数学集合的基本运算同步训练题

这是一份数学集合的基本运算同步训练题，文件包含人教A版必修一高一数学上册同步考点通关练习01集合原卷版docx、人教A版必修一高一数学上册同步考点通关练习01集合解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．
(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
2、集合间基本关系的2种判定方法和1个关键
两种方法：
(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；
(2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系
一个关键：
关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系
3、根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性；
(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．
4、集合基本运算的方法技巧
5、数形结合常使集合间的运算更简捷、直观
对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用．
6、集合运算中参数问题的求解策略
(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验．
7、集合新定义问题的求解思路
(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在；
(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件．
考点一 集合的含义
判断元素与集合的关系
1．下列关系中正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】是有理数，是实数，不是正整数，是无理数，当然不是整数．只有①正确．故选：A．
2．下列四个选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；故选：D
3．已知集合，，有以下结论：①；②；③．其中错误的是（ ）．
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
【解析】由可得，所以，故①错；，②错；，③对，故选：C．
根据集合中元素的个数求参数
4．（2022·全国·高一课时练习）已知，集合.
(1)若A是空集，求实数a的取值范围；
(2)若集合A中只有一个元素，求集合A；
(3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.
【解析】（1）若A是空集，则关于x的方程无解，此时，且，
所以，即实数a的取值范围是.
（2）当时，，符合题意；
当时，关于x的方程应有两个相等的实数根，
则，得，此时，符合题意.
综上，当时；当时.
（3）当时，，符合题意；
当时，要使关于x的方程有实数根，则，得.
综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为.
5．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____．
【解析】当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，解得x，故成立；
当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，解得；综上所述，a的取值范围是{0}∪[，+∞）．
故答案为：{0}∪[，+∞）．
6．已知集合，，若中有三个元素，则实数a的取值集合为（ ）．
A． B． C． D．
【解析】因为中有三个元素，且，，所以或．
①当时，解得或，均符合题意；②当时，解得，符合题意．故选：C
集合元素特性及其应用
7．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____.
【解析】由题意，若，则或，检验可知不满足集合中元素的互异性，
所以，则，所以，则，故.故答案为：.
8．已知集合，，则集合B中元素的个数为______.
【解析】因为，，，所以时，；时，或，时，或3或4.，所以集合B中元素的个数为6.
故答案为：6.
9．以实数为元素所组成的集合最多含有（ ）个元素．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】当时，，此时集合中共有2个元素；
当时，，此时集合中共有1个元素；
当时，，，此时集合中共有2个元素；
综上所述，以实数为元素所组成的集合最多含有2个元素.故选：C.
10．若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．菱形
【解析】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，以四个元素为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.
11．已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则．
(1)若，求出A中其他所有元素．
(2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数，再求出A中的元素．
(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？
【解析】（1）由题意，可知，
则，，，，
所以A中其他所有元素为，，2．
（2）假设，则，而当时，不存在，假设不成立，所以0不是A中的元素．
取，则，，，，
所以当时，A中的元素是3，，，．
（3）猜想：A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
由（2）知0，，若，则，与矛盾，则有，即，0，1都不在集合A中．若实数，则，，
，．
结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素，，，且，．
显然，否则，即，无实数解．同理，，即A中有4个元素．
所以A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
集合的表示
12．方程的所有实数根组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；
故选：C
16．方程组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由可得：或.所以方程组的解集是.故选：A
14．集合，用列举法可以表示为_________．
【解析】因为，所以，可得，因为，所以，集合．
故答案为：
考点二 集合间的基本关系
（一）集合间基本关系的判断
15．已知集合，，则满足条件的集合的个数为_________个
【解析】因为，,因为，所以1，2都是集合C的元素，集合C中的元素还可以有3，4，5，且至少有一个，所以集合C为：，，，，，， ，共7个.故答案为：7
16．设集合{是正四棱柱}，{是长方体}，{是正方体}，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】当正四棱柱的高与底面边长相等时，该正四棱柱为正方体；当长方体底面为正方形时，该长方体为正四棱柱；.故选：B.
17．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】当时，，当时， ，当时，，所以，或，或
因为，所以.故选：A
18．【多选】以下满足的集合A有（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可知，集合A包含集合，同时又是集合的真子集，则所有符合条件的集合A为,,.选项BD均不符合要求，排除.故选：AC
（二）（真）子集的列举与个数的计算
19．集合的子集个数为______．
【解析】由题意得，则A的子集个数为．
故答案为：32.
20．集合的真子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
【解析】∵，的真子集为：共7个．故选：C．
21．已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】因为集合的所有非空真子集为：，
所以有，故选：D
22．已知集合A={1，2，3，4，5}，集合B={1，2}，若集合C满足：，则集合C的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【解析】根据，集合可写成如下形式：
所以满足条件的集合C的个数为7个，选项B正确.故选：B.
（三）根据集合的包含关系求参数
23．已知集合，，，则实数a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得，，∵，，
∴实数a的取值集合为,故选:C.
24．关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B.
(1)求集合A，B；
(2)若，求实数a的取值范围.
【解析】(1)原不等式可化为：，解得，即，
绝对值不等式可化为：或，解得或，即或；
(2)由(1)得，或，
易知，因为，所以或，解得或，
所以实数的取值范围为或.
