数学必修 第一册诱导公式巩固练习

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考点一：同角三角函数基本关系
①平方关系：．
②商数关系：；
考点二：三角函数诱导公式
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限
注意：①先将诱导三角函数式中的角统一写作；
②无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
③当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【题型目录】
题型一：同角三角函数公式求值
题型二： 弦的齐次式问题
题型三： 知一求二问题
题型四：诱导公式化简求值
题型五： 诱导公式与三角函数定义、同角关系的综合运用
题型六：换元法、角的拼凑
【典例例题】
题型一：同角三角函数公式求值
【例1】已知角为第二象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由角所在的象限及同角三角函数的平方关系、商数关系求即可.
【详解】因为是第二象限角，所以，，
由，，可得：.故选：A.
【例2】已知，是第三象限角，求，的值.
【答案】;;
【解析】因为，是第三象限角，所以，.
【题型专练】
1.已知，则___________．
【答案】
【解析】，，，．
故答案为：．
2.下列四个命题中可能成立的一个是（ ）
A．且B．且
C．且D．（为第二象限角）
【答案】B
【解析】对于A选项，由同角三角函数关系，，不成立，故A错误；对于B选项，当时成立，故B正确；对于C选项，若且成立，则由与矛盾，故C错误；对于D选项，由同角三角函数关系，，故D错误.故选：B
3.已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由及解出与即可求解.
【详解】因为，且，，所以，，
所以.故选：A.
题型二： 弦的齐次式问题
【例1】已知角的终边过点，求：
①；②；③
【答案】①；②；③.
【解析】①因为角的终边过点，所以，，
由三角函数的定义可得：
②，
③.
【例2】已知，则___________．
【答案】
【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数齐次式关系求解即可.
【详解】解：．
故答案为：
【例3】已知是第四象限角，为其终边上一点，且，则的值（ ）
A．0B．C．D．5
【答案】D
【解析】由条件可知，，所以，解得：，
所以，.故选：D
【题型专练】
1.已知，则的值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【解析】因，则有，所以的值为.
故选：B
2.已知，且，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，所以，
，，所以，，
解得或，因为，所以，所以，故选：A
3.若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，由同角三角函数基本关系可得，解得：，
所以，故选：B．
4.若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知得，从而同号，即，然后由平方关系求得，进而求得，求值式应用二倍角公式和平方关系变形后可得结论．
【详解】因为，所以，所以同号，即，
，，从而，，
所以，
．故选：C．
题型三： 知一求二问题
【例1】已知 ，且 ，给出下列结论：
①；② ；③；④ .
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．②③④
C．①②③D．①③④
【答案】A
【分析】由 ，且，将等式两边平方可得，可判断，即可判断①②③；继而利用求得，判断④，可得答案.
【详解】∵, ，等式两边平方得 ，
解得，故②正确；∵，，∴，,故①正确，③错误；由可知， ，且 ，
解得，故④正确，故选：A
【例2】已知，，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），，则，
又，则，
由，可得；
（2）由可得，

【例3】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由求出，再由，即可求出结果.
【详解】因为，所以，即，所以，
因此.故选:B
【例4】已知为三角形的内角，，则的值为（ ）
A．或B．C．D．
【答案】C
【解析】是三角形的内角，，所以又因为，
所以，即所以，为锐角，
且，所以，所以所以
所以，所以（舍去）或．故选：C．
【题型专练】
1.已知，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于，所以，故，
所以.故选：A
2.已知，则______．
【答案】
【分析】根据平方可得，结合立方差公式即可代入求值.
【详解】因为，平方得，所以，
所以．故答案为：
3.已知，且，则____.
【答案】
【分析】利用完全平方公式，建立、与和的等量关系，并利用所求值确定，的符号，从而可求.
【详解】解：，两边平方，可得，可得，
，可得，，可得，
．故答案为：.
4.（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】①，，即，
，，，，，故A正确；
，②，故D正确；
①加②得，①减②得，故B正确；，故C错误.故选：ABD．
5.已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.
【详解】，，，，，
，所以.故选：C
题型四：诱导公式化简求值
【例1】sin()的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据诱导公式即可得结果.
【详解】，故选：B.
【例2】已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式分别整理计算可得，，，再进行大小比较．
【详解】
∴故选：C．
【例3】(1)计算：；
(2)化简：.
【答案】(1)2；(2)1.
【解析】(1)由诱导公式以及特殊角的三角函数值可得，
(2) 由诱导公式可得，
【例4】设，其中，若，则（ ）
A．4B．3C．－5D．5
【答案】C
【分析】使用诱导公式可以得到与的递推关系，从而得出结论
【详解】
．故选：C.
【例5】已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝____.
【答案】18
【分析】由已知求得sinθ，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值.
【详解】由，可得，
∴
.故答案为：18.
【题型专练】
1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式：先根据，再根据运算求解．
【详解】故选：B．
2.（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式结合特殊角的三角函数值可得正确的选项.
【详解】,故选：B.
3.化简：=（ ）
A．-sinθB．sinθ
C．csθD．-csθ
【答案】A
【解析】原式=，=，=-sinθ.故选：A
4.（1）化简：
（2）求值：
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式；
（2）原式
.
5.已知.
(1)若角是第三象限角，且，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简，由已知利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求得，则答案可求；（2）由，再由诱导公式求得求的值．
（1）解：.
因为，所以，
又角是第三象限角，所以，所以.
（2）解：因为，所以.
题型五： 诱导公式与三角函数定义、同角关系的综合运用
【例1】已知，且是第二象限角，则的值等于_______
【答案】
【解析】，且是第二象限角，，
．故答案为：．
【例2】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角函数诱导公式求得，将进行弦化切，可得，将代入计算可得答案.
【详解】因为，所以，所以,故选:A.
【例3】已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．3D．9
【答案】C
【分析】由三角函数定义和诱导公式得到，再利用两角和的正切公式求得，然后利用弦化切可得答案.
【详解】因为角的终边经过点，所以，即，即，解得，所以．故选：C．
【例4】已知.
(1)化简；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据诱导公式化简即可；
（2）由题知，进而根据同角三角函数关系求解即可.
(1)解：由题意得
(2)解：∵，∴.∴为第一或第二象限角，
∴，∴
【题型专练】
1.已知，则___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
则故答案为：
2.已知，且，则________．
【答案】
【解析】因为，所以，又，，
所以，，
所以．故答案为：．
3.已知.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】，
（1）当时，；
（2）由，可得，
且，所以，所以，
所以.
4.已知，且，为方程的两根．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，
则，，，得．
（2）
，，且，
，则，，
，则，故原式．
5.已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】因为，所以，可得，
（1）；
（2）.
题型六：换元法、角的拼凑
【例1】若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，
故选：B.
【例2】已知，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解法一：∵，，
∴由诱导公式可得，，故选：B.
解法二：换元法，设，则，，
所以
【例3】若，则__________．
【答案】
【解析】因为，故答案为：
【题型专练】
1.当时，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵∴，∴，
∴．故选：B
2.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由则.故选：B
3.（多选）已知，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】由，可得，，
，．
故选：BD
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限