人教A版 (2019)选择性必修 第一册双曲线练习

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册双曲线练习，共7页。试卷主要包含了故选ABD，设双曲线C，故选A，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
基础巩固
1.(多选题)下列双曲线中,以直线2x±3y=0为渐近线的是( )
A.x29-y24=1B.y24-x29=1
C.x24-y29=1D.y212-x227=1
答案:ABD
解析:C项中的双曲线x24-y29=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=±32x,不是2x±3y=0,而A,B,D项中的双曲线的渐近线均为直线2x±3y=0.故选ABD.
2.一个焦点为(0,6)且与双曲线x22-y2=1有相同渐近线的双曲线的方程为( )
A.y212-x224=1B.x212-y224=1
C.y224-x212=1D.x224-y212=1
答案:A
解析:由题意设双曲线方程为x22-y2=t(t0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是双曲线C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=( )
A.1B.2C.4D.8
答案:A
解析:∵ca=5,∴c=5a,
根据双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=2a,S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=4,即|PF1|·|PF2|=8,
∵F1P⊥F2P,∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,
∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=4c2,
∴a2-5a2+4=0,解得a=1(负值舍去).故选A.
5.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则点(-23,0)到渐近线的距离等于( )
A.3B.3C.2D.6
答案:A
解析:不妨设渐近线方程为y=bax,即bx-ay=0,则点(-23,0)到渐近线的距离d=|-23b|b2+a2=23bc.
又因为e=ca=2,所以a2+b2a2=4,则b2=3a2=34c2,即b=32c,所以d=3.
6.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2a2-y2b2=12(a>0,b>0)的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±33xB.y=±3x
C.y=±22xD.y=±2x
答案:A
解析:依题意,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2a2-y2b2=12(a>0,b>0)即x2a22-y2b22=1(a>0,b>0)的焦点相同,可得a2-b2=12a2+12b2,即a2=3b2,所以ba=33,
则b2a2=33,故双曲线的渐近线方程为y=±b2a2x=±33x.
7.若直线l经过点(2,0),且与双曲线x2-y2=1只有一个公共点,则符合要求的直线l的条数是( )
A.1B.2C.3D.4
答案:B
解析:依题意,直线l的斜率必存在,设其为k,则直线l的方程为y=k(x-2).
联立y=k(x-2),x2-y2=1,消去y,整理得(1-k2)x2+4k2x-(4k2+1)=0,
当1-k2=0,即k=±1时,该方程只有一个解,直线与双曲线只有一个公共点.
当1-k2≠0时,由Δ=(4k2)2+4(1-k2)(4k2+1)=0,k无解,所以符合要求的直线只有2条.
8.已知直线y=x+1与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且线段AB的中点M的横坐标为1,则该双曲线的离心率等于( )
A.2B.3
C.2D.5
答案:B
解析:由已知得M(1,2),设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,
两式相减得x12-x22a2=y12-y22b2,变形整理得b2a2=y12-y22x12-x22,
设直线AB、直线OM的斜率分别为kAB,kOM,
则kAB·kOM=b2a2,而kAB=1,kOM=2,
所以b2a2=2,故e=1+b2a2=3.
9.设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=2x,则双曲线C的离心率为 .
答案:3
解析:由双曲线方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)可得其焦点在x轴上,
因为其一条渐近线为y=2x,所以ba=2,所以e=ca=1+b2a2=3.
10.过双曲线x2-y23=1的左焦点F1作倾斜角为π6的直线l,直线l与双曲线交于A,B两点,则|AB|= .
答案:3
解析:由题意知,双曲线的左焦点为F1(-2,0),所以直线l的方程为y=33(x+2),
由x2-y23=1,y=33(x+2),得8x2-4x-13=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,x1x2=-138,故|AB|=1+13×122-4×-138=3.
11.(2024·全国新高考卷Ⅰ,12)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交双曲线C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则双曲线C的离心率为 .
答案:32
解析:由双曲线的对称性不妨设点A为双曲线C与直线AB在第一象限的交点.
由题意知,|AF2|=5,2a=|F1A|-|AF2|=13-5=8,∴a=4.易知AF2⊥F1F2,
∴在Rt△AF2F1中,有|F1F2|=|F1A|2-|AF2|2=132-52=12.
设双曲线C的焦距为2c(c>0),则2c=|F1F2|=12,∴c=6.
∴双曲线C的离心率e=ca=64=32.
12.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,且a2c=33.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.
