高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册抛物线精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册抛物线精练，共6页。试卷主要包含了故D项正确等内容，欢迎下载使用。
基础巩固
1.若动点P到定点F(1,1)的距离与它到直线l:3x+y-4=0的距离相等,则动点P的轨迹是( )
A.椭圆B.双曲线
C.抛物线D.直线
答案:D
解析:因为点F在直线l上,所以动点P的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线.
2.若抛物线y2=2px的焦点为(3,0),则下列点中,在抛物线y2=2px上的是( )
A.(1,2)B.(3,-6)
C.(2,-2)D.(1,6)
答案:B
解析:由于抛物线y2=2px的焦点为(3,0),则抛物线方程为y2=12x,故点(3,-6)在该抛物线上.
3.已知抛物线过原点,焦点在y轴上,其上一点P(m,1)到焦点的距离为5,则抛物线的标准方程是( )
A.y2=16xB.x2=16y
C.x2=8yD.x2=-8y
答案:B
解析:由题意,知抛物线开口向上,所以可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),于是1+p2=5,解得p=8,故抛物线的标准方程是x2=16y.
4.(多选题)已知点A(-2,4)在抛物线y2=-2px(p>0)上,抛物线的焦点为F,延长AF与抛物线相交于点B,则下列结论正确的是( )
A.抛物线的准线方程为x=2
B.抛物线的焦点坐标为(-2,0)
C.点B坐标为(-2,-2)
D.△OAB的面积为8
答案:ABD
解析:将点A(-2,4)的坐标代入抛物线方程可得p=4,因此抛物线方程为y2=-8x,于是准线方程为x=2,焦点坐标为(-2,0),故A,B项正确;又易知AF⊥x轴,所以B(-2,-4),故C项错误;又因为|AB|=8,所以S△OAB=12×8×2=8.故D项正确.
5.已知F为抛物线y2=12x的焦点,M为抛物线上一点,由M向抛物线的准线作垂线,垂足为N,若|NF|=10,则|MF|=( )
A.163B.253C.283D.323
答案:B
解析:记准线与x轴的交点为A.
由题意知,|AF|=6,又|NF|=10,所以|AN|=8,即点M的纵坐标为8或-8,则xM=8212=163,故|MF|=xM+p2=163+3=253.
6.若点P(x,y)到点F(0,-5)的距离比它到直线y=4的距离大1,则点P的轨迹方程为( )
A.x2=16yB.x2=-16y
C.x2=20yD.x2=-20y
答案:D
解析:依题意知点P(x,y)到点F(0,-5)的距离与它到直线y=5的距离相等,并且点F(0,-5)不在直线y=5上,所以点P的轨迹是抛物线,并且F是焦点,直线y=5是准线,于是点P的轨迹方程为x2=-20y.
7.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,点A(2,2),则|PA|+|PF|的最小值是( )
A.4B.3C.2D.1
答案:B
解析:根据抛物线方程y2=4x,可得F(1,0),则准线的方程为x=-1,过点P作PM垂直于准线x=-1,M为垂足,则由抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|,所以当A,P,M三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,且最小值为|AM|=2-(-1)=3.故选B.
8.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线C:x23-y2=1的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,则实数p的值为 ,抛物线的准线方程为 .
答案:4 x=-2
解析:在双曲线C:x23-y2=1中,a2=3,b2=1,所以c2=a2+b2=4,即c=2.在抛物线y2=2px(p>0)中,由题意得p2=c=2,即p=4,所以抛物线方程为y2=8x,准线方程为x=-2.
9.已知F为抛物线y2=-8x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,点A在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值是 .
答案:213
解析:由|AF|=4及抛物线定义得点A到准线的距离为4,所以点A的横坐标为-2,所以AF⊥x轴,因此不妨设A(-2,4).因为原点关于准线的对称点为B(4,0),所以|PO|=|PB|,所以|PA|+|PO|=|PA|+|PB|,所以当点A,P,B共线时,|PA|+|PO|最小,且最小值为|AB|=36+16=213.
10.一座抛物线形拱桥如图所示,设水面宽|AB|=18 m,拱顶距离水面8 m,一条货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若|CD|=9 m,那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥?
解:如图所示,设拱顶为点O,以点O为原点,过点O且平行于AB的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则点B(9,-8).
因为点B在抛物线上,所以81=-2p·(-8),
所以p=8116,所以抛物线的方程为x2=-818y.
把x=92代入抛物线方程,得y=-2,则|DE|=8-2=6(m).
故|DE|不超过6米才能使货船通过拱桥.
