2025-2026学年上学期广州初中数学八年级开学模拟考1

这是一份2025-2026学年上学期广州初中数学八年级开学模拟考1，共32页。
A．
B．
C．
D．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：∠CDE＝∠CAB；
结论Ⅱ：AB+EC＝AC．
A．Ⅰ，Ⅱ都对B．Ⅰ对，Ⅱ错C．Ⅰ错，Ⅱ对D．Ⅰ，Ⅱ都错
3．（3分）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠ADE的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
4．（3分）如图，△ABC≌△CED，点A在CE边上，∠CAB+∠E＝90°，ED与AB交于点F，则下列结论不正确的是（ ）
A．DE＝BCB．∠D＝90°
C．∠BFD+∠B＝∠ACDD．EF＝FB
5．（3分）如图，AB＝AE，∠1＝∠2，添加下列一个条件后，不能使△ABC≌△AED的是（ ）
A．∠C＝∠DB．BC＝EDC．∠B＝∠ED．AC＝AD
6．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（ ）
A．BC＝EFB．∠BCA＝∠FC．BA∥EFD．AC＝DF
7．（3分）如图，若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）
A．10cmB．8cmC．7cmD．5cm
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝58°，点O在△ABC的内部，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠OBC的度数为（ ）
A．20°B．18°C．17°D．16°
9．（3分）如图，已知∠C＝∠D，CE＝DE，BC＝AD，A，E，B三点在一条直线上．下列结论：①∠A＝∠B；②E是AB的中点；③∠AEC＝∠BED；④AD⊥BC，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若点B的坐标是（﹣2，﹣2），点C的坐标是（3，﹣2），则正方形ABCD的顶点D的坐标是（ ）
A．（﹣2，2）B．（3，3）C．（3，2）D．（2，3）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，AB、CD、EF相交于点O，且它们都被点O平分，则图中全等三角形有 对．
12．（3分）如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是28cm2，AB＝8cm，BC＝6cm，则DE＝ cm．
13．（3分）如图，在四边形CBDE中，对角线CD、BE相交于点F，CB＝CD，BE＝BD，∠CED+∠CEB＝180°，CE＝2，BD＝26时，则CD的长为 ．
14．（3分）如图，已知△ABC≌△DEC，点B的对应点E在线段AB上，∠DCA＝42°，则∠B的大小是 （度）．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝90°，且AD＝9cm，AB＝4cm，延长BC至点E，使（CE＝3cm，连接DE．若动点P从A点出发，以每秒3cm的速度沿射线AD运动；动点Q从E点出发以每秒2cm的速度沿EB向B点运动，当点Q到达点B时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
（1）当t为 秒时，以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形；
（2）使得△DQE是等腰三角形时t的值． ．
16．（3分）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OC，那么要得到△AOD≌△COB，可以添加一个条件是 （填一个即可）．
三．解答题（共6小题）
17．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，已知：AB＝DE，AB//DE，BE＝CF，求证：∠A＝∠D．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若CD＝1，AB＝4，求△ABD面积．
19．如图，E在AB上，∠A＝∠B，AD＝BE，AE＝BC，F是CD的中点．
（1）求证：EF⊥CD；
（2）∠CEA＝80°，∠B＝60°，求∠ECD的度数．
20．如图，在△ABD中，∠ABC＝45°，AC，BF为△ABD的两条高，BC＝AC，CM∥AB，交AD于点M．
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：BE＝AM+EM．
21．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t s．
（1）PC＝ cm．（用t的代数式表示）
（2）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CA向点A运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
22．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB边的中点，AF⊥CD于点H，交BC于点F，BE∥AC交AF的延长线于点E．求证：
（1）AD＝BE；
（2）BC⊥DE．
2025-2026学年上学期广州初中数学八年级开学模拟考1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】全等图形．
