高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系第1课时导学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系第1课时导学案及答案，共8页。

自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
要点一直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与椭圆的位置关系
当直线与椭圆有① 两个公共点时，直线与椭圆相交；当直线与椭圆有且只有② 一个公共点时，称直线与椭圆相切；当直线与椭圆③ 没有公共点时，称直线与椭圆相离。
2.直线与圆锥曲线相切
（1）一般地，给定直线l与圆锥曲线C（圆、椭圆、双曲线、抛物线)，如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程④ 只有一个实数解（即有两个相等的实数解），则称直线与圆锥曲线相切。
（2）直线与圆，直线与椭圆只有一个公共点是直线与它们相切的⑤ 充要条件；但直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点不是直线与它们相切的⑥ 充分条件。
要点二圆锥曲线的弦和弦长
一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，以这⑦ 两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长。简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段。
自主思考
1.直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切吗？
答案：提示直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线有可能相交，如平行于抛物线对称轴的直线与抛物线只有一个交点，但不相切。
2.直线与圆锥曲线交点的个数与它们对应的方程联立成的方程组的解的个数有什么关系？
答案：提示直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立成的方程组的解的个数。
3.过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点，则弦AB的长是多少？
答案：提示|AB|=x1+x2+p
名师点睛
圆锥曲线弦长的求法
在相交弦问题中,一般不求出交点坐标,只是先设出交点坐标(设而不求思想),然后利用根与系数的关系求弦长.
设直线l：y=kx+m交圆锥曲线F(x,y)=0于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,
则|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2[1+(y1-y2x1-x2)2]=(x1-x2)2⋅(1+k2)=|x1-x2|⋅1+k2 .
同理可得|P1P2|=|y1-y2|⋅1+1k2(k≠0).
互动探究·关键能力
探究点一直线与圆锥曲线位置关系的判定
精讲精练
例已知直线l：y=2x+m ,椭圆C：x24+y22=1 ,试问当m取何值时,直线l与椭圆C：（1）有两个不重合的公共点;（2）有且只有一个公共点;
（3）没有公共点.
答案：（1）将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得y=2x+m,①x24+y22=1,②由Δ>0 ,得-32将①代入②中,整理得9x2+8mx+2 m2-4=0，③
则Δ=(8m)2-4×9×(2 m2-4)=-8 m2+144 .
所以当-32（2）由Δ=0 ,得m=±32 .
所以当m=±32时,方程③有两个相同的实数根,即原方程组有一组实数解,这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
（3）由Δ<0 ,得m<-32或m>32 .
所以当m<-32或m>32时,方程③没有实数根,即原方程组没有实数解,这时直线l与椭圆C没有公共点.
解题感悟
在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,要先讨论得到的方程的二次项系数为
零的情况,再考虑Δ的情况,而且不要忽略直线斜率不存在的情况.
迁移应用
1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q ,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A.[-12,12]
B.[-2,2]
C.[-1,1]
D.[-4,4]
答案： C
解析：由题意知Q(-2,0) ,设过点Q的直线l的方程为y=k(x+2) .∵直线l与抛物线有公共点,∴方程组y2=8x,y=k(x+2),有解,
即k2x2+(4k2-8)x+4k2=0有解.
∴Δ=(4k2-8)2-16k4≥0,即k2≤1.
∴-1≤k≤1 ,故选C.
探究点二中点弦问题
精讲精练
例（2020深圳红岭中学高二期中）已知椭圆与双曲线y24-x212=1的焦点相同,且它们的离心率之和等于145 .
（1）求椭圆方程;
（2）过椭圆内一点M(1,1)作一条弦AB ,使该弦被点M平分,求弦AB所在直线的方程.
答案：（1）由题意知,双曲线的焦点坐标为(0,4),(0,-4),离心率e=2 ,
设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a＞b＞0),
则c=4 ,
e=ca=4a=145-2=45,∴a=5,∴b2=a2-c2=25-16=9,
∴椭圆方程为y225+x29=1 .
（2）设A(x1,y1),B(x2,y2) ,
∵M为弦AB的中点,
∴x1+x2=2,y1+y2=2,
由题意得y1225+x129=1①,y2225+x229=1②, ①-②得
(y1+y2)(y1-y2)25=-(x1+x2)(x1-x2)9,
则kAB=y1-y2x1-x1=-25(x1+x2)9(y1+y2)=-259,
∴弦AB所在直线的方程为y-1=-259(x-1) , 即25x+9y-34=0 .
解题感悟
解决中点弦问题有两个思路：
（1）联立直线方程和椭圆方程并消去一个未知数后,得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式求解;
（2）采用点差法,在求解圆锥曲线时,如果题目中交代了直线与圆锥曲线相交所截得的线段中点坐标,那么可把两个交点坐标分别代入圆锥曲线的方程,表示出直线的斜率和中点坐标,要注意验证得到的直线是否符合题意
迁移应用
1.（2021山东德州高二期中）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点是F(3,0) ,过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点M的坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为( )
A.x216+y264=1
B.x218+y29=1
C.x227+y218=1
D.x245+y236=1
答案：B
解析：设A(x1,y1),B(x2,y2) ,则x1+x2=2,y1+y2=-2,将A,B的坐标分别代入椭圆方程中,得x12a2+y12b2=1① ,x22a2+y22b2=1②,
①-②得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,
∴kAB=y1-y2x1-x2=-b2(x1+x2)a2(y1+y2)=b2a2,
又kAB=0+13-1=12,∴b2a2=12,
又9=c2=a2-b2 ,
∴b2=9,a2=18,∴椭圆方程为x218+y29=1 ,故选B.
