高中人教B版 (2019)2.8 直线与圆锥曲线的位置关系学案

这是一份高中人教B版 (2019)2.8 直线与圆锥曲线的位置关系学案，共8页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．过点P(3，－2)且倾斜角为eq \f(π,2)的直线方程是( )
A．x＝－2 B．x＝3
C．y＝－2 D．y＝3
答案 B
解析 倾斜角为eq \f(π,2)，直线垂直于x轴，直线方程为x＝3.
2．已知A(3，－2)，B(－1,2)，则线段AB中点的坐标为( )
A．(1,2) B．(2,0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) D．(1,0)
答案 D
解析 由A(3，－2)，B(－1,2)，
得线段AB中点的坐标为(1,0)．
3．过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得eq \(OC,\s\up6(→))＝aeq \(OA,\s\up6(→))＋beq \(OB,\s\up6(→))(a，b∈R)，则以下说法正确的是( )
A．点P(a，b)一定在单位圆内
B．点P(a，b)一定在单位圆上
C．点P(a，b)一定在单位圆外
D．当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上
答案 B
解析 ∵eq \(OC,\s\up6(→))2＝(aeq \(OA,\s\up6(→))＋beq \(OB,\s\up6(→)))2，且eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，∴a2＋b2＋2abeq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝a2＋b2＝1，因此点P(a，b)一定在单位圆上，故选B.
4．已知圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，圆C2：x2＋y2－14x－2y＋34＝0，则两圆公切线的条数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C1(3，－2)，半径r1＝1，
圆C2：(x－7)2＋(y－1)2＝16，圆心C2(7,1)，半径r2＝4，
圆心距d＝eq \r(3－72＋－2－12)＝5，d＝r1＋r2，
所以两圆相外切，公切线条数是3.
5．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5)
答案 B
解析 由题意可知圆心在第一象限，设为(a，b)．
∵圆与两坐标轴都相切，
∴a＝b，且半径r＝a，
∴圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.
∵点(2,1)在圆上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，
∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.
当a＝1时，圆心坐标为(1,1)，
此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离为
d＝eq \f(|2×1－1－3|,\r(22＋－12))＝eq \f(2\r(5),5)；
当a＝5时，圆心坐标为(5,5)，
此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离为
d＝eq \f(|2×5－5－3|,\r(22＋－12))＝eq \f(2\r(5),5).
综上，圆心到直线2x－y－3＝0的距离为eq \f(2\r(5),5).
6．“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着陆、巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里．若此时远火点距离约为11 945公里，火星半径约为3 395公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为( )
A．0.61 B．0.67
C．0.71 D．0.77
答案 A
解析 设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c，最大值为a＋c，
根据题意可得近火点满足a－c＝3 395＋265＝3 660，a＋c＝3 395＋11 945＝15 340，
解得a＝9 500，c＝5 840，
所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5 840,9 500)≈0.61.
二、多项选择题
7．已知直线l：x－ay＋1＝0(a∈R)，则下列说法正确的是( )
A．直线l过定点(－1,0)
B．直线l一定不与坐标轴垂直
C．直线l与直线l′：－x＋ay＋m＝0(m∈R)一定平行
D．直线l与直线l′：ax＋y＋m＝0(m∈R)一定垂直
答案 AD
解析 l：x－ay＋1＝0(a∈R)整理为ay＝x＋1，恒过定点(－1,0)，故A正确；当a＝0时，直线l与x轴垂直，故B错误；当m＝－1时，两直线重合，故C错误；因为1×a＋1×(－a)＝0，故直线l与直线l′一定垂直，故D正确．
8．下列判断正确的是( )
A．抛物线y2＝x与直线x＋y－eq \r(2)＝0仅有一个公共点
B．双曲线x2－y2＝1与直线x＋y－eq \r(2)＝0仅有一个公共点
C．若方程eq \f(x2,4－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则eq \f(5,2)D．若方程eq \f(x2,4－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4
答案 BD
解析 对于A，抛物线方程y2＝x与直线方程x＋y－eq \r(2)＝0联立，消去x，可得y2＋y－eq \r(2)＝0，Δ＝1＋4eq \r(2)>0，所以抛物线y2＝x与直线x＋y－eq \r(2)＝0有两个公共点，故A错误；
对于B，双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，直线x＋y－eq \r(2)＝0与渐近线y＝－x平行，故双曲线x2－y2＝1与直线x＋y－eq \r(2)＝0仅有一个公共点，故B正确；
对于C，若方程eq \f(x2,4－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，解得1对于D，若方程eq \f(x2,4－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－t<0，,t－1>0，))解得t>4，故D正确．
三、填空题
9．直线y＝1与直线y＝eq \r(3)x＋3的夹角是________．
答案 eq \f(π,3)
解析 直线y＝1的方向向量为m＝(1,0)，直线y＝eq \r(3)x＋3的方向向量为n＝(1，eq \r(3))，
cs〈m，n〉＝eq \f(1×1＋0×\r(3),1×2)＝eq \f(1,2)，
可得〈m，n〉＝eq \f(π,3)，
所以直线y＝1与直线y＝eq \r(3)x＋3的夹角是eq \f(π,3).
10．已知直线x－eq \r(3)y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为_________．
答案 5
解析 设圆心为O(0,0)，
圆心到直线的距离d＝eq \f(|0－\r(3)×0＋8|,\r(1＋3))＝4.
取AB的中点M，连接OM(图略)，则OM⊥AB.