【专题】图形的全等；几何直观．
【答案】B
【分析】利用全等图形的定义进行判断即可．
【解答】解：A、两个图形不属于全等图形，故此选项不符合题意；
B、两个图形属于全等图形，故此选项符合题意；
C、两个图形不属于全等图形，故此选项不符合题意；
D、两个图形不属于全等图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：∠CDE＝∠CAB；
结论Ⅱ：AB+EC＝AC．
A．Ⅰ，Ⅱ都对B．Ⅰ对，Ⅱ错C．Ⅰ错，Ⅱ对D．Ⅰ，Ⅱ都错
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】根据尺规作图痕迹可知，AD为∠BAC的角平分线，DE为AC的垂线，可得△ABD≌△AED，可判断结论Ⅱ，再由∠DCE+∠CDE＝90°，∠DCE+∠CAB＝90°，可得结论Ⅰ正确．
【解答】解：由尺规作图痕迹可知，
AD为∠BAC的角平分线，DE为AC的垂线，
∴∠BAD＝∠EAD，△AED为直角三角形，
∴∠B＝90°，∠AED＝90°，
在△ABD和△AED中，
∠DBA=∠DEA∠BAD=∠EADAD=AD，
∴△ABD≌△AED（AAS），
∴AB＝AE，
∵AE+EC＝AC，
∴AB+EC＝AC，
故结论Ⅱ正确；
∵∠DCE+∠CDE＝90°，
∠DCE+∠CAB＝90°，
∴∠CDE＝∠CAB，
故结论Ⅰ正确，
故选：A．
【点评】本题考查角平分线和垂线段的画法以及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
3．（3分）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠ADE的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质，即可得到∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠ADE＝∠B，再根据∠EAC＝40°，即可得到∠BAD的度数，最后根据三角形内角和定理以及全等三角形的对应角相等，即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠ADE＝∠B，
∴∠EAC＝∠DAB＝40°，
∴△ABD中，∠B=12（180°﹣∠BAD）＝70°，
∴∠ADE＝∠B＝70°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解题时注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
4．（3分）如图，△ABC≌△CED，点A在CE边上，∠CAB+∠E＝90°，ED与AB交于点F，则下列结论不正确的是（ ）
A．DE＝BCB．∠D＝90°
C．∠BFD+∠B＝∠ACDD．EF＝FB
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质进行判断即可．
【解答】解：∵△ABC≌△CED，
∴BC＝DE，
故A选项不符合题意；
∵△ABC≌△CED，
∴∠CAB＝∠DCE，
∵∠CAB+∠E＝90°，
∴∠DCE+∠E＝90°，
∴∠D＝90°，
故B选项不符合题意；
∵∠CAB＝∠E+∠AFE，∠AFE＝∠BFD，
∴∠CAB＝∠BFD+∠E，
∵△ABC≌△CED，
∴∠CAB＝∠ACD，∠B＝∠E，
∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠BFD+∠B＝∠ACD，
故C选项不符合题意，
没有足够的条件证明EF＝FB，
故D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
5．（3分）如图，AB＝AE，∠1＝∠2，添加下列一个条件后，不能使△ABC≌△AED的是（ ）
A．∠C＝∠DB．BC＝EDC．∠B＝∠ED．AC＝AD
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】要判断能不能使△ABC≌△AED，主要看添加上条件后能否符合全等三角形判定方法所要求的条件，题目中提供的②BC＝ED满足SSA，此条件不能使△ABC≌△AED，可得答案．
【解答】解：由∠1＝∠2得∠BAC＝∠DAE，
又AB＝AE，
加上BC＝ED，满足SSA不能证明三角形全等．
其他三个条件都可以证明它们全等，
故选：B．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．
6．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（ ）
A．BC＝EFB．∠BCA＝∠FC．BA∥EFD．AC＝DF
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（SAS），故本选项不符合题意；
B．∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠DEF，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（AAS），故本选项不符合题意；
C．∵BA∥EF，
∴∠A＝∠ACF，
由AB＝DE，∠B＝∠DEF不能推出Rt△ABC≌Rt△DEF，故本选项不符合题意；
D．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AC＝DF，AB＝DE，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定定理，能熟记直角三角形的判定定理（三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL）是解此题的关键．
