高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式精品课时训练

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知识点一：公式二
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
知识点二：公式三
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
知识点三：公式四
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
知识点四：公式五
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
知识点五：公式六
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
知识点六：公式七
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
知识点七：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
题型01 给角求值问题
【典例1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 的终边上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的终边上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）求值：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ；(4) SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0 (4) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：由三角函数的诱导公式，可得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：由三角函数的诱导公式，可得 SKIPIF 1 < 0 .
（3）解：由三角函数的诱导公式，可得 SKIPIF 1 < 0 .
（4）解：由三角函数的诱导公式，可得 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023·全国·高一课堂例题）利用公式求下列三角函数值：
(1) SKIPIF 1 < 0 ：(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ；(4) SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0 (4) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023秋·河南新乡·高三卫辉一中校联考阶段练习） SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由三角函数的诱导公式，可得：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）求下列各三角函数值：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ；(4) SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3)1(4) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0 ．
【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）求值：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0
【【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
（3） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
题型02给值(式)求值问题
【典例1】（2023秋·浙江嘉兴·高二浙江省海盐高级中学校考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0
故选：D
【典例2】（2023春·陕西榆林·高二校联考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以原式 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）已知角 SKIPIF 1 < 0 的顶点在坐标原点，始边与 SKIPIF 1 < 0 轴非负半轴重合，终边与射线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）重合，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， 则由 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023秋·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2023春·湖南株洲·高二统考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为: SKIPIF 1 < 0
【变式3】（2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型03三角函数的化简求值问题
【典例1】（2023秋·安徽·高二安徽省宿松中学校联考开学考试）已知在平面直角坐标系中，点 SKIPIF 1 < 0 在角 SKIPIF 1 < 0 终边上，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以原式 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【典例2】（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山市红星中学校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)化简 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）根据诱导公式
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ;
（2）由诱导公式可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023·全国·高一专题练习）如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，钝角 SKIPIF 1 < 0 的始边与 SKIPIF 1 < 0 轴的非负半轴重合，终边与半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由三角函数定义知： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为第二象限角，
SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【典例4】（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】2
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：2
【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）化简： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式3】（2023秋·北京·高三北京市第六十六中学校考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为第二象限角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 .
【变式4】（2023春·四川眉山·高一校联考期中）（1）已知方程 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，
所 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
题型04 利用诱导公式证明三角恒等式
【典例1】（2023·全国·高一假期作业）求证： SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】证明见解析
【详解】左边 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
右边 SKIPIF 1 < 0 .
∴左边＝右边，故原等式成立．
【典例2】（2023秋·高一课时练习）设 SKIPIF 1 < 0 .求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】证明见解析
【详解】证明：左边 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
把 SKIPIF 1 < 0 代入，得原式 SKIPIF 1 < 0 右边，故原等式成立.
【变式1】（2023·高一课时练习）求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】证明见解析.
【详解】左边= SKIPIF 1 < 0 =–tanα=右边，
∴等式成立．
【变式2】（2023·高一课时练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】证明见解析
【详解】证明：若 SKIPIF 1 < 0 为偶数，则
左边 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 为奇数，则
左边 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
左边=右边，所以原式成立.
题型05诱导公式在三角形中的应用
【典例1】（2023·高一课时练习） SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 形状为 ．
【答案】直角三角形
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形．
故答案为：直角三角形.
【典例2】（2023春·四川广安·高一广安二中校考阶段练习）已知角A为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求角A的大小；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由角A为锐角，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）若 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C满足 SKIPIF 1 < 0 ， 则A与B的关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 A，B，C为 SKIPIF 1 < 0 的内角，因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 不存在，故舍去；
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【变式2】（多选）（2023春·福建南平·高一统考阶段练习）已知锐角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则下列判断正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】解：因为三角形 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，A选项正确；
同理 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B，C选项正确；
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是增函数，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，D选项错误．
故选：ABC．
题型06诱导公式与同角函数基本关系的应用
【典例1】（2023春·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /－0.6
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【典例2】（2023春·江西赣州·高一校联考期中）已知角 SKIPIF 1 < 0 的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的定点M.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）∵函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的定点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （O为坐标原点），
根据三角函数的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）给出下列三个条件：①角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 ．
请从这三个条件中任选一个，解答下列问题：
(1)若 SKIPIF 1 < 0 为第四象限角，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)-2
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）选①，
方法一：角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为第四象限角，故 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到原点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0
方法二：角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为第四象限角，所以 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0
选②，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0
选③，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为第四象限角，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）方法一：由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
方法二： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为第二或第四象限角
选①②③都可得，若 SKIPIF 1 < 0 为第二象限角，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 为第四象限角，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以*式 SKIPIF 1 < 0 ,或*式 SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值.
