数学空间向量的应用第2课时练习题

这是一份数学空间向量的应用第2课时练习题，共12页。
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1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为150°,则直线l与平面α所成角的大小为( )
A.30°B.60°
C.150°D.120°
答案:B
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=2,BC=2,DD1=32,则AC与BD1所成角的余弦值是( )
A.0B.37070
C.-37070D.7070
答案:A
解析:如图,建立空间直角坐标系,则D10,0,32,B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),
所以BD1=-2,-2,32,AC=(-2,2,0).
设AC与BD1所成的角为θ,则cs θ=|cs|=|BD1·AC||BD1||AC|=0.
3.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=2AB,则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值为( )
A.23B.33
C.23D.13
答案:A
解析:不妨设AB=1,则AA1=2.
以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则D(0,0,2),C1(0,1,0),B(1,1,2),C(0,1,2),
所以DB=(1,1,0),DC1=(0,1,-2),DC=(0,1,0).
设n=(x,y,z)为平面BDC1的法向量,
则n·DB=0,n·DC1=0,即x+y=0,y-2z=0,
取y=2,则x=-2,z=1,于是n=(-2,2,1)是平面BDC1的一个法向量.
设直线CD与平面BDC1所成的角为θ,
则sin θ=|cs|=|DC·n||DC||n|=23.
4.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形, ∠DAB= π3,AB=2AD=2PD,PD⊥平面ABCD,则( )
A.PA⊥BD
B.PB与平面ABCD所成角为π3
C.直线AB与PC所成角的余弦值为255
D.平面PAB与平面ABCD的夹角为45°
答案:AC
解析:设AD=a,因为∠DAB=π3,AB=2AD=2PD=2a,
由余弦定理可得BD=3a,从而BD2+AD2=AB2,即BD⊥AD,
由PD⊥底面ABCD,建立空间直角坐标系,如图所示,
则A(a,0,0),B(0,3a,0),C(-a,3a,0),D(0,0,0),P(0,0,a),故PA=(a,0,-a),BD=(0,-3a,0), PB=(0,3a,-a),AB=(-a,3a,0),PC=(-a,3a,-a),所以PA·BD=a×0+0×(-3a)+(-a) ×0=0,所以PA⊥BD,即PA⊥BD,故A正确;易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),所以PB与平面ABCD所成角θ1满足sin θ1=|cs|=a2a=12,即PB与平面ABCD所成角为π6,故B错误;异面直线AB与PC所成角θ2满足cs θ2=|cs|=4a22a·5a=255,故C正确;设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),所以n·PA=0,n·PB=0,即ax-az=0,3ay-az=0,令y=1,则x=3,z=3,即n=(3,1,3)为平面PAB的一个法向量,由于cs=37=217,故D错误.故选AC.
5.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=1, AB=2,点E是线段AB上一点,当平面PEC与平面ABCD的夹角为π4时,则AE等于( )
A.1B.12
C.2-2D.2-3
答案:D
解析:以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,
设AE=m(0≤m≤2).
D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,2,0),E(1,m,0),C(0,2,0),PC=(0,2,-1),CE=(1,m-2,0),
可知平面ABCD的一个法向量n1=(0,0,1),设平面PEC的法向量为n2=(a,b,c),
则n2·PC=0,n2·CE=0,
∴2b-c=0,a+b(m-2)=0,∴c=2b,a=b(2-m),
令b=1,则a=2-m,c=2,于是n2=(2-m,1,2)是平面PEC的一个法向量.
|cs|=|n1·n2||n1||n2|=2(2-m)2+1+4=|csπ4|=22.∴m=2-3或m=2+3(舍去),
即AE=2-3.
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为C1C的中点,O为底面ABCD的中心,P为A1B1上的任意点,则直线BM与OP所成角的大小为 .
答案:π2
解析:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2,A1P=x(0≤x≤2),
则O(1,1,0),P(2,x,2),B(2,2,0),M(0,2,1),
所以OP=(1,x-1,2),BM=(-2,0,1).
所以OP·BM=0,所以OP⊥BM,即OP⊥BM.
所以直线BM与OP所成角的大小为π2.
7.已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则异面直线AE与A1C1所成角的余弦值等于 ,平面AEF与平面ABCD的夹角的正切值为 .
答案:3510 23
解析:如图,建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),E(1,1,13),F0,1,23,
所以AE=0,1,13,A1C1=(-1,1,0),EF=-1,0,13.
所以cs=AE·A1C1|AE||A1C1|=3510.
所以异面直线AE与A1C1所成角的余弦值等于3510.
由题意可知,n1=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.设平面AEF的法向量为n2=(x,y,z),由n2·AE=0,n2·EF=0,可得n2=(1,-1,3)为平面AEF的一个法向量.
所以cs=n1·n2|n1||n2|=31111.
设平面AEF与平面ABCD的夹角为α,则cs α=|cs|=31111,
从而sin α=2211.
所以tan α=23.
8.如图,在四面体ABCD中,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=2.求异面直线AB与CD所成角的余弦值.
