2025-2026学年上学期广州初中数学九年级开学模拟考1

这是一份2025-2026学年上学期广州初中数学九年级开学模拟考1，共36页。
A．圆B．长方形
C．等腰梯形D．平行四边形
2．（3分）在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2＝2+3xB．2（x﹣1）+x＝2
C．x2+3x=2xD．x2﹣xy+4＝0
3．（3分）在下列由线段a，b，c组成的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4B．a＝3，b＝6，c＝8
C．a＝5，b＝8，c＝10D．a＝5，b＝12，c＝13
4．（3分）下面四个点中有一个点和其它三个点不在同一个正比例函数图象上，这个点是（ ）
A．（0，0）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）
5．（3分）方程x2﹣5x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝5
C．x1＝0，x2＝﹣5D．x1＝0，x2＝5
6．（3分）某区举办了创新技能操作赛，A，B两个学校各有五名选手，在首轮比赛中选手得分汇表如下，有关数据分析完全正确的是（ ）
A．sA2＜sB2，xA=xB
B．sA2=sB2，xA＞xB
C．sA2＞sB2，xA=xB
D．sA2=sB2，xA＜xB
7．（3分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为3、5、4，则正方形D的面积为（ ）
A．15B．12C．27D．45
8．（3分）如果关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等的实数根，且a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．任意三角形
9．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的高是（ ）
A．2.5B．5C．2.4D．4.8
10．（3分）某市出租车的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客乘坐出租车行驶的路程为x（x≥3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的函数表达式为（ ）
A．y＝14+2.4x（x≥3）B．y＝14x+2.4（x≥3）
C．y＝6.8﹣2.4x（x≥3）D．y＝2.4x+6.8（x≥3）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）a在实数范围内有意义，则a的取值范围是 ．
12．（3分）已知关于x的方程x2+bx+a＝0，有一个根是﹣a（a≠0），求a﹣b的值 ．
13．（3分）（1）若x2﹣ax+b＝（x﹣3）2，则a+b＝ ；
（2）若x2+（m+4）x+36是完全平方式，则m＝ ．
14．（3分）北京2022年冬奥会开启“坐着高铁看冬奥”新模式．北京赛区到延庆赛区乘高铁与乘班车通行路程均约60公里，已知高铁的平均速度是班车平均速度的3倍，乘高铁用时比乘班车少40分钟，则从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为 分钟．
15．（3分）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣18＝0的两个根，则α2+5α+2β＝ ．
三．解答题（共3小题，满分24分）
16．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A在y轴上，BC边与x轴重合，过点C作AB的垂线分别交AB和y轴于点D、H，AB＝HC，线段OB，OC（OB＜OC）的长是方程x2﹣6x+8＝0的根．
（1）求△ABC的面积；
（2）求直线CD的解析式．
17．（7分）已知关于x的方程x2+kx+6＝0有两个实数根x1，x2，其中x1＝2，求另一个根x2和k的值．
18．（7分）如图是一张矩形纸片ABCD，AC与BD相交于点O，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连结DF，EF．若OF＝AB，∠DAF＝α．
（1）请用α表示∠ODF 的大小；
（2）请求出a的值．
四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
19．（9分）综合与实践
【问题情境】生物课上，老师带领同学们开展“利用花瓣的特征对花卉进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集玫瑰、向日葵的花瓣各10片，通过测量得到这些花瓣的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
【实践探究】分析数据如下：
【问题解决】
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）通过数据，同学们总结出了一些结论：
①A同学说：“从花瓣的长宽比的方差来看，玫瑰花瓣的形状差别比向日葵 ”；（填“小”或“大”）
②B同学说：“从花瓣的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现向日葵花瓣的长约为宽的 倍”；
（3）现有一片长4.6cm，宽3cm的花瓣，请判断这片花瓣更可能来自于玫瑰、向日葵中的哪种花？并给出你的理由．
20．（9分）（1）以下是圆圆解不等式组2(1+x)＞−1①−(1−x)＞−2②的解答过程．
解：由①，得2+x＞﹣1，所以x＞﹣3，
由②，得1﹣x＞2，
所以﹣x＞1，所以x＞﹣1．
所以原不等式组的解集是x＞﹣1．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m＝0．
①求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
②若方程有两个实数根x1，x2，且x12+x22=5，求m的值．
21．（9分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．
（1）直接写出每分钟进水 升，每分钟出水 升．
（2）求y关于x的函数解析式．
五．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）
22．（12分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC所在的直线上有两点M，N满足AN＝CM，连接BM，BN，DM，DN．
（1）试判断四边形BMDN的形状，并说明理由．
（2）若AD=2，∠DNM＝30°，求四边形BMDN的面积．
23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段a，给出如下定义：直线l1：y＝2x+b1经过线段a的一个端点，直线l2：y＝﹣3x+b2经过线段a的另一个端点．若直线l1与l2交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”．
（1）如图，线段a的两个端点分别为（0，﹣1）和（0，4），则在点P1（1，1），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，线段a的“双线关联点”是 ；
（2）A（m，y1），B（m+4，y2）是直线y=34x上的两个动点．
①点P是线段AB的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标；