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明见解析.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)化简 SKIPIF 1 < 0
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【变式3】（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)化简 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为第四象限角，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）由题知， SKIPIF 1 < 0
因 SKIPIF 1 < 0 为第四象限角，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·新疆阿克苏·高一校考期中） SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据诱导公式求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2．（2023春·河南驻马店·高一校联考期中） SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由正切的诱导公式计算．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
3．（2023春·河南驻马店·高一校联考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据诱导公式计算.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B．
4．（2023·甘肃张掖·甘肃省民乐县第一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，角 SKIPIF 1 < 0 和角 SKIPIF 1 < 0 的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由角的终边得出两角的关系，然后由诱导公式求值．
【详解】角 SKIPIF 1 < 0 和角 SKIPIF 1 < 0 的终边关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
故选：B．
5．（2023秋·天津武清·高三校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据诱导公式求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
6．（2023秋·河北保定·高一校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由诱导公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，可求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
7．（2023秋·江西·高三赣州市第三中学校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的图像过定点 SKIPIF 1 < 0 ，且角 SKIPIF 1 < 0 的始边与 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴重合，终边过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先化简所要求的式子，又由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，进一步结合题意可以求出与 SKIPIF 1 < 0 有关的三角函数值，最终代入求值即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故原式= SKIPIF 1 < 0 ;又 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入原式得原式= SKIPIF 1 < 0 .
故选： SKIPIF 1 < 0 .
8．（2023秋·湖南·高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是第四象限角，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用已知条件化简求出 SKIPIF 1 < 0 的值，然后利用诱导公式及弦化切，计算即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 是第四象限角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D.
二、多选题
9．（2023·全国·高二专题练习）以下各式化简结果正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【分析】根据三角函数的同角基本关系和诱导公式逐一判断即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：ABC
10．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，它的终边过点 SKIPIF 1 < 0 ，角 SKIPIF 1 < 0 的终边与角 SKIPIF 1 < 0 的终边关于y轴对称，将OP绕原点逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 后与角 SKIPIF 1 < 0 的终边重合，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】A选项，由三角函数的定义得到 SKIPIF 1 < 0 ；B选项，由位置关系得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；C选项，利用诱导公式得到答案；D选项，先求出 SKIPIF 1 < 0 ，由诱导公式得到D正确.
【详解】A选项，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
B选项，角 SKIPIF 1 < 0 的终边与角 SKIPIF 1 < 0 的终边关于y轴对称，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
C选项，由B可知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
D选项， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ACD
三、填空题
11．（2023春·江西萍乡·高一统考期中）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用同角三角函数的商数关系及诱导公式计算即可；
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．（2023秋·高一课时练习）如图，A，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，A 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用三角函数的定义结合诱导公式计算即可.
【详解】因为A 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
13．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山市红星中学校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)化简 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用诱导公式及同角三角函数的关系计算即可.
【详解】（1）根据诱导公式
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ;
（2）由诱导公式可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据三角函数定义以及三角函数诱导公式直接计算求解即可；
（2）根据同角三角函数关系的转化求得 SKIPIF 1 < 0 进而求解即可.
【详解】（1）若角 SKIPIF 1 < 0 以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0
（2）由题意知， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，①
两边平方，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，②
联立①②，可得 SKIPIF 1 < 0
所以点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0
15．（2023·全国·高一专题练习）如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，钝角 SKIPIF 1 < 0 的始边与 SKIPIF 1 < 0 轴的非负半轴重合，终边与半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由三角函数定义知： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为第二象限角，
SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 .
16．（2023秋·北京·高三北京市第六十六中学校考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为第二象限角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 .
B能力提升
1．（2023秋·江西·高三赣州市第三中学校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的图像过定点 SKIPIF 1 < 0 ，且角 SKIPIF 1 < 0 的始边与 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴重合，终边过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故原式= SKIPIF 1 < 0 ;又 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入原式得原式= SKIPIF 1 < 0 .
故选： SKIPIF 1 < 0 .
2．（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）若 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C满足 SKIPIF 1 < 0 ， 则A与B的关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 A，B，C为 SKIPIF 1 < 0 的内角，因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 不存在，故舍去；
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．（2023·全国·高一专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为第二象限角，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 为第二象限角，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】18
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：18.
5．（2023春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考开学考试）已知下列三角比：（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 ；（5） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中与 SKIPIF 1 < 0 的值相同的是 ．
【答案】（2）（3）（5）
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0
对于（1），当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故（1）不满足要求；
对于（2）， SKIPIF 1 < 0 ，故（2）满足要求；
对于（3）， SKIPIF 1 < 0 ，故（3）满足要求；
对于（4）， SKIPIF 1 < 0 ，故（4）不满足要求；
对于（5）， SKIPIF 1 < 0 ，故（5）满足要求；
故答案为：（2）（3）（5）.
6．（2023春·河南驻马店·高一校考阶段练习）（1）已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 有意义，若角 SKIPIF 1 < 0 的终边与单位圆相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值及 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）是否存在角 SKIPIF 1 < 0 ，使等式 SKIPIF 1 < 0 同时成立.若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，说明理由.（注：对任意角 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 成立）
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是第三或第四象限角或y轴的非正半轴上的角，
因为 SKIPIF 1 < 0 有意义，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是第一或第四象限或x轴的非负半轴上的角，
综上可知，角 SKIPIF 1 < 0 是第四象限角，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在单位圆上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是第四象限角，故 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
根据正弦函数的定义，可知 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为等式 SKIPIF 1 < 0 同时成立，
利用诱导公式化简得 SKIPIF 1 < 0 ，两式平方后相加得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时也符合等式 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，显然此时不符合等式 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足条件.
课程标准
学习目标
①掌握诱导公式的内容、规律适用范围。
②了解诱导公式的作用。
③会用诱导公式进行化简、求值、证明恒等式
理解与掌握诱导公式的内容，会用诱导公式进行相关的运算