解:如图,取BD的中点O,连接OA,OC,
则由题意知,OA⊥BD,OC⊥BD,OA=1,OC=3.
又CA=2,所以OA2+OC2=CA2,
所以OA⊥OC.
以O为原点,OB,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,1),
所以BA=(-1,0,1),CD=(-1,-3,0).
设异面直线AB与CD所成的角为θ,
则cs θ=|cs|=|BA·CD||BA||CD|=24.
故异面直线AB与CD所成角的余弦值为24.
9.(2025·广西高三毕业班高考适应性测试,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC,CD=2AB=2AD=2,M为棱PC的中点.
(1)证明:BM∥平面PAD;
(2)若AD⊥平面PCD,PC=5,PD=1,求平面PDM和平面BDM所成角的正弦值.
(1)证明 取PD的中点N,连接MN,AN,又M为棱PC的中点,AB∥DC,CD=2AB,所以MN∥CD∥AB,且MN=12CD=AB,即四边形ABMN是平行四边形.所以AN∥BM.又AN⊂平面PAD,BM⊄平面PAD,所以BM∥平面PAD.
(2)解 由PC=5,PD=1,CD=2,得PC2=PD2+CD2,进而PD⊥CD,又由AD⊥平面PCD,得AD⊥CD,AD⊥PD.以D为原点建立空间直角坐标系,如图所示.
则D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1),M(0,1,12),所以DB=(1,1,0),DM=(0,1,12).
显然平面PDM的一个法向量为m=(1,0,0).
设平面BDM的法向量为n=(x,y,z),
则n·DB=x+y=0,n·DM=y+12z=0,令z=2,则y=-1,x=1,
所以n=(1,-1,2)为平面BDM的一个法向量.所以cs=n·m|n||m|=16×1=66.
故平面PDM和平面BDM所成角的正弦值为306.
能力提升
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )
A.64B.104
C.32D.34
答案:A
解析:由题意可知,∠CB1C1=60°,∠DC1D1=45°,所以CC1=3B1C1,C1D1=DD1.
设B1C1=1,则CC1=3,C1D1=3.
如图,以A1为原点,建立空间直角坐标系,
则B1(3,0,0),C(3,1,3),C1(3,1,0),D(0,1,3),
所以B1C=(0,1,3),C1D=(-3,0,3).
设B1C和C1D所成的角为θ,则cs θ=|cs|=|B1C·C1D||B1C||C1D|=64.
故异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为64.
2.如图,在四棱锥 P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且PA⊥平面ABCD, PA=AD=AC,F为PC的中点,则平面PBC与平面BDF的夹角的正切值为( )
A.36B.34
C.33D.233
答案:D
解析:设AC与BD交于点O,连接OF,则由题意可知,OB,OC,OF两两互相垂直.
以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
设PA=AD=AC=1,则BD=3,所以O(0,0,0),B(32,0,0),F(0,0,12),C(0,12,0),P0,-12,1.所以PC=(0,1,-1),BC=(-32,12,0),OC=(0,12,0).易知OC=0,12,0为平面BDF的一个法向量.设平面PBC的法向量为n=(x,y,z).
则n·PC=0,n·BC=0,即y-z=0,-32x+12y=0,
取x=1,则y=3,z=3,所以n=(1,3,3)是平面PBC的一个法向量.
设平面PBC与平面BDF的夹角为θ,则cs θ=|cs|=217.
所以sin θ=277,tan θ=233.所以平面PBC与平面BDF的夹角的正切值为233.
3.(多选题)如图,三棱锥D-ABC的各条棱长均为2,OA,OB,OC两两垂直,则下列说法正确的是( )
A.OA,OB,OC的长度相等
B.直线OD与BC所成的角是45°
C.直线AD与OB所成的角是45°
D.直线OB与平面ACD所成的角的余弦值为33
答案:AC
解析:因为三棱锥D-ABC的各条棱长均为2,OA,OB,OC两两垂直,
所以OA=OB=OC=2,故A中说法正确;如图,建立空间直角坐标系.
可得O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),D(2,2,2),所以OB=(0,2,0),AC=(-2,0,2),AD=(0,2,2),OD=(2,2,2),BC=(0,-2,2).
故OD·BC=0,即OD⊥BC,直线OD与BC所成的角是90°,故B中说法不正确; cs=AD·OB|AD||OB|=22,可得直线AD与OB所成的角是45°,故C中说法正确;设平面ACD的法向量n=(x,y,z),
则n·AC=0,n·AD=0,即-2x+2z=0,2y+2z=0,
令x=1,则y=-1,z=1.
所以n=(1,-1,1)为平面ACD的一个法向量.
设直线OB与平面ACD所成的角为θ,
则sin θ=|cs|=|OB·n||OB||n|=22×3=33,cs θ=63,故D中说法不正确.
4.已知正三角形ABC与正三角形BCD所在平面垂直,则平面ABD与平面BCD的夹角的正弦值为 .
答案:255
解析:如图,取BC的中点O,连接AO,DO,则由题意可知,AO,DO,BC两两互相垂直.
