由得，，，
，又到直线的距离为，
所以，．故答案为：．
5、若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.
【答案】8
【解析】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则其斜率存在，
设的方程为，，则由得，，，
又，所以，即，，
所以．故答案为：8．
【题组5 抛物线的中点弦及点差法】
1、已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A． B．3 C． D．－3
【答案】C
【解析】设，，则，所以，整理得．
因为弦的中点为，所以，即直线的斜率为．故选：C
2、已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点、，则，若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，则直线的斜率存在，由已知，两式作差可得，
所以，直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.故选：A.
3、已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于A，两点，线段中点的纵坐标为，则（ ）
A． B．4 C．8 D．24
【答案】C
【解析】记AB中点为，设，则，显然，所以由点差法得，由题知，，所以，易得直线AB方程为，则，即，所以.故选：C
4、已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，设，所以①，②，
所以，①②得：，即，
因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，
所以，即，所以抛物线，准线方程为.故选：B
5、若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.
【答案】
【解析】设点、的坐标分别是、，则，，
两式相减得，因，即有，
设直线的斜率是，弦的中点是，则，
从而的垂直平分线的方程为，
又点在直线上，所以，而，解得，
弦中点的横坐标为2.
故答案为：2
【题组6 抛物线中的定点定值最值问题】
1、如图，为抛物线的焦点，直线与抛物线交于、两点，中点为，当，时，到轴的距离与到点距离相等.
（1）求的值；
（2）若存在正实数，使得以为直径的圆经过点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当，时，设点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，所以，，，
即点，由已知可得，解得.
（2）因为存在正实数，使得以为直径的圆经过点，且，
联立可得，，可得，
由韦达定理可得，，
易得，，同理可得，
因为，所以，
所以，化简得，
令，则函数的对称轴为直线，
若方程有正根，则，又因为，解得.
2、已知抛物线：的焦点为，过点作圆：的两条切线，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线与交于，两点，若，到直线的距离分别为，.求的最小值.
【答案】（1）；（2）；
【解析】（1）圆：的圆心，半径
抛物线：的焦点，
设两条切线，与圆的切点为，则，
又，则四边形为正方形，
，即，解得
所以抛物线的方程为：
（2）由（1）知，设直线的方程为，
联立，得，由韦达定理得
设,，线段的中点为，到直线的距离为，
由梯形的中位线定理可得，
又
当时，取得最小值所以的最小值为
3、已知抛物线与直线相交于两点，线段中点的横坐标为5，且抛物线的焦点到直线的距离为.
（1）求， 的值；
（2）已知点为抛物线上一动点，点为轴上一点，求线段长最小值.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）由题设，抛物线焦点为，则，
联立直线与抛物线可得：，则，
综上，，可得或，又，所以.
（2）由（1）知：，设，
所以，又，
要使线段长最小，即最小即可，
当，即时，则时最小值为；
当，即时，则
若，则，则时最小值为；
若，则，则时最小值为；
综上，时线段长最小值为；时线段长最小值为；
4、抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
（1）求的准线方程；
（2）若是直线上的一动点，过向作两条切线，切点为M，N，试探究直线MN是否过定点？若是，请求出定点，若否，请说明理由.
【答案】（1）；（2）直线恒过定点.
【解析】（1）椭圆的焦点坐标为和，
又因为的焦点在轴正半轴上，所以的焦点坐标为，
从而准线方程为；
（2）由（1）知的方程为，即为，则，
设，切点，，从而切线方程为，即，
同理切线方程为分别代入有，
从而和均满足直线方程，
所以直线的方程为，即，
又因为在直线上，所以，
所以直线的方程为，从而直线恒过定点.
5、已知抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l与抛物线C相切，切点为A，当l的斜率为2时，.
（1）求p的值；
（2）平行于l的直线交抛物线C于B，D两点，且，点F到直线BD与到直线l的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，为定值3
【解析】（1）由，得，则，令，则，
即点的横坐标为，所以其纵坐标也为，故，所以；
（2）由（1）得，设直线的方程为，，
由得，即，即，
由（1）知，联立，消得，
则，所以，所以，
，设到直线和直线的距离分别为，
则由得，，
所以点F到直线BD与到直线l的距离之比是定值，为定值3.标准方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
范围
对称轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径