7．（3分）如图，若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）
A．10cmB．8cmC．7cmD．5cm
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF＝BC＝8cm，即x＝8cm；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝58°，点O在△ABC的内部，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠OBC的度数为（ ）
A．20°B．18°C．17°D．16°
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据ON⊥BC，OM⊥AB，OM＝ON判断OB是∠ABC的角平分线，即可求解．
【解答】解：∵∠A＝90°，∠C＝58°，
∴∠ABC＝90°﹣58°＝32°，
∵ON⊥BC，OM⊥AB，OM＝ON，
∴点O到BC、AB的距离相等，
∴OB是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO=12∠ABC=16°．
故选：D．
【点评】本题考查角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．
9．（3分）如图，已知∠C＝∠D，CE＝DE，BC＝AD，A，E，B三点在一条直线上．下列结论：①∠A＝∠B；②E是AB的中点；③∠AEC＝∠BED；④AD⊥BC，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】C
【分析】证明△EAD≌△EBC（SAS），根据全等三角形的性质即可得到∠A＝∠B，AE＝BE，∠AED＝∠BEC．则可得到结论．
【解答】解：在△EAD和△EBC中，
AD=BC∠D=∠CDE=CE，
∴△EAD≌△EBC（SAS），
∴∠A＝∠B，AE＝BE，∠AED＝∠BEC，
∴∠AEC＝∠BED，
故①②③正确，
∵∠A+∠B≠90°，
∴④不正确，
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若点B的坐标是（﹣2，﹣2），点C的坐标是（3，﹣2），则正方形ABCD的顶点D的坐标是（ ）
A．（﹣2，2）B．（3，3）C．（3，2）D．（2，3）
【考点】正方形的性质；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据正方形的性质和坐标系中点的坐标特征进行求解即可．
【解答】解：∵点B的坐标是（﹣2，﹣2），点C的坐标是（3，﹣2），
∴BC∥x，BC＝3﹣（﹣2）＝5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，CD∥AB，CD＝BC＝5，CD∥y轴，
∴点D的坐标是（3，﹣2+5），即（3，3），
故选：B．
【点评】此题考查了图形与坐标，熟练掌握正方形的性质和坐标系的特点是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，AB、CD、EF相交于点O，且它们都被点O平分，则图中全等三角形有 3 对．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】3．
【分析】根据题中已知条件AB，CD，EF均被点O平分，得到DO＝OC，FO＝OE，BO＝AO，再根据对顶角相等，利用SAS即可得到全等三角形．
【解答】解：∵AB，CD，EF均被点O平分，
∴DO＝OC，FO＝OE，BO＝AO，
再加上对顶角相等，利用SAS即可得到△OAC≌△OBD，△OAE≌△OBF，△OCE≌△ODF．
故答案为：3．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
12．（3分）如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是28cm2，AB＝8cm，BC＝6cm，则DE＝ 4 cm．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】4．
【分析】作DF⊥BC于F，设DE为x，根据角平分线的性质得到DE＝DF＝x，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可．
【解答】解：作DF⊥BC于F，
设DE为x，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF＝x，
∴12×AB×DE+12×BC×DF＝28，即4x+3x＝28，
解得x＝4，
∴DE＝4cm，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
13．（3分）如图，在四边形CBDE中，对角线CD、BE相交于点F，CB＝CD，BE＝BD，∠CED+∠CEB＝180°，CE＝2，BD＝26时，则CD的长为 4 ．
【考点】全等三角形的应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】4．
【分析】过点C作CR⊥BE于点R，CT⊥DE交DE延长线于点T，过点B作BM⊥EC交EC延长线于点M，在EC的延长线上取NM＝MC，连接BN，易证△BNM≌△BCM，由∠CEB+∠CED＝180°，可得∠CET＝∠CEB，所以CT＝CR，由HL可知，Rt△CBR≌Rt△CDT，可得∠CBE＝∠CDE，易证∠BCD＝∠BED，设∠BCD＝∠BED＝2α，通过倒角可知，∠NBE＝∠NEB＝90°﹣α，所以BN＝EN＝BC，设CM＝MN＝x，利用勾股定理可列方程，解之即可得出结论．
