高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册抛物线精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册抛物线精练，共7页。试卷主要包含了故选C，抛物线C，已知斜率为3的直线过抛物线C等内容，欢迎下载使用。
基础巩固
1.已知过抛物线y2=4x焦点的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点到y轴的距离为2,则|AB|=( )
A.4B.6C.3D.8
答案:B
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点为Mx1+x22,y1+y22,依题意有x1+x22=2,
所以x1+x2=4,于是|AB|=x1+x2+2=4+2=6.
2.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则抛物线C的焦点坐标为( )
A.(14,0)B.(12,0)
C.(1,0)D.(2,0)
答案:B
解析:因为直线x=2与抛物线y2=2px(p>0)交于D,E两点,且OD⊥OE,根据抛物线的对称性可以确定∠DOx=∠EOx=π4,不妨设点D在第一象限,所以D(2,2),将其坐标代入抛物线方程得4=4p,解得p=1,所以抛物线C的焦点坐标为12,0.
3.已知直线y=kx-1与抛物线x2=8y相切,则双曲线x2-k2y2=1的离心率为( )
A.5B.3
C.2D.32
答案:B
解析:由y=kx-1,x2=8y,得x2-8kx+8=0,依题意有Δ=64k2-32=0,则k2=12,所以双曲线的方程为x2-y22=1,故双曲线的离心率e=3.
4.已知直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为2,则k的值为( )
A.2或-2B.1或-1
C.2D.3
答案:C
解析:由y2=8x,y=kx-2,得k2x2-4(k+2)x+4=0.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则Δ=42(k+2)2-16k2,x1+x2=4(k+2)k2,由Δ>0,得k>-1,由4(k+2)k2=4,得k=2或k=-1(舍去).故选C.
5.(多选题)(2024·全国新高考卷Ⅱ,10)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为抛物线C上的动点,过点P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点,过点P作直线l的垂线,垂足为B,则( )
A.直线l与☉A相切
B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=15
C.当|PB|=2时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
答案:ABD
解析:准线l的方程为x=-1,与☉A相切,A正确;
A(0,4),当P,A,B三点共线时,P(4,4),|PA|=4,|PQ|=42-12=15,B正确;
当|PB|=2时,P(1,±2),PA与AB显然不垂直,C错误;
(方法一)当|PA|=|PB|时,设P(x,y),则x2+(y-4)2=(x+1)2+(y-y)2,即(y-4)2=2x+1,又y2=4x,即y2-16y+30=0,解得y=8±34,对应x的值有两个,所以点P有2个,D正确.
(方法二)焦点F(1,0),由|PB|=|PF|,|PB|=|PA|,即|PF|=|PA|,则点P在线段AF的垂直平分线上,此垂直平分线的方程为y=14x+158,与抛物线方程联立有两组解,所以点P有两个,D正确.故选ABD.
6.已知直线l过抛物线x2=-2py(p>0)的焦点F,且与抛物线交于M,N两点,若1|FM|+1|FN|=2,且MF=2FN,则|MN|=( )
A.18B.94C.22+2D.6
答案:B
解析:因为MF=2FN,所以点F在点M,N之间,且向量MF,FN方向相同,因此有|MF|=2|FN|.又因为1|FM|+1|FN|=2,所以|MF|=32,|FN|=34,因此|MN|=|MF|+|FN|=94.
7.(多选题)已知抛物线x2=4y的焦点为F,M(4,y0)在抛物线上,延长MF交抛物线于点N,抛物线准线与y轴交于点Q,则下列叙述正确的是( )
A.|MF|=6
B.点N的坐标为-1,14
C.QM·QN=94
D.在x轴上存在点R,使得∠MRF为钝角
答案:BC
解析:由已知得F(0,1),准线为y=-1;
对于A,∵M(4,y0)在抛物线x2=4y上,∴y0=4,
∴|MF|=y0+1=5,故A错误;
对于B,∵kMF=4-14-0=34,∴直线MF:y=34x+1,由y=34x+1,x2=4y,得x=-1,y=14或x=4,y=4,
又M(4,4),∴N-1,14,故B正确;
对于C,∵Q(0,-1),∴QM=(4,5),QN=-1,54,∴QM·QN=-4+254=94,故C正确;
对于D,设R(t,0),则RF=(-t,1),RM=(4-t,4),∴RF·RM=-t(4-t)+4=t2-4t+4=(t-2)2≥0,∴∠MRF不能为钝角,D错误,故选BC.
