人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用第1课时同步练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用第1课时同步练习题，共10页。
课后·训练提升
基础巩固
1.在三棱锥O-ABC中,OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA.若OA=1,OB=2,OC=2,则点A到直线BC的距离为( )
A.2B.3
C.5D.3
答案:B
解析:如图,建立空间直角坐标系,则由题意可知,A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),
所以AB=(-1,2,0),BC=(0,-2,2).
取a=AB=(-1,2,0),u=BC|BC|=(0,-22,22),
所以点A到直线BC的距离d=a2-(a·u)2=3.
2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为( )
A.12B.22
C.13D.32
答案:D
解析:如图,建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),D1(0,0,1),M1,1,12,N12,1,1,C(0,1,0),
所以AD1=(-1,0,1),D1C=(0,1,-1),MN=-12,0,12.
因为MN=12AD1,且直线AD1与MN不重合,所以MN∥AD1.
又MN⊄平面ACD1,AD1⊂平面ACD1,所以MN∥平面ACD1.
所以MN到平面ACD1的距离即为点M到平面ACD1的距离.
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则n·AD1=0,n·D1C=0,
可得n=(1,1,1)为平面ACD1的一个法向量.
又AM=0,1,12,
所以点M到平面ACD1的距离d=|AM·n||n|=32.
所以直线MN到平面ACD1的距离为32.
3.(多选题)如图所示,在三棱锥S-ABC中,△ABC为等边三角形,SA⊥平面ABC,SA=3,AB=2.点D在线段SC上,且SD=13SC,点E为线段SB的中点,以线段BC的中点O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴,过点O作SA的平行线为z轴,建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是( )
A.直线CE的一个方向向量为12,32,32
B.点D到直线CE的距离为8721
C.平面ACE的一个法向量为(3,3,-2)
D.点D到平面ACE的距离为1
答案:ABD
解析:依题意,S(3,0,3),A(3,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),E32,12,32.
由SD=13SC,得D233,-13,2,∵CE=32,32,32=312,32,32,故A正确;
CD=233,23,2,AC=(-3,-1,0),AE=-32,12,32,
故点D到直线CE的距离d=CD2-(CD·CE|CE| ) 2=8721,故B正确;
设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量,
则AC·n=0,AE·n=0,即-3x-y=0,-32x+12y+32z=0,
令z=-2,则n=(-3,3,-2)为平面ACE的一个法向量,故C错误;
而CD=233,23,2,故点D到平面ACE的距离d1=|CD·n||n|=1,故D正确.故选ABD.
4.在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1).已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d= .
答案:2
5.如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离是 .
答案:233
解析:如图,以AB的中点O为原点,建立空间直角坐标系,
则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),
所以AD=(0,0,2),AE=(1,1,0),AC=(0,2,2).
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),
则n·AE=0,n·AC=0,即x+y=0,2y+2z=0.
令y=1,则x=-1,z=-1.
所以n=(-1,1,-1)为平面ACE的一个法向量.
故点D到平面ACE的距离d=|AD·n||n|=233.
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别为AB,CC1的中点,则点D到直线GF的距离为 .
答案:2
解析:如图,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),F(1,1,0),G(0,2,1),
所以GF=(1,-1,-1),DF=(1,1,0).
取a=DF=(1,1,0),u=GF|GF|=33,-33,-33,
所以点D到直线GF的距离为a2-(a·u)2=2.
7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,CD的中点,则点D到直线A1C1的距离为 ,直线BD到平面EFD1B1的距离为 .
答案:62 13
解析:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),D1(0,0,1),F0,12,0,B1(1,1,1),A1(1,0,1),C1(0,1,1),
所以DA1=(1,0,1),A1C1=(-1,1,0).
取a=DA1=(1,0,1),u=A1C1|A1C1|=-22,22,0,
所以点D到直线A1C1的距离为a2-(a·u)2=62.
因为E,F分别为BC,CD的中点,所以EF∥BD.
又EF⊂平面EFD1B1,BD⊄平面EFD1B1,
所以BD∥平面EFD1B1.
所以BD到平面EFD1B1的距离即为点D到平面EFD1B1的距离.
因为DD1=(0,0,1),D1F=0,12,-1,D1B1=(1,1,0),
设平面EFD1B1的法向量为n=(x,y,z),
则n·D1F=0,n·D1B1=0,即12y-z=0,x+y=0,所以z=12y,x=-y.
令y=2,则x=-2,z=1.
所以n=(-2,2,1)为平面EFD1B1的一个法向量.
所以点D到平面EFD1B1的距离d=|DD1·n||n|=13.
所以直线BD到平面EFD1B1的距离为13.
8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,BC=4,BB1=3,求点B1到平面A1BC1的距离.
解:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A1(4,0,3),B1(4,6,3),B(4,6,0),C1(0,6,3),
所以A1C1=(-4,6,0),A1B=(0,6,-3),A1B1=(0,6,0).
设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),
则n·A1C1=0,n·A1B=0,
即-4x+6y=0,6y-3z=0.
令x=3,则y=2,z=4.
所以n=(3,2,4)为平面A1BC1的一个法向量.
所以点B1到平面A1BC1的距离d=|A1B1·n||n|=122929.
9.在三棱锥B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求点D到平面ABC的距离.
解:如图,以AD的中点O为原点,建立空间直角坐标系,
则由题意可知,A-12,0,0,B3-12,0,12,C0,32,0,D12,0,0,
所以AC=12,32,0,AB=32,0,12,AD=(1,0,0).
设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,
则n·AB=32x+12z=0,n·AC=12x+32y=0.
令y=-1,则x=3,z=-3.所以n=(3,-1,-3)为平面ABC的一个法向量.
所以点D到平面ABC的距离为|AD·n||n|=3913.
能力提升
1.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=3,在△ABC中,∠ACB=90°, AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为( )
A.32B.22
C.12D.1
答案:A
解析:如图,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则C(0,0,0),B(0,1,0),A1(1,0,3),B1(0,1,3),
所以A1B=(-1,1,-3),A1C=(-1,0,-3),A1B1=(-1,1,0).
设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则n·A1B=0,n·A1C=0,即-x+y-3z=0,-x-3z=0.
令x=-3,则y=0,z=1.
所以n=(-3,0,1)为平面A1BC的一个法向量.
故点B1到平面A1BC的距离d=|A1B1·n||n|=32.
2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0