【解答】解：如图，过点C作CR⊥BE于点R，CT⊥DE交DE延长线于点T，过点B作BM⊥EC交EC延长线于点M，在EC的延长线上取NM＝MC，连接BN．
则∠CET+∠CED＝180°，△BNM≌△BCM，
∵∠CEB+∠CED＝180°，
∴∠CET＝∠CEB，
∴CT＝CR，
∵CB＝CD，
∴Rt△CBR≌Rt△CDT（HL），
∴∠CBE＝∠CDE，
∵∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝∠CDE+∠BED，
∴∠BCD＝∠BED，
设∠BCD＝∠BED＝2α，
则∠BDC=12（180°﹣∠BCD）＝90°﹣α，∠BEC=12∠BET=12（180°﹣∠BED）＝90°﹣α，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝2α，
∴∠CBE＝∠CDE＝∠BDE﹣∠BDC＝3α﹣90°，∠N＝∠BCN＝∠CBE+∠CEB＝2α，
∴∠NBE＝180°﹣（∠N+∠BEC）＝90°﹣α，
∴∠NBE＝∠NEB，
∴BN＝EN＝BC，设CM＝MN＝x，
则EM＝x+2，BN＝EN＝2x+2，
∵BM2＝BN2﹣MN2＝BE2﹣EM2，
∴（2x+2）2﹣x＝（26）2﹣（x+2）2，
解得x＝1或x＝﹣4（舍去），
∴BC＝2×1+2＝4．
故答案为：4
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等相关知识，作出正确的辅助线构造全等三角形是解题关键．
14．（3分）如图，已知△ABC≌△DEC，点B的对应点E在线段AB上，∠DCA＝42°，则∠B的大小是 69 （度）．
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】69．
【分析】根据全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DCE，CE＝CB，即可得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，CE＝CB，
∴∠BCE＝∠DCA＝42°．
∴∠B=∠CEB=12(180°−42°)=69°，
故答案为：69．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝90°，且AD＝9cm，AB＝4cm，延长BC至点E，使（CE＝3cm，连接DE．若动点P从A点出发，以每秒3cm的速度沿射线AD运动；动点Q从E点出发以每秒2cm的速度沿EB向B点运动，当点Q到达点B时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
（1）当t为 95 秒时，以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形；
（2）使得△DQE是等腰三角形时t的值． 3或2512或52 ．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）95；
（2）3或2512或52．
【分析】（1）先判断出PD＝EQ，进而建立方程求解即可得出结论；
（2）分三种情况，利用等腰三角形的性质或勾股定理，建立方程求解即可得出结论．动点Q从E点出发以每秒2cm的速度沿EB向B点运动，当点Q到达点B时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
【解答】解：（1）当0≤t≤3时，
根据题意得，AP＝3t，PD＝9﹣3t，EQ＝2t，
∵四边形PQED是平行四边形，
∴PD＝EQ，
∴9﹣3t＝2t，
∴t=95，
当3＜t≤6时，根据题意得，AP＝3t，PD＝3t﹣9，EQ＝2t，
∵四边形PQED是平行四边形，
∴PD＝EQ，即：3t﹣9＝2t，
∴t＝9（不合题意舍去），
当t为95秒时，四边形PQED成为平行四边形，
故答案为：95；
（2）根据题意得，EQ＝2t，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，AB∥CD，
∴∠DCE＝∠B＝90°，
在Rt△DCE中，CE＝3，
根据勾股定理得，DE=CD2+CE2=5（cm），
∵△DQE是等腰三角形，
∴①当DQ＝DE时，
∵∠DCE＝90°，
∴CQ＝CE，
∴EQ＝2CE＝6cm，
∴2t＝6，
∴t＝3；
②当DQ＝EQ时，如图，
则DQ＝2t，CQ＝EQ﹣CE＝2t﹣3，
在Rt△DCE中，根据勾股定理得，CD2+CQ2＝DQ2，
∴42+（2t﹣3）2＝（2t）2，
∴t=2512；
③当DE＝EQ时，
∴2t＝5，
∴t=52；
即：△DQE是等腰三角形时，t的值为3秒或2512秒或52秒，
故答案为：3或2512或52．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
16．（3分）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OC，那么要得到△AOD≌△COB，可以添加一个条件是 OD＝OB （填一个即可）．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】OD＝OB．
【分析】本题根据题目条件，图形条件可知，OA＝OC，∠AOD＝∠COB，只需要添加一组对应边相等（即OD＝OB），或者对应角相等即可．
【解答】解：OD＝OB，OA＝OC，∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB（SAS）．
