人教A版 (2019)必修 第一册基本不等式课堂检测

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1、直接法求最值注意点
①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型.
积，和和平方和三者之间的不等式关系：
，
②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，求最值时要求"一正、二定、三相等".
③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值．
④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值．
2、配凑法
将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.
(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.
所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.
(2)配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
(3)形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
3、常数代换法
（1）若已知条件中的“１”（ 常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.
模型1 已知正数满足，求的最小值。
模型2 已知正数满足求的最小值。
（2）常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
①根据已知条件或其变形确定定值(常数)；②把确定的定值(常数)变形为1；③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；④利用基本不等式求解最值．
（3）有些问题从形式上看，似乎具备和与倒数和的一些特征，但细究起来，又存在明确的区别，求解此类问题时，需要对条件和结论中的表达式进行合理、巧妙的配凑与构造;从而变形、构造出和与倒数和的关系.
4、消元法
消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围
5、换元法
当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.
6、求参数的值或取值范围的方法
观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
7、求不等式恒成立问题常用分离参数法的方法
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
8、利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
考点一 利用基本不等式比较大小
1．【多选】下列不等式正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【解析】对于A选项，当时，，则，
当且仅当时，等号成立，A选项正确；
对于B选项，，则，，
当且仅当时，即，显然不成立，等号不成立，所以，，B选项正确；
对于C选项，取，可得，C选项错误；
对于D选项，，，当且仅当时，等号成立，D选项正确.
故选：ABD.
2．下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】对于A：若、时，故A错误；
对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误；对于C：若、时，，故C错误；
对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：D
3．【多选】设，，给出下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由可得，故A正确；由可得，故B错误；由，当且仅当时取等号，故C正确；
由，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选：ACD.
4．【多选】已知两个不为零的实数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】当时，得，A错；当时，，B错；，，当且仅当时，等号成立．C正确；是实数，则，，所以，当且仅当时等号成立，D正确．故选：CD．
考点二 利用基本不等式求最值
直接法
5．（2022·四川甘孜·高一期末）的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解析】因为，所以，当且仅当即时等号成立.
所以当时，函数有最小值4.故选：C.
6．已知，则的最大值是_________
【解析】，则，当且仅当即时取等号．
故答案为：.
7．已知，，若，则的最小值为____________．
【解析】因为，，，所以，当且仅当即时等号成立，
故答案为：8.
8．已知正数x、y满足x+=4，则xy的最大值为_______.
【解析】，当且仅当，即时，取等号，
所以xy的最大值为8.故答案为：8.
9．已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．6
【解析】因为，所以可得，则，
当且仅当，即时，上式取得等号，的最大值为2．故选：A．
配凑法
10．已知，则的最小值是______．
【解析】，则，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值是6.故答案为：6
11．已知，求的最大值．
【解析】，则，
，
当且仅当，即时等号成立．所以的最大值为1．
12．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最大值．
【解析】（1）因为，所以，所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9．
（2）因为，所以，
当且仅当，即时取等号，故的最大值为．
13．已知，则函数的最大值为_______.
【解析】由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，即最大值为.故答案为：.
14．已知为正实数，则的最小值为__________．
【解析】由题得，
设，则.当且仅当时取等.
所以的最小值为6.故答案为：6
15．当时，函数的最小值为___________．
【解析】因为，则，则，
当且仅当时，等号成立，所以，当时，函数的最小值为.
故答案为：.
16．“”是“关于的不等式（）有解”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】由题意知，可得，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以当时，的最小值为，
当时，可得关于的不等式有解成立，即充分性成立，
反之：关于的不等式有解时，不一定成立，即必要性不成立，
所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件.故选：A.
17．若，，则的最小值是（ ）
A．16B．18C．20D．22
【解析】因为，，所以
(当且仅当时，等号成立)，所以的最小值是20.故选：C
常数代换法
18．已知正实数x，y满足，则最小值为______．
【解析】正数，满足：，，
当且仅当，即，时 “”成立，故答案为：.
19．已知，若，则的最小值是___________.
【解析】因为，，所以
当且仅当，，即时，取“=”号，所以的最小值为16.
故答案为：16
20．若正数a，b满足，则的最小值为___________.
【解析】因为正数，满足，所以，则，当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为．
故答案为：．
21．已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为正实数满足，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.故选：B.
22．已知，均为正实数，且，则的最小值为
A．20B．24C．28D．32
【解析】均为正实数，且，则
当且仅当时取等号.
的最小值为20. 故选A.
23．已知，且，则的最小值为__________.
【解析】由，得，即.因为 所以，,
则=，当且仅当即时，等号成立.所以当时，取得最小值为.故答案为：.
24．已知，且，则的最小值为____________.
【解析】由题意得：，当且仅当 时取得等号，
故答案为：
25．已知，且，则的最小值为_______．
【解析】因为，且，
所以，当且仅当，时，等号成立．
故答案为：9
26．已知，则的最小值是______．
【解析】因为，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值是.故答案为：.
消元法
27．负实数、满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为负实数、满足，则，可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立.
故的最小值为.故选：A.
28．若正数满足，则的最小值是________．
【解析】由可得，所以，由得可得，所以，所以，当且仅当即，时等号成立，所以的最小值是，
故答案为：.
29．若正实数a，b满足，则的最小值为______；的最小值是______.
【解析】由，得，所以，同理可得，所以，.
因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号.又，所以，当且仅当，即，时等号成立.故答案为：，
30．若正数满足，则的最大值为______．
【解析】正数满足，，解得，
，
当且仅当时，即等号成立，的最大值为．故答案为：
换元法
31．若正数a，b满足，则的最小值是__．
【解析】设，则，可得，
所以
，当且仅当时，等号成立，取得最小值．故答案为：．
32．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.所以，即实数a的最小值为.故选：D.