在Rt△OMA中，r＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))2＋d2)＝5.
11．已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
答案 2
解析 如图，A(a,0)．
由BF⊥x轴且AB的斜率为3，
知点B在第一象限，且Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，
则kAB＝eq \f(\f(b2,a)－0,c－a)＝3，
即b2＝3ac－3a2.
又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，
∴c2－3ac＋2a2＝0，∴e2－3e＋2＝0.
解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2.
12．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|AF|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．
答案 y＝±x
解析 由已知|OA|＝a，|AF|＝c，
得|OF|＝eq \f(p,2)＝b，
把y＝－eq \f(p,2)＝－b代入双曲线方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，得x2＝2a2，
所以直线y＝－eq \f(p,2)被双曲线截得的线段长为2eq \r(2)a，
从而2eq \r(2)a＝2c，c＝eq \r(2)a，
所以a2＋b2＝2a2，
所以a＝b，所以所求渐近线方程为y＝±x.
四、解答题
13．已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(1，m)在抛物线C上，且|AF|＝eq \f(3,2).
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知过点Q(2,1)的直线l与抛物线交于M，N两点，且点Q是线段MN的中点，求直线l的方程．
解 (1)根据抛物线的定义得
|AF|＝xA＋eq \f(p,2)＝1＋eq \f(p,2)＝eq \f(3,2)，
解得p＝1，
∴抛物线C的方程为y2＝2x.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∵Q(2,1)是线段MN的中点，
∴y1＋y2＝2，
∵M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线C上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝2x1，,y\\al(2,2)＝2x2，))
于是得(y2－y1)(y2＋y1)＝2(x2－x1)，
即eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(2,y2＋y1)＝eq \f(2,2)＝1，
得直线l的斜率为1，
则直线l的方程为x－y－1＝0.
14．在△ABC中，已知A(1,1)，B(3，－2)，
(1)若直线l过点M(2,0)，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程；
(2)若直线m：2x－y－6＝0为∠C的平分线，求直线BC的方程．
解 (1)∵点A，B到l的距离相等，
∴直线l过线段AB的中点或l∥AB，
①当直线l过线段AB的中点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)))时，直线l的斜率不存在，则l的方程为x＝2；
②当l∥AB时，则斜率kl＝kAB＝eq \f(－2－1,3－1)＝－eq \f(3,2)，
则l的方程为y－0＝－eq \f(3,2)(x－2)，即3x＋2y－6＝0，
综上，l的方程为x＝2或3x＋2y－6＝0.
(2)∵直线m为∠C的平分线，
∴点A关于直线m的对称点A′(a，b)在直线BC上，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2·\f(a＋1,2)－\f(b＋1,2)－6＝0，,\f(b－1,a－1)·2＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－1，))即A′(5，－1)，
∴直线BC的斜率kBC＝eq \f(－1－－2,5－3)＝eq \f(1,2)，
∴直线BC的方程为y＋1＝eq \f(1,2)(x－5)，即x－2y－7＝0.
15．已知A，B分别为椭圆E：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(GB,\s\up6(→))＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
(1)解 依据题意作图，如图所示，
由椭圆方程E：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)可得，
A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)，
∴eq \(AG,\s\up6(→))＝(a,1)，eq \(GB,\s\up6(→))＝(a，－1)，
∴eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(GB,\s\up6(→))＝a2－1＝8，∴a2＝9，即a＝3，
∴E的方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1.
(2)证明 设P(6，y0)，
则直线AP的方程为y＝eq \f(y0－0,6－－3)(x＋3)，
即y＝eq \f(y0,9)(x＋3)，
联立直线AP的方程与椭圆方程可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,9)＋y2＝1，,y＝\f(y0,9)x＋3，))
整理得(yeq \\al(2,0)＋9)x2＋6yeq \\al(2,0)x＋9yeq \\al(2,0)－81＝0，
解得x＝－3或x＝eq \f(－3y\\al(2,0)＋27,y\\al(2,0)＋9)，
将x＝eq \f(－3y\\al(2,0)＋27,y\\al(2,0)＋9)代入直线y＝eq \f(y0,9)(x＋3)可得
y＝eq \f(6y0,y\\al(2,0)＋9)，
∴点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－3y\\al(2,0)＋27,y\\al(2,0)＋9)，\f(6y0,y\\al(2,0)＋9))).
同理可得点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3y\\al(2,0)－3,y\\al(2,0)＋1)，\f(－2y0,y\\al(2,0)＋1)))，
∴直线CD的方程为
y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2y0,y\\al(2,0)＋1)))＝eq \f(\f(6y0,y\\al(2,0)＋9)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2y0,y\\al(2,0)＋1))),\f(－3y\\al(2,0)＋27,y\\al(2,0)＋9)－\f(3y\\al(2,0)－3,y\\al(2,0)＋1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3y\\al(2,0)－3,y\\al(2,0)＋1)))，
整理可得y＋eq \f(2y0,y\\al(2,0)＋1)＝eq \f(8y0y\\al(2,0)＋3,69－y\\al(4,0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3y\\al(2,0)－3,y\\al(2,0)＋1)))
＝eq \f(4y0,33－y\\al(2,0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3y\\al(2,0)－3,y\\al(2,0)＋1)))，
整理得y＝eq \f(4y0,33－y\\al(2,0))x＋eq \f(2y0,y\\al(2,0)－3)＝eq \f(4y0,33－y\\al(2,0))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，
故直线CD过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0)).