8.已知斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,则|AB|= .
答案:163
解析:∵抛物线的方程为y2=4x,∴焦点F的坐标为(1,0).又直线AB过焦点F且斜率为3,∴直线AB的方程为y=3(x-1).
由y=3(x-1),y2=4x,得3x2-10x+3=0,
(方法一)解得x1=13,x2=3,
所以|AB|=1+3×3-13=163.
(方法二)Δ=100-36=64>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=103,
所以|AB|=x1+x2+p=103+2=163.
9.已知抛物线y2=2x,直线l的方程为x-y+3=0,P是抛物线上的一动点,则点P到直线l的最短距离为 ,此时点P的坐标为 .
答案:524 12,1
解析:设点P(x0,y0)是抛物线y2=2x上任一点,则点P到直线x-y+3=0的距离d=|x0-y0+3|2=y022-y0+32=|(y0-1)2+5|22,当y0=1时,d取得最小值522=524,此时x0=12,所以点P的坐标为12,1.
10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(2)已知O为坐标原点,若直线l与OA平行,且与抛物线有公共点,直线OA与l的距离为55,求直线l的方程.
解:(1)将点A(1,-2)的坐标代入抛物线方程y2=2px(p>0),得(-2)2=2p×1,得p=2.
故抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)设直线l的方程为y=-2x+t.
联立y2=4x,y=-2x+t,消去x得y2+2y-2t=0.
一方面,因为直线l与抛物线C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-12.
另一方面,由直线OA与l的距离为55,可得|t|5=15,解得t=±1.
综上可知t=1.
于是直线l的方程为2x+y-1=0.
11.已知直线l:y=2x-m与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点.
(1)若m=p,且|AB|=5,求抛物线C的方程;
(2)若m=4p,求证:OA⊥OB(O为坐标原点).
解:设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)联立y=2x-p,y2=2px,得4x2-6px+p2=0,
则x1+x2=32p.
因为直线l过抛物线的焦点Fp2,0,
所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=52p=5,
解得p=2,
故抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明:由y=2x-4p,y2=2px,得4x2-18px+16p2=0.
则x1+x2=92p,x1x2=4p2.
所以OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+(2x1-4p)·(2x2-4p)=5x1x2-8p(x1+x2)+16p2=20p2-8×92p2+16p2=0,故OA⊥OB.
能力提升
1.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=( )
A.3B.3
C.6D.8
答案:C
解析:设△ABF的边长为a(a>0),依题意有32a=p,则a=2p3.
不妨设Bp3,-p2,代入方程x23-y23=1得p=6.
2.已知直线y=kx-2k及抛物线y2=2px(p>0),则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线没有公共点
D.直线与抛物线有一个或两个公共点
答案:D
解析:由于y=kx-2k=k(x-2),所以直线经过点(2,0),当k=0时,直线与抛物线有一个公共点,当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.
3.已知直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为( )
A.48B.56C.64D.72
答案:A
解析:由y=x-3,y2=4x,得x2-10x+9=0,
解得x=1,y=-2或x=9,y=6.
不妨设A(9,6),B(1,-2),则|AP|=10,|BQ|=2,|PQ|=8,故梯形APQB的面积S=12(|AP|+|BQ|)·|PQ|=12×(10+2)×8=48.
