2025-2026学年上学期广州初中数学八年级开学模拟考3

这是一份2025-2026学年上学期广州初中数学八年级开学模拟考3，共33页。试卷主要包含了有下列说法等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a12÷a3＝a4B．（3a2）3＝9a6
C．2a•3a＝6a2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
2．（3分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）有下列说法：
①任何数的零次幂都等于1；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
④全等三角形的周长相等；
⑤面积相等的两个三角形全等．
其中正确的有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
4．（3分）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC于E，若S△ABD＝4，AB＝4，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（3分）下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为a米，b米，其面积之和比剩余面积（阴影部分）多1平方米．则主卧与客卧的周长差为（ ）
A．1米B．2米C．4米D．8米
7．（3分）等式（a﹣1）•（ ）＝a2﹣1中，括号内应填入（ ）
A．a+1B．1﹣aC．﹣1﹣aD．a﹣1
8．（3分）如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A．2B．1.5C．2D．3
9．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是（ ）
A．16cmB．29cmC．26cmD．19cm
10．（3分）若三角形底边长为a，底边上的高为h，则三角形的面积S=12ah．若h为定长，则（ ）
A．S，a是变量，12，h是常量
B．S，h，a是变量，12是常量
C．S，12是常量，a，h是变量
D．以上答案均不对
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x值为7时，输出的y值为 ；
（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为5时，输入的x值为 ；
（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为 ．
12．（3分）1的平方根是 ，3的平方根是 ，（﹣5）2的平方根是 ．
13．（3分）对于平面内任意一个四边形ABCD，已知AB∥CD，现从以下四个关系式：①AB＝CD，②AD＝BC，③AD∥BC，④∠A＝∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是 ．
14．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1+∠2＝112°，则么∠BA′C的度数为 ．
15．（3分）工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB∥CD，工人师傅量出∠BAE＝30°，∠AED＝70°，∠EDC＝40°，则该零件 （填“合格”或“不合格”）．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（9分）计算：
（1）[4512+（−57）]+[（﹣127）+（+6712）]；
（2）0.75+（−114）+（+0.125）+（−57）+（﹣418）；
（3）（﹣0.43）×243×（﹣100）×（−25）．
17．（8分）利用计算器解下列方程：
（1）103.5+47.5（25.3x﹣46.11）＝﹣21.99﹣12.8x；
（2）159.478﹣11.3（12x﹣25.14）＝17.2x﹣549.64．
18．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+4y）（3x+y）]÷x，其中x＝﹣2，y＝1．
19．（6分）某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y与x的关系式；
（2）这100台电脑的销售总利润能否为15760元？请说明理由．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于点D，交边AC于点E，若△ABC与△EBC的周长分别是40和24，求AB的长．
21．（8分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若∠EAF=12∠BAD，可求得EF、BE、FD之间的数量关系为 ．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，若∠EAF=12∠BAD，判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．
22．（10分）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°，连接AC、BD交于点P；
（1）求证：△AOC≌△BOD．
（2）求∠APB的度数．
（3）如图（2），△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝14cm，点D是射线AB上的一点，连接CD，在直线AB上方作以点C为直角顶点的等腰直角△CDE，连接BE，若BD＝4cm，求BE的值．
2025-2026学年上学期广州初中数学八年级开学模拟考3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a12÷a3＝a4B．（3a2）3＝9a6
C．2a•3a＝6a2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【考点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；完全平方公式；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据同底数幂相除，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、a12÷a3＝a9，故本选项错误，不符合题意；
B、（3a2）3＝27a6，故本选项错误，不符合题意；
C、2a•3a＝6a2，故本选项正确，符合题意；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂相除，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
2．（3分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
选项C的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）有下列说法：
①任何数的零次幂都等于1；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
④全等三角形的周长相等；
⑤面积相等的两个三角形全等．
其中正确的有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【考点】全等三角形的判定；零指数幂；同位角、内错角、同旁内角；平行线的判定与性质；全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】根据零指数幂的性质、平行线及全等三角形的性质可对各个说法进行依次判断，最后确定正确的个数．
【解答】解：①任何不为数零的零次幂都等于1，原说法错误；
②两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原说法正确；
④全等三角形的周长相等，原说法正确；
⑤面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误．
综上，③④说法正确；
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，难度不大．
