数学抛物线优秀第1课时教案

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题组一 求抛物线的弦长
【例题2】（1）已知直线与抛物线交于两点，则线段的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】联立直线与抛物线方程，根据弦长公式可求出结果.
【详解】联立，消去并整理得，
设，，
则，，
所以.
故选：C
（2）已知斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，则线段的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立，通过解方程组，利用两点间距离公式进行求解即可.
【详解】的焦点，
直线的方程为代入抛物线的方程，可得，
法一：解得，
交点为，，
即有.
法二：
故选：C.
题组三 抛物线通径问题
【例题3】（1）抛物线的通径长为
【答案】/
【分析】根据抛物线的通径的定义进行求解即可.
【详解】由，所以该抛物线的焦点坐标为，
把代入中，得，
所以抛物线的通径长为，
故答案为：
（2）以轴为对称轴，通径长为，顶点为坐标原点的抛物线方程是（ ）
A．或 B． C．或D．
【答案】C
【分析】根据通径长求得，进而求得抛物线的方程.
【详解】依题意设抛物线方程为，
则通径，所以抛物线方程为或.
故选：C
题组三 抛物线的圆切问题
【例题3】设抛物线的焦点为为其上一动点.当运动到点时，，直线与抛物线相交于两点，点.下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为
B．的最小值为6
C．以为直径的圆与轴相切
D．若以为直径的圆与抛物线的准线相切，则直线过焦点
【答案】BCD
【分析】对于A、B、C：根据题意结合抛物线的定义分析运算；对于D：根据圆的性质结合韦达定理分析运算.
【详解】对于A：因为抛物线的准线为，设点到的距离为，
则，解得，
所以抛物线的方程为，故A错误；
可得抛物线的方程为的焦点，准线.
对于B：若，则，解得，即点在抛物线内，
可得，
当且仅当点为过点作的垂线与抛物线的交点时，等号成立，故B正确；
对于C：设的中点为，过作y轴的垂线，垂足为，则，
因为，可得，
所以以为直径的圆与轴相切，故C正确；
对于D：设直线，
联立方程，消去x得，
则，
可得，
，
即的中点，
若以为直径的圆与抛物线的准线相切，则，
即，整理得，即，
此时，满足题意，
此时直线过焦点，故D正确；
故选：BCD.
基础达标
1．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】C
【分析】利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为，从而得到结果.
【详解】抛物线的焦点到准线的距离为， 由抛物线标准方程可得，
故选：C.
2．抛物线上一点到其对称轴的距离为（ ）
A．4B．2C．D．1
【答案】A
【分析】利用代入法进行求解即可.
【详解】把代入抛物线方程中，得，
因为该抛物线的对称轴为纵轴，
所以抛物线上一点到其对称轴的距离为4，
故选：A
3．方程的两个根可分别作为（ ）
A．椭圆和双曲线的离心率B．椭圆和抛物线的离心率
C．双曲线和抛物线的离心率D．两椭圆的离心率
【答案】B
【分析】求出两根，根据抛物线和椭圆的离心率范围即可得到答案.
【详解】由，得或1，
所以方程的两个根可分别作为椭圆和抛物线的离心率．
故选：B.
4．（多选）抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为（ ）
A．(3，2)B．(3，－2)
C．(－3，2)D．(－3，－2)
【答案】AB
【分析】设点P的坐标为(x，y)，利用抛物线的定义可得x－(－2)＝5，求得x＝3代入抛物线方程中可求出y的值，从而可求出点P的坐标
【详解】抛物线y2＝8x的准线方程为，
设点P的坐标为(x，y)，
∵|PF|＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3.
把x＝3代入方程y2＝8x得y2＝24，
∴y＝±.
∴点P的坐标为(3，±).
故选：AB.
5．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为
【答案】AC
【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论
【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．
故选：AC
6．（多选）下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】由同时满足方程求得正确答案.
【详解】关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，
同时满足方程、、，ACD选项正确.
，是开口向上的抛物线，关于轴对称，不关于轴对称，B选项错误.
故选：ACD
7．（多选）已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A．B．
C．D．的坐标为
【答案】AC
【分析】根据抛物线的定义和几何性质求解即可.
【详解】由题可知,由，，
所以，.
故选：AC．
8．已知抛物线上的点到准线的距离为4，则点的横坐标为 .
【答案】3
【分析】首先得到抛物线的准线方程，再设点的横坐标为，即可得到方程，解得即可.
【详解】抛物线的准线为，设点的横坐标为，
由抛物线上的点到准线的距离为4，可得，解得.