故答案为：OD＝OB．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
三．解答题（共6小题）
17．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，已知：AB＝DE，AB//DE，BE＝CF，求证：∠A＝∠D．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；三角形；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】答案见解答过程．
【分析】先根据BE＝CF得BC＝EF，再根据AB//DE得∠B＝∠DEF，由此可依据“SAS”判定△ABC和△DEF全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
∵AB//DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若CD＝1，AB＝4，求△ABD面积．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力．
【答案】2cm2．
【分析】根据已知条件求得Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质得到，DE＝CD，求得AB，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD＝ED，
在Rt△ACD与Rt△AED中，
CD=EDAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC，DE＝CD，
∵CD＝1cm，
∴DE＝1cm，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12×4×1=2(cm2)．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
19．如图，E在AB上，∠A＝∠B，AD＝BE，AE＝BC，F是CD的中点．
（1）求证：EF⊥CD；
（2）∠CEA＝80°，∠B＝60°，求∠ECD的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）∠ECD的度数是40°．
【分析】（1）由AD＝BE、∠A＝∠B，AE＝BC，根据全等三角形的判定定理“SSS”证明△AED≌△BCE，得DE＝EC，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明EF⊥CD；
（2）由CEA＝80°，∠B＝60°，得∠BCE＝∠CEA﹣∠B＝20°，则∠AED＝∠BCE＝20°，∠CED＝100°，根据“等边对等角”及三角形的内角和定理得∠ECD＝∠EDC=180°−100°2=40°．
【解答】（1）证明：在△AED和△BCE中，
AD=BE∠A=∠BAE=BC，
∴△AED≌△BCE（SAS），
∴DE＝EC，
∵F是CD的中点，
∴EF⊥CD．
（2）解：∵∠CEA＝80°，∠B＝60°，
∴∠BCE＝∠CEA﹣∠B＝80°﹣60°＝20°，
∵△AED≌△BCE，
∴∠AED＝∠BCE＝20，
∴∠CED＝∠CEA+∠AED＝80°+20°＝100°，
∵DE＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC=180°−100°2=40°，
∴∠ECD的度数是40°．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及其推论等知识，证明△AED≌△BCE是解题的关键．
20．如图，在△ABD中，∠ABC＝45°，AC，BF为△ABD的两条高，BC＝AC，CM∥AB，交AD于点M．
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：BE＝AM+EM．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）先根据同角的余角相等证明∠CBE＝∠CAD＝90°﹣∠D，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△BCE≌△ACD；
（2）由△BCE≌△ACD得CD＝CE，再由CM∥AB，∠ABC＝45°证明∠MCD＝∠MCE＝45°，即可证明△MCD≌△MCE，得DM＝EM，所以BE＝AD＝AM+EM．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，BF⊥AD，
∴∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BFD＝90°，
∴∠CBE＝∠CAD＝90°﹣∠D，
在△BCE和△ACD中，
∠BCE=∠ACDBC=AC∠CBE=∠CAD，
∴△BCE≌△ACD（ASA）．
（2）证明：由（1）得AD＝BE，CD＝CE，
∵CM∥AB，∠ABC＝45°，
∴∠MCD＝∠ABC＝45°，
∴∠MCD＝∠MCE＝45°，
在△MCD和△MCE中，
CD=CE∠MCD=∠MCECM=CM，
∴△MCD≌△MCE（SAS），
∴DM＝EM，
∴AD＝AM+DM＝AM+EM，
∴BE＝AM+EM．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、直角三角形的两个锐角互余等知识，找到全等三角形的对应边和对应角并且通过推理证明补全三角形全等的条件是解题的关键．
21．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t s．
