高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用精品同步达标检测题

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知识点 1 用向量法求空间距离
1、点到直线的距离
已知直线l的方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为（如图）．
【注意】
1.也可以用此法求“两条平行直线直接的距离”，即在一直线上任取一点，再利用点到直线的距离求得.
2. “两条相交直线直接的距离”为0
2、点到平面的距离
已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（如图）.
注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
直线与平面之间的距离：先证线面平行，在，其中，是平面的法向量．
两平行平面之间的距离：先证面面平行，在，其中，是平面的法向量．
3、异面直线的距离
已知直线l的方向向量为，A是直线l上的定点，直线m的方向向量为，B是直线l上的定点，先求向量，异面直线的距离
注意：此法常用于求两异面直线中一条直线上动点到另一直线距离的最小值。
知识点 2 用向量法求空间角
1、异面直线所成角
（1）若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则.
（2）利用空间向量求异面直线所成角的步骤：
= 1 \* GB3 ①建立适当的空间直角坐标系，
= 2 \* GB3 ②求出两条异面直线的方向向量的坐标，
= 3 \* GB3 ③利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角，
= 4 \* GB3 ④结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角．
（3）求两条异面直线所成角的两个关注点
= 1 \* GB3 ①余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角．
= 2 \* GB3 ②范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值．
2、直线与平面所成角
夹角定义：设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为．则．
3、平面与平面的夹角
平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角.
若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则.
【注意】二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决，也可就法向量与平面相对方向定。
【题型1 向量法求点到直线的距离】
例1．（23-24高二上·河北石家庄·月考）在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（23-24高二下·江西·月考）已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【题型2 向量法求点到平面的距离】
例2. （23-24高二上·陕西渭南·月考）已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A．10B．3C．D．
【变式2-1】（23-24高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点．
(1)求证：；
(2)若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离．
【题型3 向量法求直线到平面的距离】
【变式例3】（23-24高二下·山东烟台·月考）如图，在三棱锥中，平面，点分别为的中点，是线段的中点，，则直线到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式3.1】（24-25高二上·河南·期末）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2AA1=6,AB⊥BC,M是BC的中点．
(1)求证：A1B//平面AMC1；
(2)求直线A1B到平面AMC1的距离．
【题型4 向量法求平面到平面的距离】
【例4.】（22-23高二下·江苏淮安·期中）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（ ）
A．B．1C．D．
【变式4.1】（24-25高二·全国·课堂例题）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为A1,0,0，D0,0,0，A11,0,1，C10,1,1，求平面AB1C与平面A1C1D之间的距离．
【题型5 向量法求异面直线所成角】
例5. （23-24高二下·广西南宁·月考）已知点，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（23-24高二上·广东佛山·月考）在三棱锥中，已知平面分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【题型6 向量法求线面角】
【例6】（24-25高二上·天津和平·期末）已知平面α的一个法向量为n=2,1,-1，点A-1,2,0在平面α内，点P-1,2,3在平面α外，则直线PA与平面α所成角的大小为（ ）
A．5π6B．2π3C．π3D．π6
【变式6.1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=1.则直线PC与平面PBD所成角的正弦值为（ ）
A．13B．23C．223D．53
【题型7 向量法求二面角】
例7. （23-24高二上·浙江·期中）正方体中，二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（23-24高二下·福建龙岩·月考）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（23-24高二下·甘肃武威·月考）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，是的中点，在线段上，且.
(1)求证：
(2)求平面与平面所夹二面角余弦值.
专题训练
一、单选题
1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知A2,2,1，B3,2,0，则点P2,0,-1到直线AB的距离为（ ）
A．3B．2C．5D．6
2．（24-25高二上·安徽六安·期末）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AD的中点，N是C1D1的中点，则异面直线D1M与DN所成角的余弦值为（ ）
A．13B．25C．23D．45
3.（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线l的一个方向向量为n1=(-1,0,2)，平面α的一个法向量为n2=(1,2,2)，则直线l与平面α所成角的余弦值为（ ）
A．255B．55C．53D．23
4.（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A．或－1B．或1C．－1或2D．
5．（23-24高二下·江苏连云港·月考）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
6.（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线AA1的距离的最小值为（ ）
A．455B．255C．355D．155
二、多选题
7.（24-25高二上·江苏南通·期末）设l1⊥平面α,l2⊥平面β,m,n分别为l1,l2的一个方向向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若m⊥n，则α⊥β
B．若csm,n=-12，则l1,l2所成角为60∘
C．若csm,n=-12，则l1与β所成角为60∘
D．若csm,n=-12，则α,β的夹角为60∘
8．（23-24高二上·山东泰安·月考）已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．BE与所成角的正弦值是B．点O到平面的距离是
C．平面与平面间的距离为D．点P到直线AB的距离为
三、填空题
9.（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2 ，AD=DD1=1，则异面直线AC与DA1所成角的余弦值为 1010 ．

10．（24-25高二上·安徽·期末）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB=AD=2AA1=2，点E，F满足AE=12AB1，A1F=14A1D，则直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为 2121 .
四、解答题
11．（22-23高二上·广东东莞·月考）如图，在正方体中，已知棱长为4，点E，F分别在，上，.
(1)求异面直线AE和所成角的余弦值;
(2)求直线AE和平面所成角的正弦值；
(3)求平面和平面所成角的余弦值.
12．（23-24高二下·江苏泰州·月考）如图，在三棱柱中，，侧面是正方形，二面角的大小是．
(1)求直线到平面的距离．
(2)线段上是否存在一个点D，使直线与平面所成角为？若存在，求出的长；若不存在说明理由．