解:(1)由题意得a2c=33,ca=3,解得a=1,c=3,
所以b2=c2-a2=2,
所以双曲线C的方程为x2-y22=1.
(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).
由x-y+m=0,x2-y22=1,得x2-2mx-m2-2=0,
则Δ=8m2+8>0,
所以x0=x1+x22=m,y0=x0+m=2m.
因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,
所以m2+(2m)2=5,故m=±1.
能力提升
1.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线l:x-2y=0相互垂直,点P在双曲线上,且|PF1|-|PF2|=3,则双曲线的焦距为( )
A.65B.6C.35D.3
答案:C
解析:双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为y=±bax,由于一条渐近线与直线l:x-2y=0相互垂直,可得ba=2,即b=2a,由双曲线的定义可得2a=|PF1|-|PF2|=3,可得a=32,于是b=3,因而c=a2+b2=94+9=352,故焦距2c=35.
2.设F是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,点F到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1∶6,则双曲线的渐近线方程为( )
A.22x±y=0B.x±22y=0
C.x±32y=0D.32x±y=0
答案:B
解析:双曲线C的右焦点F(c,0)到渐近线y=bax即bx-ay=0的距离d=|bc|a2+b2=bcc=b(同理可得,右焦点F到渐近线y=-bax的距离也为b),因为点F到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1∶6,所以b2c=16,即c=3b,则c2=a2+b2=9b2,即a2=8b2,于是a=22b,故双曲线的渐近线方程为y=±bax=±b22bx=±122x,即x±22y=0.
3.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=233,对称中心为O,右焦点为F,A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点,且∠AOF=∠OAF,△OAF的面积为33,则双曲线C的方程为( )
A.x236-y212=1B.x23-y2=1
C.x29-y23=1D.x212-y24=1
答案:C
解析:依题意e2=c2a2=1+b2a2=2332,所以b2a2=13.由点F向渐近线OA作垂线,设垂足为M,则|FM|=b,|OM|=a,于是S△OAF=12·|OA|·|FM|=12·2a·b=33,因而a=3,b=3,故双曲线C的方程为x29-y23=1.
4.设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则双曲线C的焦距的最小值为( )
A.4B.8C.16D.32
答案:B
解析:∵双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),
∴双曲线C的渐近线方程是y=±bax.
∵直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点,不妨设D在第一象限,E在第四象限,
联立x=a,y=bax,解得x=a,y=b,故D(a,b).
联立x=a,y=-bax,解得x=a,y=-b,故E(a,-b).
∴|ED|=2b.
∴△ODE的面积S△ODE=12a×2b=ab=8.
∵双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),
∴其焦距2c=2a2+b2≥22ab=216=8,
当且仅当a=b=22时取等号.
∴双曲线C的焦距的最小值为8.
5.(多选题)若直线y=2x与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有公共点,则双曲线的离心率的取值可以为( )
A.2B.5
C.6D.3
答案:CD
解析:依题意应有ba>2,所以c2-a2a2>4,所以e>5,即离心率的取值范围是(5,+∞),
因此离心率可以取值为6,3,故选CD.
6.(2025·广西高三毕业班高考适应性测试,4)双曲线x25-y24=1的焦点到渐近线的距离为( )
A.1B.3
C.2D.3
答案:C
7.已知双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若双曲线上一点P,使sin∠PF2F1sin∠PF1F2=e,则F2P·F2F1的值为 .
答案:2
解析:由题意可得,a=1,c=2.因为sin∠PF2F1sin∠PF1F2=e,
所以由正弦定理得|PF1||PF2|=e=2,
所以|PF1|-|PF2|=2.
于是|PF1|=4,|PF2|=2,
又|F1F2|=2c=4,
所以根据余弦定理可得cs∠PF2F1=14,
故F2P·F2F1=|F2P||F2F1|cs∠PF2F1=2×4×14=2.
8.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,7)在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)记O为坐标原点,过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点E,F,若△OEF的面积为22,求直线l的方程.
解:(1)由已知c=2及点P(3,7)在双曲线C上,
得a2+b2=4,32a2-(7)2b2=1,
解得a2=2,b2=2,
故双曲线C的方程为x22-y22=1.
(2)由题意,知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2,
由y=kx+2,x22-y22=1,
得(1-k2)x2-4kx-6=0.(*)
设E(x1,y1),F(x2,y2),
则x1,x2是方程(*)的两个不等实根,
于是1-k2≠0,且Δ=16k2+24(1-k2)>0,得k2