（1）PC＝ （8﹣2t） cm．（用t的代数式表示）
（2）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CA向点A运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（8﹣2t）；
（2）2cm/s或2.5cm/s．
【分析】（1）依题意得BP＝2t cm，再根据BC＝8cm可得PC的长；
（2）依题意得CQ＝vt cm，根据等腰三角形性质得∠B＝∠C，因此当△ABP与△PQC全等时，有以下两种情况：①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP与△PQC全等，此时有2t＝vt，8﹣2t＝5，由此解得t＝1.5，v＝2；②当BP＝CP，AB＝CQ时，△ABP与△PQC全等，此时由2t＝8﹣2t，5＝vt，由此解得：t＝2，v＝2.5，综上所述可得v的值．
【解答】解：（1）∵点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，
∴BP＝2t cm，
又∵BC＝8cm，
∴PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm，
故答案为：（8﹣2t）．
（2）依题意得：CQ＝vt cm，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴当△ABP与△PQC全等时，有以下两种情况：
①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP与△PQC全等，理由如下：
在△ABP和△PCQ中，
BP=CQ∠B=∠CAB=PC，
∴△ABP≌△PCQ（SAS），
∵AB＝AC＝5cm，PC＝（8﹣2t）cm，
∴2t＝vt，8﹣2t＝5，
解得：t＝1.5，v＝2；
②当BP＝CP，AB＝CQ时，△ABP与△PQC全等，理由如下：
在△ABP和△QCP中，
BP=CP∠B=∠CAB=CQ，
∴△ABP≌△QCP（SAS），
∵AB＝AC＝5cm，PC＝（8﹣2t）cm，
∴2t＝8﹣2t，5＝vt，
解得：t＝2，v＝2.5，
∴v的值为2cm/s或2.5cm/s时，△ABP与△PQC全等．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
22．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB边的中点，AF⊥CD于点H，交BC于点F，BE∥AC交AF的延长线于点E．求证：
（1）AD＝BE；
（2）BC⊥DE．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【答案】证明过程见解答．
【分析】（1）利用同角的余角相等，可得∠1＝∠3，结合已知条件易证明结论；
（2）根据全等三角形的性质可得AD＝BE，结合D是AB的中点可得BD＝BE，再根据AB＝AC及AC∥BE可得∠4＝∠5，进而证明结论．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，AF⊥CD，
∴∠3+∠2＝∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠1，
∵∠BAC＝90°，BE∥AC，
∴∠ABE+∠CAD＝180°，
∴∠CAD＝∠ABE＝90°，
∵AC＝BA，
∴△ADC≌△BEA（ASA），
∴AD＝BE；
（2）∵△ADC≌△BEA，
∴AD＝BE，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BE＝BD，
∵AB＝AC，
∴∠4＝∠ACB，
∵AC∥BE，
∴∠5＝∠ACB，
∴∠4＝∠5，
∵BE＝BD，
∴BC垂直平分DE，
∴BC⊥DE．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，余角的性质，灵活运用定理是解决问题的关键．
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
3．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
4．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
5．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
6．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
7．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
8．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
9．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
10．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
11．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
12．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
13．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
14．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
D
B
D
B
D
C
B