能力提升
1.设抛物线y=14x2的焦点为F,点P在抛物线上,则“|PF|=3”是“点P到x轴的距离为2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:抛物线方程化为x2=4y,所以准线方程为y=-1.因为点P在抛物线上,所以|PF|=3,即点P到准线的距离为3,因此P到x轴的距离为3-1=2.而当点P到x轴的距离为2时,有点P到准线的距离为3,故|PF|=3.故“|PF|=3”是“点P到x轴的距离为2”的充要条件.
2.已知F是抛物线y=2x2的焦点,M,N是该抛物线上的两点,若|MF|+|NF|=174,则线段MN中点的纵坐标为( )
A.32B.2C.52D.3
答案:B
解析:抛物线方程为x2=12y,设线段MN的中点为Q(x0,y0),过点M,N,Q分别作准线的垂线,垂足分别为M1,N1,Q1,则有|MF|+|NF|=|MM1|+|NN1|=2|QQ1|=174,所以|QQ1|=178,因此y0+18=178,解得y0=2.
3.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是准线l上一点,连接PF并延长交抛物线C于点Q,若|PF|=45|PQ|,则|QF|=( )
A.3B.4C.5D.6
答案:C
解析:由点Q向抛物线的准线作垂线,垂足为Q1(图略),设准线与x轴的交点为M,因为△PMF∽△PQ1Q,所以|MF||Q1Q|=|PF||PQ|=45,因为|MF|=4,所以|Q1Q|=5.
故|QF|=|Q1Q|=5.
4.(多选题)(2025·高考综合改革适应性演练,9)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是抛物线C上的点,O为原点,则( )
A.p=4
B.|MF|≥|OF|
C.以M为圆心且过F的圆与抛物线C的准线相切
D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为23
答案:ABC
解析:因为F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,所以p2=2,p=4,选项A正确;设点M(x0,y0)在抛物线y2=8x上,所以x0≥0,所以|MF|=x0+p2≥p2=|OF|,B选项正确;因为以M为圆心且过F的圆的半径|MF|=x0+2,等于点M到抛物线C的准线的距离,所以以M为圆心且过F的圆与抛物线C的准线相切,C选项正确;根据抛物线的对称性,不妨设点M在x轴上方.当∠OFM=120°时,x0>2,y0x0-2=tan 60°=3,且y02=8x0,y0>0,所以3y02-8y0-163=0,所以y0=43或y0=-433(舍去).所以△OFM的面积为S△OFM=12|OF|×|y0|=43,D选项错误.故选ABC.
5.已知P为抛物线y2=4x上的动点,且点P到抛物线的准线的距离为d,Q为圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上一个动点,则d+|PQ|的最小值为( )
A.5B.4
C.25+1D.13+1
答案:B
解析:如图,设抛物线的焦点为F,连接PF.由抛物线的定义知,d=|PF|,
所以d+|PQ|=|PF|+|PQ|,又点Q在圆C上,所以由图可知,当线段FC与圆C交于点Q,与抛物线交于点P时,|PF|+|PQ|最小,此时|PF|+|PQ|=|FC|-1.
所以(d+|PQ|)min=|FC|-1.
由题可得点C(-2,4),F(1,0),
所以|FC|=(-2-1)2+(4-0)2=5,
所以(d+|PQ|)min=5-1=4.故选B.
6.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三个不同的点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|= .
答案:6
解析:因为FA+FB+FC=0,所以A,B,C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍.设点A,B,C的横坐标分别为xA,xB,xC,则xA+xB+xC=3,故由抛物线的定义,可得|FA|+|FB|+|FC|=xA+1+xB+1+xC+1=6.
7.如图,A地在B地东偏北45°方向,相距22 km处,B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到点B的距离等于到高铁线l的距离,现在要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计),分别向A,B两地送电.
(1)试建立适当的坐标系,求出曲线形公路PQ所在曲线的方程;
(2)变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离),才能使得架设电路所用电线长度最短?并求出最短长度.
解:(1)如图,以经过点B且垂直于直线l(垂足为K)的直线为y轴,线段BK的垂直平分线为x轴,建立平面直角坐标系.由题意可知,公路PQ所在曲线为抛物线.设抛物线方程为x2=2py(p>0),由题可知,p=4,所以抛物线方程为x2=8y,且B(0,2),A(2,4).
(2)架设电路所用电线长度最短,即使|MA|+|MB|最小,过点M作MH⊥l,垂足为H,根据抛物线的定义,只需|MA|+|MH|最小,因此只需A,M,H三点共线即可,此时M2,12,且|MA|+|MH|=6,故变电房M应建在A地的正南方向,且距离A地72 km处,才能使得架设电路所用电线长度最短,且最短长度为6 km.