4．（3分）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC于E，若S△ABD＝4，AB＝4，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由角平分线的性质可得DE＝DF，再根据三角形的面积公式求出DF，即可得出DE的长．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AB于F，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∵S△ABD=12AB⋅DF=12×4⋅DF=4，
∴DF＝2，
∴DE＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
5．（3分）下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，逐项进行观察判断即可．
【解答】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有C选项符合，
故选：C．
【点评】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的两个判断依据（一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线）是解题的关键．
6．（3分）如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为a米，b米，其面积之和比剩余面积（阴影部分）多1平方米．则主卧与客卧的周长差为（ ）
A．1米B．2米C．4米D．8米
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据面积之差，利用完全平方公式可得a﹣b的值，然后再利用正方形周长公式可得结果．
【解答】解：由题可得：a2+b2＝（a+b）2﹣a2﹣b2+1，
∴a2+b2＝2ab+1，
整理得（a﹣b）2＝1，
∴a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1（舍去），
∴主卧与客卧的周长差为：4a﹣4b＝4（a﹣b）＝4×1＝4（米），
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式，关键是完全平方公式的熟练运用．
7．（3分）等式（a﹣1）•（ ）＝a2﹣1中，括号内应填入（ ）
A．a+1B．1﹣aC．﹣1﹣aD．a﹣1
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平方差公式分解即可求得．
【解答】解：（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的特征是解题关键．
8．（3分）如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A．2B．1.5C．2D．3
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由题意和图示可知，将两个边长为1的正方形沿对角线剪开，将所得的四个三角形拼成一个大正方形，大正方形的边长恰好是小正方形的对角线的长，根据正方形的性质，利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可．
【解答】解：∵小正方形的边长为1，
∴其对角线的长为：12+12=2，
∴大正方形的边长为：2，
故选：C．
【点评】此题主要考查正方形性质和勾股定理，关键是通过勾股定理求得小正方形的对角线长度．
9．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是（ ）
A．16cmB．29cmC．26cmD．19cm
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】用线段垂直平分线的性质可得AC＝2AE＝6cm，DA＝DC，然后利用等量代换可得△ABD的周长＝AB+BC＝13cm，从而利用三角形的周长公式进行计算即可解答．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，
∴AC＝2AE＝6（cm），DA＝DC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝13cm，
∴AD+BD+DC＝13cm，
∴AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC
＝13+6
＝19（cm），
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．（3分）若三角形底边长为a，底边上的高为h，则三角形的面积S=12ah．若h为定长，则（ ）
A．S，a是变量，12，h是常量
B．S，h，a是变量，12是常量
C．S，12是常量，a，h是变量
D．以上答案均不对
【考点】三角形的面积；常量与变量．
【专题】函数及其图象；三角形；模型思想．
【答案】A
【分析】根据常量与变量的定义即可得到结论．
【解答】解：∵三角形的面积S=12aℎ，h为定长，即三角形的高不变，
∴三角形的面积与底边的变化有关系，底边越大，面积越大．
∴S和a是变量，12h是常量．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积，常量与变量，掌握常量与变量的定义在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x值为7时，输出的y值为 7 ；
（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为5时，输入的x值为 25 ；
（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为 0或1 ．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）7；
（2）25；
（3）0或1．
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为5，返回运算两次平方可得x的值；
（3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．
【解答】解：（1）当x＝7时，则y=7；
故答案为：7；
（2）当y=5时，（5）2＝5，52＝25，则x＝25；
故答案为：25；
（3）当x＝0，1时，始终输不出y值，
∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，
∴所有满足要求的x的值为0或1．
故答案为：0或1．
【点评】本题考查了算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．
12．（3分）1的平方根是 ±1 ，3的平方根是 ±3 ，（﹣5）2的平方根是 ±5 ．
【考点】平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】±1；±3；±5．
【分析】根据算术平方根以及平方根的定义即可作出判断．
【解答】解：1的平方根是±1，3的平方根是±3，（﹣5）2的平方根是±5．
故答案为：±1；±3；±5．
【点评】本题考查了平方根．解题的关键是掌握平方根的定义，注意正数平方根有两个，它们是互为相反数．
13．（3分）对于平面内任意一个四边形ABCD，已知AB∥CD，现从以下四个关系式：①AB＝CD，②AD＝BC，③AD∥BC，④∠A＝∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是 12 ．
【考点】概率公式；平行四边形的判定．
【专题】压轴题．
【答案】12．
【分析】本题是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．
【解答】解：从四个条件中选两个共有六种可能：①②、①③、①④、②③、②④、③④，
其中只有①②、②③和③④可以判断ABCD是平行四边形，所以其概率为36=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查的是概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
14．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1+∠2＝112°，则么∠BA′C的度数为 118° ．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】118°．
【分析】由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，推出∠1+∠2＝2∠A得到∠A＝56°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB=12（∠ABC+∠ACB）＝90°−12∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．