4.(多选题)(2025·广西高三毕业班高考适应性测试,11)在平面直角坐标系中,已知曲线E上的动点P(x,y)与点F(2,0)的距离与其到直线x=-2的距离相等,点F与点C关于原点对称,过点C的直线l与曲线E交于A,B两点,则下列说法正确的是( )
A.曲线E的轨迹方程为y2=8x
B.若点T的坐标为(4,2),则|PT|+|PF|的最小值为6
C.存在直线l使得|AC|=2|AF|
D.对于任意直线l,都有|AF|+|BF|>2|CF|
答案:ABD
解析:对于A,由曲线E上的动点P(x,y)与点F(2,0)的距离与其到直线x=-2的距离相等,得曲线E是以F为焦点,直线x=-2为准线的抛物线,方程为y2=8x,A正确;对于B,令点P到直线x=-2的距离为d,则|PF|=d,过T作TT'垂直于直线x=-2于T',于是|PT|+|PF|=|PT|+d≥|TT'|=4-(-2)=6,当且仅当P是线段TT'与抛物线的交点时取等号,B正确;对于C,过A作AD垂直于直线x=-2,垂足为D,易知C(-2,0).若|AC|=2|AF|,则|AC|=2|AD|,|AD|=|CD|,∠ACF=45°,直线AC的方程为y=x+2.由y=x+2,y2=8x,得y2-8y+16=0,而此方程有两个相等的实根,直线AC与抛物线相切,同直线AC与抛物线相交矛盾,C错误;对于D,令直线AC的方程为x=ty-2.
由x=ty-2,y2=8x,得y2-8ty+16=0,Δ=64t2-64>0,解得t2>1.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=8t,x1+x2=t(y1+y2)-4=8t2-4,|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=8t2>8=2|CF|,D正确.故选ABD.
5.已知点A(2,0),B(4,0),点P在抛物线y2=-4x上运动,则AP·BP取得最小值时,点P的坐标是 .
答案:(0,0)
解析:设P-y24,y,则AP=-y24-2,y,BP=-y24-4,y,
则AP·BP=-y24-2·-y24-4+y2=y416+52y2+8≥8,
当且仅当y=0时取等号,此时点P的坐标为(0,0).
6.已知直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+12=0的距离等于 .
答案:94
解析:易知直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点14,0,所以弦AB为过焦点的弦.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点Nx1+x22,y1+y22,因为|AB|=x1+x2+p=4,所以x1+x22=74.故弦AB的中点到直线x+12=0的距离为74+12=94.
7.设抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作直线l与抛物线交于A,B两点,点M满足OM=12(OA+OB)(O为坐标原点),过点M作y轴的垂线与抛物线交于点P,若|PF|=2,则点P的横坐标为 ,|AB|= .
答案:1 8
解析:由y2=4x得2p=4,∴p=2.
因此F(1,0),准线方程为x=-1.
设P(x0,y0),则|PF|=x0+1=2⇒x0=1.
由点P在抛物线上知y02=4x0=4,∴y0=±2.
不妨取y0=2,得P(1,2).
由OM=12(OA+OB)得M为线段AB的中点,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则Mx1+x22,y1+y22.
∴y12=4x1,y22=4x2,且y1+y2=4.
从而(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2).
因此,直线AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=1,
∴直线AB的方程为y=x-1.
由y2=4x,y=x-1,得x2-6x+1=0,∴x1+x2=6,
因此|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
8.已知过抛物线x2=2py(p>0)的焦点,斜率为24的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点为0,p2,则直线AB的方程为y=24x+p2,
由y=24x+p2,x2=2py,消去x得4y2-5py+p2=0,
则y1+y2=5p4.由抛物线的定义,得|AB|=y1+y2+p=9,即5p4+p=9,解得p=4.
故抛物线的方程为x2=8y.
(2)由p=4知,方程4y2-5py+p2=0,即y2-5y+4=0,
解得y1=1,y2=4,则x1=-22,x2=42.
所以A(-22,1),B(42,4).
于是OC=OA+λOB=(-22,1)+λ(42,4)=(-22+42λ,1+4λ).
因为C为抛物线上一点,所以(-22+42λ)2=8(1+4λ),
整理得λ2-2λ=0,解得λ=0或λ=2.