25．已知集合，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，求实数m的取值范围．
【解析】(1)①当B为空集时，，成立．
②当B不是空集时，∵，，∴，综上①②，；
(2)①当B为空集时，，，成立．
②当B不是空集时，，或，∴．
综上：或．
26．已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，，，故.
（2）由知，①当时，.
②当时，.综上.
考点三 集合的基本运算
集合的并集、交集运算
27．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】，则．故选：A
28．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，所以．故选：A
29．设全集U是实数集，集合，集合.
(1)求集合A，集合B；
(2)求.
【解析】(1)由题意知，，
且
(2)由（1）知，，，
所以，.
补集的运算
30．已知集合，则______.
【解析】或
故答案为:或.
31．已知集合，，则______．
【解析】因为，所以，所以或．
故答案为：或
32．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】，；
，；．故选：C．
交、并、补的综合运算
33．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，又全集，所以.故选：B
34.已知集合，．
(1)求；
(2)若全集，求及．
【解析】（1）∵ ， ，∴．
（2）根据题意，，∴．
∵，所以或，∴或
35．设全集，若，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为全集，由，
得，又，所以．故选：D．
由集合的运算结果求参数
36．设集合，，若，则m的值为_________.
【解析】当时，，显然，不符合题意；
当时，，因为，所以必有；
当时，，显然，不符合题意.
故答案为：.
37．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，又，所以当时，，要使，则，即．故选：A．
38．已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，所以或．
又且，所以，解得
所以实数的取值范围是．
（2）若（补集思想），则．
当时，，解得；
当时，，即，要使，则，得．
综上，知时，，
所以时，实数的取值范围是．
39．已知集合，，或．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，求实数m的取值范围．
【解析】（1）∵，∴．
在数轴上标出集合A，B，如图1所示，则由图1可知，解得．
∴实数m的取值范围为．
（2）∵，∴．
当，即，即时，满足．
当，即时，在数轴上标出集合B，C，
若，则有两种情况，如图2、图3所示．
由图2可知，解得，又，∴无解；由图3可知，解得．
综上，实数m的取值范围是．
40．已知集合，．
(1)若，求；
(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
【解析】(1)因为，所以，
又因为，所以．
(2)若选①：则满足或，
所以的取值范围为或．
若选②：所以或，
则满足，所以的取值范围为．
若选③： 由题意得，则满足
所以的取值范围为
41．已知集合，.请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)当时，求；
(2)若______，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由题意得，.
当时，，∴；
（2）选择①.
∵，∴，当时，，不满足，舍去；
当时，，要使，则，解得；
当时， ，此时，不满足，舍去.
综上，实数a的取值范围为.
选择②.
当时，，满足；
当时，，要使，则，解得；
当时，，此时，.
综上，实数a的取值范围为.
选择③.
当时，，，∴，满足题意；
当时，，，要使，则，解得；
当时，，，此时，，满足题意.
综上，实数a的取值范围为.
考点四 韦恩图的应用
42．设全集U是实数集R，，都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【解析】题图中阴影部分表示集合.故选：B
43．如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【解析】，则图中阴影部分表示的集合为集合的子集有（个）则图中阴影部分表示的集合的子集个数为8.故选：D
44．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（ ）
A．6 B．5 C．7 D．8
【解析】作韦恩图，如图所示，
则周一开车上班的职工人数为，周二开车上班的职工人数为，
周三开车上班的职工人数为，这三天都开车上班的职工人数为x.
则，得，
得，当时，x取得最大值6.故选：A
45．【多选】某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则（ ）
A．同时参加跳远和跑步比赛的有4人
B．仅参加跳远比赛的有8人
C．仅参加跑步比赛的有7人
D．同时参加两项比赛的有10人
【解析】设同时参加跳远和跑步比赛的有x人，由题意画出韦恩图，如图，
则，解得，故A正确；仅参加跳远比赛的人数为，故B错误；
仅参加跑步比赛的人数为，故C正确；同时参加两项比赛的人数为，故D正确；
故选：ACD
考点五 集合的新定义问题
46．已知集合，.
(1)求；
(2)定义，求.
【解析】(1) ，，；
(2)，，，.
47．集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则的真子集个数为（ ）
A．31 B．63 C．32 D．64
【解析】根据题意得，，则中有6个元素，∴的真子集个数为26﹣1＝63个．故选：B．
48．【多选】设M、N是两个非空集合，定义M⊗N＝{（a，b）|a∈M，b∈N}．若P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，则P⊗Q中元素的个数不可能是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【解析】因为P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，所以a有3种选法，b有3种取法，可得P⊗Q中元素为.所以P⊗Q中元素的个数是9（个）．故选：BCD．
49．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：①集合A＝{0}为闭集合；
②集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；
③集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
④若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中所有正确结论的序号是 ．
【解析】①0+0＝0，0﹣0＝0，0∈A，故①正确；②当a＝﹣4，b＝﹣2时，a+b＝﹣4+（﹣2）＝﹣6∉A，故不是闭集合，∴②错误；③由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故是闭集合，∴③正确；④假设A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝5k，k∈Z}，3∈A1，5∈A2，但是，3+5∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，∴④错误．正确结论的序号是①③．故答案为：①③.