以O为原点,OD,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
设BC=1,则A(0,0,32),B(0,-12,0),D(32,0,0),
所以OA=(0,0,32),BA=(0,12,32),BD=(32,12,0).
显然OA=(0,0,32)为平面BCD的一个法向量.
设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),
则n·BA=0,n·BD=0,即12y+32z=0,32x+12y=0.
取x=1,则y=-3,z=1.
所以n=(1,-3,1)为平面ABD的一个法向量.
设平面ABD与平面BCD的夹角为θ,
则cs θ=|cs|=|n·OA||n||OA|=55.
所以sin θ=255.
故平面ABD与平面BCD的夹角的正弦值为255.
5.在空间中,已知平面α过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点C(0,0,a)(a>0),若平面α与平面Oxy的夹角为45°,则a= .
答案:125
解析:由题意可知,AB=(-3,4,0),AC=(-3,0,a),平面Oxy的一个法向量为n=(0,0,1).
设平面α的法向量为u=(x,y,z),
则u·AB=0,u·AC=0,即-3x+4y=0,-3x+az=0,所以3x=4y=az.
取x=a3,则y=a4,z=1,于是u=a3,a4,1是平面α的一个法向量.
由题意得|cs|=1a29+a216+1=22,
又a>0,故a=125.
6.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)求证:OO1⊥平面ABCD;
(2)若∠CBA=60°,求平面OB1C1与平面BDD1B1的夹角的余弦值.
(1)证明:因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,
所以四边形ABCD与四边形A1B1C1D1均为菱形,
所以O为AC的中点,O1为A1C1的中点.
所以在矩形ACC1A1中,OO1⊥AC.
同理,OO1⊥BD.
又AC∩BD=O,
所以OO1⊥平面ABCD.
(2)解:由(1)知,四边形ABCD为菱形,OO1⊥AC,OO1⊥BD,
所以AC⊥BD,
所以OB,OC,OO1两两互相垂直.
如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
不妨设AB=2.
因为∠CBA=60°,所以OB=3,OC=1.
所以O(0,0,0),B1(3,0,2),C1(0,1,2),
所以OB1=(3,0,2),OC1=(0,1,2).
易知n1=(0,1,0)为平面BDD1B1的一个法向量.
设n2=(x,y,z)为平面OB1C1的法向量,
则n2·OB1=0,n2·OC1=0,
即3x+2z=0,y+2z=0.
取x=2,则y=23,z=-3,于是n2=(2,23,-3)是平面OB1C1的一个法向量.
设平面OB1C1与平面BDD1B1的夹角为θ,
则cs θ=|cs|=|n1·n2||n1||n2|=25719.
故平面OB1C1与平面BDD1B1的夹角的余弦值为25719.
7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中AD∥BC,AD⊥BA,AD=3,AB=BC=2,PA⊥平面ABCD,且PA=3,点M在棱PD上(不包括端点),点N为BC中点.
(1)若DM=2MP,求证:直线MN∥平面PAB.
(2)求平面CPD与平面CPN的夹角的余弦值.
(3)是否存在点M,使NM与平面PCD所成角的正弦值为26?若存在,求出PMPD的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明:取PA的一个靠近点P的三等分点Q,连接MQ,QB,
因为DM=2MP,
所以MQ∥AD且QM=13AD=1,
又因为AD∥BC,且BC=2,点N为BC中点,
所以BN∥MQ,且BN=MQ,则四边形MQBN为平行四边形,
所以MN∥BQ,MN⊄平面PAB,QB⊂平面PAB,
所以直线MN∥平面PAB.
(2)解:如图所示,以点A为原点,以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴,以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
则B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0),P(0,0,3),
又N为BC的中点,则N(2,1,0),
所以PD=(0,3,-3),CD=(-2,1,0),PN=(2,1,-3),PC=(2,2,-3).
设平面CPD的法向量为n1=(x,y,z),则PD·n1=3y-3z=0,CD·n1=-2x+y=0,
令x=1,则n1=(1,2,2)为平面CPD的一个法向量.
设平面CPN的法向量为n2=(a,b,c),
则PC·n2=2a+2b-3c=0,PN·n2=2a+b-3c=0,
令a=3,则n2=(3,0,2)为平面CPN的一个法向量,
所以cs=n1·n2|n1||n2|=3+41+4+4·9+4=71339,
所以平面CPD与平面CPN的夹角的余弦值为71339.
(3)解:假设存在点M,
设PMPD=λ,即PM=λPD,λ∈(0,1),
由(2)得D(0,3,0),P(0,0,3),N(2,1,0),且平面CPD的法向量n1=(1,2,2).
PD=(0,3,-3),PM=(0,3λ,-3λ),
则M(0,3λ,3-3λ),
所以MN=(2,1-3λ,3λ-3).
因为NM与平面PCD所成角的正弦值为26,
则sin θ=|cs|=|MN·n1||MN||n1|=|2+2-6λ+6λ-6|1+4+4·4+(1-3λ)2+(3λ-3)2=26,
整理得3λ2-4λ+1=0,
解得λ=13或λ=1(舍去),
故存在点M,使NM与平面PCD所成角的正弦值为26,此时PMPD=13.