【解答】解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，
∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，
即∠1+∠2＝2∠A＝112°；
∴∠A＝56°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴∠A'BC+∠A'CB=12（∠ABC+∠ACB）
=12（180°﹣∠A）
＝90°−12∠A．
∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），
＝180°﹣（90°−12∠A）
＝90°+12∠A
＝90°+12×56°
＝118°．
故答案为：118°．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°是解题的关键．
15．（3分）工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB∥CD，工人师傅量出∠BAE＝30°，∠AED＝70°，∠EDC＝40°，则该零件 合格 （填“合格”或“不合格”）．
【考点】三角形的外角性质；平行线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】合格．
【分析】延长AE交CD于点F，根据三角形的外角的性质，得出∠AFD＝30°，进而得出∠BAE＝∠AFD，再根据内错角相等，两直线平行，得出AB∥CD，即可判断零件是否合格．
【解答】解：如图，延长AE交CD于点F，
∵∠AED＝∠EDC+∠AFD，
又∵∠AED＝70°，∠EDC＝40°，
∴∠AFD＝∠AED﹣∠EDC＝70°﹣40°＝30°，
又∵∠BAE＝30°，
∴∠BAE＝∠AFD，
∴AB∥CD，
∴该零件合格．
故答案为：合格．
【点评】本题考查了三角形的外角的性质、平行线的判定定理，解本题的关键在正确作出辅助线．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（9分）计算：
（1）[4512+（−57）]+[（﹣127）+（+6712）]；
（2）0.75+（−114）+（+0.125）+（−57）+（﹣418）；
（3）（﹣0.43）×243×（﹣100）×（−25）．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】（1）9；
（2）﹣557；
（3）−45．
【分析】（1）根据加法交换律和结合律计算；
（2）根据加法交换律和结合律计算；
（3）根据乘法的计算法则计算即可求解．
【解答】解：（1）[4512+（−57）]+[（﹣127）+（+6712）]
＝4512−57−127+6712
＝（4512+6712）+（−57−127）
＝11﹣2
＝9；
（2）0.75+（−114）+（+0.125）+（−57）+（﹣418）
＝（0.75−114）+（+0.125﹣418）−57
＝﹣1﹣4−57
＝﹣557；
（3）（﹣0.43）×243×（﹣100）×（−25）=−45．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
17．（8分）利用计算器解下列方程：
（1）103.5+47.5（25.3x﹣46.11）＝﹣21.99﹣12.8x；
（2）159.478﹣11.3（12x﹣25.14）＝17.2x﹣549.64．
【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）x＝1.7；（2）x＝6.5．
【分析】根据解一元一次方程的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1”分别解方程即可．
【解答】解：（1）去括号，得103.5+1201.75x﹣2190.225＝﹣21.99﹣12.8x，
移项、合并同类项，得1214.55x＝2064.735，
方程两边同除以1214.55，得x＝1.7；
（2）去括号，得159.478﹣135.6x+284.082＝17.2x﹣549.64，
移项、合并同类项，得﹣152.8x＝﹣993.2，
方程两边同除以﹣152.8，得x＝6.5．
【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
18．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+4y）（3x+y）]÷x，其中x＝﹣2，y＝1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】﹣2x﹣17y，﹣13．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案．
【解答】解：原式＝[x2﹣4xy+4y2﹣（3x2+xy+12xy+4y2）]÷x
＝（x2﹣4xy+4y2﹣3x2﹣xy﹣12xy﹣4y2）÷x
＝（﹣2x2﹣17xy）÷x
＝﹣2x﹣17y，
当x＝﹣2，y＝1时，
原式＝﹣2×（﹣2）﹣17×1
＝4﹣17
＝﹣13．
【点评】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
19．（6分）某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y与x的关系式；
（2）这100台电脑的销售总利润能否为15760元？请说明理由．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣20x+14000（25≤x≤100，且x为整数）；（2）所以这100台电脑的销售总利润不能为15760元；理由见解析．
【分析】（1）根据已知条件即可得出答案；
（2）将y＝15760代入函数表达式，即可解决问题．
【解答】解：（1）y＝120x+140（100﹣x）
＝﹣20x+14000，
∵100﹣x⩽3x，
∴x⩾25，
答：y与x的关系式为y＝﹣20x+14000（25≤x≤100，且x为整数）．
（2）不能，理由如下：
当总利润为15760元时，即y＝15760，
∴﹣20x+14000＝15760，
解得：x＝﹣88，
∵x取自然数，
∴x＝﹣88不符合题意，
所以这100台电脑的销售总利润不能为15760元．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，找到等量关系是解题的关键．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于点D，交边AC于点E，若△ABC与△EBC的周长分别是40和24，求AB的长．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】16．
【分析】由DE是AB的垂直平分线可知AE＝BE，再结合△BEC的周长为24，可求出AC+BC的值；再根据△ABC的周长为40，即AB+AC+BC＝40，由此可得结论．
【解答】解：∵边AB的垂直平分线交AC于点E，
∴AE＝BE．
∵△BEC的周长为24，△BEC的周长＝BE+EC+BC，AE＝BE，
∴AC+BC＝24．
∵△ABC的周长为40，△ABC的周长＝AB+BC+AC，
∴AB+AC+BC＝40．
∵AC+BC＝24，AB+AC+BC＝40，
∴AB＝16．
【点评】此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．
21．（8分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若∠EAF=12∠BAD，可求得EF、BE、FD之间的数量关系为 BE+DF＝EF ．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，若∠EAF=12∠BAD，判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】数形结合；图形的全等；推理能力．
【答案】（1）BE+DF＝EF；
（2）EF+DF＝BE，理由见解答过程．
【分析】（1）线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF＝EF．如图，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）结论：EF+DF＝BE．如图中，在BE上截取BM＝DF，连接AM，证明△ABM≌△ADF（SAS），推出AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，再证明△AEM≌△AEF（SAS），可得结论．