2.直线y=x+1被椭圆x24+y22=1所截得的弦的中点坐标为( )
A.(23,53) B.(43,73)
C.(-23,13) D.(-43,-13)
答案： C
解析：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2) ,弦AB的中点为M(x0,y0) ,
则x124+y122=1,x224+y222=1,
两式相减得到(x1-x2)(x1+x2)4+(y1-y2)(y1+y2)2=0 ,
故2x04+kAB×2y02=0,易知kAB=1,所以x0+2y0=0,又y0=x0+1,
故x0=-23,y0=13 ,所以所求弦的中点坐标为(-23,13) .
探究点三弦长问题
精讲精练
例（2021天津塘沽第十三中学高二期中）设椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,一个顶点坐标为(2,0),离心率为32 .
（1）求这个椭圆的方程;
（2）若这个椭圆的左焦点为F1 ,右焦点为F2 ,过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点,求弦AB的长及△ABF2的面积.
答案：（1）设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0) ,由题意得,a=2,ca=32,∴c=3,又b2=a2-c2,∴b=1,∴椭圆的方程为x24+y2=1 .
（2）由（1）知左焦点F1(-3,0) ,右焦点F2(3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线AB的方程为y=x+3 ,联立得y=x+3，x24+y2=1，
消去y得5x2+83x+8=0 ,则x1+x2=-835,x1x2=85，
则|AB|=1+12×(x1+x2)2-4x1x2=2×(-835)2-325=85,
点F2(3,0)到直线y=x+3的距离d=|23|2=6,∴S△ABF2=12×|AB|×d=465 .
解题感悟
直线和圆锥曲线相交问题的解法就是利用“设而不求”的思想方法,将两个方程联立后消去一个未知数得到一个一元二次方程,利用弦长公式和根与系数的关系解决（要考虑特殊情形）,这类问题运算量较大,计算时确保其正确性.
迁移应用
1. （2020北京昌平一中高二期中）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F(-1,0) ,且经过点(0,3) .
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过点F的直线l与椭圆C交于A,B两点,若|AB|=154 ,求直线l的方程.
答案：（1）依题意可知c=1,b=3 ,所以a=(3)2+12=2 ,
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1 .
（2）当直线l的斜率不存在时,A(-1,32),B(-1,-32) ,所以|AB|=3 ,不满足题意,所以直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y=k(x+1) ,由y=k(x+1)，x24+y23=1消去y并化简得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0
因为直线l和椭圆相交,所以Δ=(8k2)2-4×(3+4k2)×(4k2-12)=144(k2+1)＞0恒成立,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8k23+4k2,x1⋅x2=4k2-123+4k2,所以|AB|=1+k2⋅(-8k23+4k2)2-4×4k2-123+4k2=154,即1+k2⋅121+k23+4k2=154,
化简得k2=14 ,所以k=±12 .
所以直线l的方程为y=±12(x+1) .
评价检测·素养提升
课堂检测
1.（2020山东临沂一中高二期中）已知抛物线x2=4y内一点P(1,1) ,过点P的直线l交抛物线于A,B两点,且点P为弦AB的中点,则直线l的方程为( )
A.x+2y-3=0 B.x-2y+1=0
C.2x-y+1=0 D.x+y-2=0
答案： B
2.倾斜角为π4的直线经过椭圆x22+y2=1的右焦点F ,且与椭圆交于A、B两点,则弦长|AB|= ( )
A.223 B.423 C.22 D.42
答案：B
3.已知双曲线C过点(3,2)且其渐近线方程为y=±33x ,则下列结论中错误的是( )
A.双曲线C的方程为x23-y2=1
B.左焦点到一条渐近线的距离为1
C.直线x-2y-1=0与双曲线C有两个公共点
D.过右焦点截双曲线所得弦长为23的直线只有三条
答案：C
素养演练
数学运算——弦长的最值问题
1.设抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F ,过F的直线l与C交于A,B两点.
（1）若直线l的斜率为1,且|AB|=8 ,求抛物线C和直线l的方程;
（2）若p=2 ,求线段AB长的最小值.
答案：（1）由题意得F(p2,0),l的方程为y=x-p2 .
设A(x1,y1),B(x2,y2) ,由y=x-p2，y2=2px，消去y可得x2-3px+p24=0 ,故x1+x2=3p .
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+p2)+(x2+p2)=3p+p=4p .
由题意知4p=8 ,解得p=2 .因此抛物线C的方程是y2=4x ,直线l的方程为y=x-1 .
（2）若p=2 ,则抛物线C:y2=4x,F(1,0) .
由题可知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my+1 .
与抛物线方程联立,得x=my+1，y2=4x，消去x ,整理得y2-4my-4=0 .
设方程的两根为y1,y2 ,则y1+y2=4m,y1y2=-4 .
所以|AB|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2
=1+m2(4m)2-4×(-4)=4(1+m2)≥4,
所以线段AB长的最小值为4.
素养探究：本题考查抛物线的弦长及其最值问题,考查数学运算的核心素养,解题需将直线l的方程与抛物线方程联立,利用抛物线弦长公式,结合一元二次方程根与系数的关系求解即可.
课标解读
课标要求
素养要求
1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系. 2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题.
1.数学运算一能利用设而不求的思想方法解决中点弦、弦长问题。 2.逻辑推理一能借助一元二次方程解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系.