不等式法
33．已知正数x，y满足，则的最小值为_________
【解析】由题意，正实数， 由（时等号成立），所以，
所以，即，解得（舍），，（取最小值）所以的最小值为.故答案为：
34．已知，，若，则的最大值为_________
【解析】正数，满足，，即，解得，
故，当且仅当时取等号．的最大值为，故答案为：4
35．已知，，，则的最小值为______．
【解析】由题知由基本不等式得，即，
令，，则有，整理得，解得(舍去)或，
即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4.故答案为：4.
综合应用
36．【多选】已知正数，满足，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为8D．的最小值为2
【解析】A：由，则，当且仅当时等号成立，正确；
B：由，当且仅当时等号成立，正确；
C：由，当且仅当时等号成立，正确；
D：由，当且仅当时等号成立，而且，，所以等号取不到，即，无最小值，错误.故选：ABC
37．已知，，，下列不等式正确的个数有（ ）
①，②，③，④.
A．1B．2C．3D．4
【解析】因为，，，所以，得，当且仅当时取等号，②对；由，当且仅当时取等号，①对；由得，所以，当且仅当时取等号，③对；由，当且仅当时取等号，④对，故选：D
38．【多选】下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是 -1
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数，满足，则的最大值是
【解析】对于A，因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为-1，故A正确；
对于B，因为，，都是正数，且，所以，
所以，
当且仅当，即即时等号成立，
所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为，，所以，即（当且仅当时等号成立），
因为，所以，所以，所以，
解得(舍去)或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；
对于D，令，，则，，因为，所以，同号，则，同号，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，故D正确，故选：ABD．
考点三 与基本不等式有关的参数问题
39．若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】不等式恒成立，，且
当且仅当，即，时取等号
，即解得
故实数的取值范围是故选：A
40．，，且，若对于任意的x，y不等式恒成立，则实数k的取值范围为______.
【解析】因为，，且，所以
又，当且仅当时，即时，等号成立；
所以的最小值为.所以有，解得，故答案为：.
41．已知，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围______．
【解析】因为，且，
所以，当且仅当时等号成立，
又不等式恒成立，所以，即，解得．
故答案为：.
42．已知不等式对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为______．
【解析】因为，当且仅当，，时取等号，所以，整理得，解得，故正实数 a 的最小值为9．
故答案为：9.
43．正数满足，若存在满足不等式有解，则实数x的取值范围为___________.
【解析】由题意，正实数满足，则，
当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为4，又由不等式有解，可得，即，解得或，即实数x的取值范围为.
故答案：.
44．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题意，正实数满足，则，
当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为，又由不等式有解，可得，即，解得或，即实数的取值范围为.
故选：C.
考点四 基本不等式的实际应用
45．某单位安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.1，为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为，记y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)求x为多少时，y有最小值，并求出y的最小值．
【解析】(1)由题意，y关于x的函数表达式为；
(2)因为，
当且仅当，即时等号成立.所以当时，y有最小值为3.
46．某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算知渗水现象正在以每天的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修，已知每个工人平均每天可抢修渗水面积，每人每天所消耗的维修材料费25元，劳务费75元，另外给每人发放100元的服装补贴，每渗水的损失为75元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天．
(1)写出n关于x的函数关系式；
(2)要使总损失最小，应派多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）．
【解析】（1）由题意知：抢修n天时，维修工人抢修的面积之和为，而渗水的面积为
所以有，可得（且）．
（2）设总损失为y，则
，
当且仅当时，即时，等号成立．
所以应派21名工人去抢修，总损失最小．
47．动物园需要用篱笆围成两个面积均为100的长方形熊猫活动室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于4，每个长方形平行于墙的边长也不小于4.
(1)设所用篱笆的总长度为l，垂直于墙的边长为x.试用解析式将l表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；
(2)怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？
【解析】(1)由题意得，每个长方形平行于墙的边长，则
∵且，∴，所以函数的定义域为
(2)，当且仅当，即时取等号，
当垂直于墙的边长为m时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是m.
48．2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 x= 4−. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.
(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【解析】（1）由题意知，每万件产品的销售价格为（万元），x= 4−
则2022年的利润．
（2）∵当时，，∴，（当且仅当时等号成立）
∴，当且仅当万元时，（万元）．
故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．
考点五 由基本不等式证明不等关系
49．若，，求证：．
【解析】因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立．
又，当且仅当时等号成立，所以，
当且仅当，即时取等号．
50．已知a，b，c均为正实数.
(1)求证：.
(2)若，求证：.
【解析】（1）因为a，b，c都是正数，所以
，当且仅当时，等号成立，所以；
（2），
当且仅当时等号成立.∴.
51．已知均为正实数．
(1)求证：．
(2)若，证明：．
【解析】（1）因为均为正实数，所以（当且仅当时等号成立），
（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），
以上三式相加，得（当且仅当时等号成立），所以（当且仅当时等号成立），
即（当且仅当时等号成立）．
（2）由题可得，
则左边
，
当且仅当，，，，即时取“＝”．
故成立．
考点六 新定义问题
52．若存在常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立（或和恒成立），则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，若函数和之间存在隔离直线，则实数b的取值范围是______．
【解析】因为函数和之间存在隔离直线，所以当时，可得对任意的恒成立，则，即，所以；当时，对恒成立，即恒成立，又当时，，当且仅当即时等号成立，所以，
综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.
53．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．16B．25C．36D．49
【解析】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为25.故选：B.