【解答】解：（1）线段EF、BE、FD之间的数量关系是：BE+DF＝EF．
如图，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC＝∠D＝90°，∠ABC+∠1＝180°，即：∠ABC+∠D＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM和△ADF中，
AB=AD∠1=∠DBM=DF，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠3＝∠2，
∵∠EAF=12∠BAD，∠EAF+∠2+∠4＝∠BAD，
∴∠2+∠4＝∠EAF，
∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，
在△MAE和△FAE中，
AM=AF∠MAE=∠FAEAE=AE，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EM，
∵EM＝BM+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD；
故答案为：BE+DF＝EF．
（2）结论：EF+DF＝BE．理由如下：
在BE上截取BM＝DF，连接AM，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADE＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ABM与△ADF中，
BM=DF∠ABM=∠ADFAB=AD，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，则∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，
∴∠BAD＝∠MAF，
∵∠EAF=12∠BAD，∠EAF+∠EAM＝∠MAF，
∴∠EAF＝∠EAM，
在△AEM与△AEF中，
AM=AF∠EAF=∠EAMAE=AE，
∴△AEM≌△AEF（SAS），
∴EM＝EF，
即BE﹣BM＝EF，
即BE﹣DF＝EF，
∴EF+DF＝BE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°，连接AC、BD交于点P；
（1）求证：△AOC≌△BOD．
（2）求∠APB的度数．
（3）如图（2），△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝14cm，点D是射线AB上的一点，连接CD，在直线AB上方作以点C为直角顶点的等腰直角△CDE，连接BE，若BD＝4cm，求BE的值．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意得出∠AOC＝∠BOD，即可证明△AOC≌△BOD（SAS）；
（2）根据题意可得△AOB是等边三角形，根据（1）的结论可得∠OAC＝∠OBD，进而根据三角形的内角和定理，即可求解；
（3）分情况讨论，当D在线段AB上时，当D在AB的延长线上时，证明△CAD≌△CBE（SAS），得出AD＝BE，结合图形，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOC＝∠BOD，
又∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
（2）解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA
＝180°﹣（∠BAO﹣∠CAO）﹣（∠ABO+∠OBD）
＝180°﹣60°+∠OAC﹣60°﹣∠OBD
＝60°；
（3）解：如图所示，当D在线段AB上时，
∵△CDE是以点C为直角顶点的等腰直角三角形
∴∠DCE＝90°，CD＝CE，
又∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAD＝90°﹣∠DCB＝∠BCE，
∴△CAD≌△CBE（SAS），
∴AD＝BE，
∵AB＝14，BD＝4，
∴BE＝AD＝AB﹣DB＝10cm，
如图所示，当D在AB的延长线上时，
同理可得，∴△CAD≌△CBE（SAS），
∴AD＝BE，
∵AB＝14，BD＝4，
∴BE＝AD＝AB+DB＝18cm，
综上所述，BE＝10cm或18cm．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的应用，正确进行分类讨论是解决此题的关键．
考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“−a”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
5．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
6．单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
7．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
8．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
9．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
10．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
11．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
12．常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
13．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
14．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
15．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
16．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
17．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
18．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
19．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
20．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
21．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
22．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
23．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
24．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
25．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
26．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
27．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
28．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
29．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
30．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
31．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
32．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
33．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
B
C
C
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D
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