故答案为：
9．已知抛物线上一点，则点A到抛物线焦点的距离为 .
【答案】
【分析】先根据抛物线的方程求出准线方程，进而利用点A的纵坐标求得到点A准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案.
【详解】解：由题意得：
抛物线的准线方程为
点A到准线的距离为
根据抛物线的定义可知点A与抛物线的距离就是点A与抛物线准线的距离
点A与抛物线焦点的距离为
故答案为：
10．如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线于，两点.
(1)求的值；
(2)求证：OM⊥ON.
【答案】(1)4
(2)证明见解析
【分析】（1）设出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可；
（2）求出的值结合（1）中求出的值，直接证明即可.
【详解】（1）直线l的方程为，
直线与抛物线联立得，消去y可得，
其中，
由韦达定理得；
（2）证明：，，所以，
又∵，∴.
设OM，ON的斜率分别为，，
则，，有，
则OM⊥ON.
11．已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，
(1)求抛物线方程；
(2)求弦的长度；
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题意设抛物线为，结合所过的点求抛物线方程；
（2）由（1）及题设有直线，联立抛物线，应用韦达定理及弦长公式求AB.
【详解】（1）由题意，可设抛物线为，又抛物线经过点，
所以，则抛物线方程为.
（2）由（1）知：抛物线焦点为，则直线，
代入抛物线消去y，得，则，显然，
所以，，则.
能力提升
1．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【分析】正三角形的另外两个顶点关于轴对称，设另外两个顶点坐标分别是，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.
【详解】设正三角形得边长为，
由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是，
把顶点代入抛物线方程得解得，
所以正三角形的边长为.
故选：D.
2．设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，进而可得，由求解.
【详解】因为为抛物线的焦点，所以，所以抛物线的焦点的坐标为，
由抛物线定义可知2，
又，所以，解得，故，
所以为原点，
从而.
故选：D.
3．抛物线在点处的切线的斜率为（ ）
A．－1B．C．D．1
【答案】C
【分析】设切线方程为，联立方程组，，可解.
【详解】根据题意，抛物线在点处的切线的斜率存在，
设切线方程为，
联立方程组，得，
则，解得.
故选：C
4．抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（ ）．
A．B．C．4D．5
【答案】A
【分析】抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和，等于此点到焦点的距离与到直线的距离之和，其最小值为焦点到直线的距离，求值即可.
【详解】抛物线，焦点F1,0，准线方程为，
抛物线上的点，到其准线的距离为，到直线的距离为MN，
由抛物线的定义可知，则有，
其最小值为焦点F1,0到直线的距离．
即抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为.
故选：A.
5．抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先设点坐标，然后利用点到直线距离求解即可.
【详解】因为所求点在抛物线上，
所以设所求点为：，
所以点到直线距离为：
，
当且仅当时，有最小值，
此时，
故选：B.
6．设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点，以为直径的圆与准线切于点，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直线的方程，利用抛物线的性质，求出中的纵坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解即可得到抛物线方程．
【详解】
由于以为直径的圆与抛物线的准线相切，以为直径的圆过点，
可知的中点的纵坐标为：2，
直线的方程为：，
则，可得，则中的纵坐标为：，解得，
该抛物线的方程为：．
故选：B．
7．已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的最大值是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，由建立关于k的不等式，解之即可求解.
【详解】设直线的斜率为k，则直线的方程为，
由题意得直线与抛物线C有交点，联立方程，
得，
当时，，即；
当时，，解得且，
综上所述，k的最大值为．
故选：D．
8．（多选）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ）
A．B．
C．以为直径的圆与相切D．
【答案】CD
【分析】求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系计算弦长和三角形面积判断选项的正误即可
【详解】直线过抛物线的焦点，
可得，则，所以A选项错误；
抛物线方程为，准线的方程为，
直线与抛物线交于两点，设Ax1,y1,Bx2,y2，
直线方程代入抛物线方程消去可得，
则，得，所以B选项错误；
的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为，
则以为直径的圆与相切，所以C选项正确；
点到直线的距离，，所以D选项正确．
故选：CD．
三、填空题
9．过点的直线与抛物线交于不同两点A、B．则 ．（O为坐标原点）
【答案】0
【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，再利用韦达定理，结合数量积的坐标表示计算即得.
【详解】依题意，直线不垂直于轴，设直线的方程为，
由消去x并整理得，设，则，
所以.
故答案为：0
直击高考
1．（2022·全国·高考真题）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF|D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得A(3p4,6p2)，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得B(p3,−6p3)，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由OA⋅OB