②正方形CDEF的四个顶点的坐标分别为C（t，t），D（t，﹣t），E（3t，﹣t），F（3t，t），其中t＞0．当点A，B在直线上运动时，不断产生线段AB的“双线关联点”，若所有线段AB的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形CDEF上，直接写出t的取值范围．
2025-2026学年上学期广州初中数学九年级开学模拟考1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下面各图形不是轴对称图形的是（ ）
A．圆B．长方形
C．等腰梯形D．平行四边形
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：圆、长方形和等腰三角形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
平行四边形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2＝2+3xB．2（x﹣1）+x＝2
C．x2+3x=2xD．x2﹣xy+4＝0
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；符号意识．
【答案】A
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、由原方程，得x2﹣3x﹣2＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
B、由原方程，得3x﹣4＝0，未知数x的最高次数是1；故本选项不符合题意；
C、该方程是分式方程，故本选项不符合题意；
D、未知数x的最高次数是2，含两个未知数；故本选项错不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．（3分）在下列由线段a，b，c组成的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4B．a＝3，b＝6，c＝8
C．a＝5，b＝8，c＝10D．a＝5，b＝12，c＝13
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一计算即可．
【解答】解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，不符合题意；
B、∵32+62≠82，∴不能构成直角三角形，不符合题意；
C、∵52+82≠102，∴不能构成直角三角形，不符合题意；
D、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
4．（3分）下面四个点中有一个点和其它三个点不在同一个正比例函数图象上，这个点是（ ）
A．（0，0）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】设正比例函数解析式为y＝kx，则：k=yx，然后再利用点的坐标进行判断即可．
【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx，
则：k=yx，
A、∵A（0，0），
∴k不受取值影响，
B、∵B（﹣1，2），∴k＝﹣2，
C、∵C（1，﹣2），∴k＝﹣2，
D、∵D（1，2），∴k＝2，
故ABC三点横纵坐标的商相等，因此这三点在同一正比例函数图象上，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握正比例函数图象上点的横纵坐标的商等于k．
5．（3分）方程x2﹣5x＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝5
C．x1＝0，x2＝﹣5D．x1＝0，x2＝5
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】D
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程分解得：x（x﹣5）＝0，
可得x＝0或x﹣5＝0，
解得：x1＝0，x2＝5，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6．（3分）某区举办了创新技能操作赛，A，B两个学校各有五名选手，在首轮比赛中选手得分汇表如下，有关数据分析完全正确的是（ ）
A．sA2＜sB2，xA=xB
B．sA2=sB2，xA＞xB
C．sA2＞sB2，xA=xB
D．sA2=sB2，xA＜xB
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平均数和方差的定义计算，然后逐一判断即可．
【解答】解：A学校的平均数：（70+80+70+70+90）÷5＝76（分），
方差：15×[3×（70﹣76）2+（80﹣76）2+（90﹣76）2]＝64，
B学校的平均数：（75+85+75+75+95）÷5＝81（分），
方差：15×[3×（75﹣81）2+（85﹣81）2+（95﹣81）2]＝64，
∴SA2=SB2，xA＜xB．
故选：D．
【点评】本题考查了平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的计算公式．
7．（3分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为3、5、4，则正方形D的面积为（ ）
A．15B．12C．27D．45
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【答案】B
【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程3+5＝x﹣4，求出即可．
【解答】解：设正方形D的面积为x，
∵正方形A、B、C的面积依次为3、5、4，
∴根据图形得：3+5＝x﹣4，
解得：x＝12，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据题意得出方程，题目比较典型，难度适中．
8．（3分）如果关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等的实数根，且a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．任意三角形
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】C
【分析】由方程有两个相等的实数根以及该方程为一元二次方程，结合根的判别式即可得出关于a、b、c的方程组，解方程组即可得出a2＝b2+c2，由此即可得出结论．
【解答】解：原方程可化为（c﹣a）x2+2bx+（a+c）＝0，
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴Δ=0c−a≠0，即(2b)2−4(c−a)(a+c)=0a≠c，
解得：c2＝a2+b2且a≠c．
又∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴△ABC为直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及根的判别式，解题的关键是求出c2＝a2+b2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．
9．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的高是（ ）
A．2.5B．5C．2.4D．4.8
【考点】菱形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】由菱形的性质和勾股定理求出边长＝5，再由菱形面积公式求解即可．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，S菱形ABCD=12AC•BD=12×8×6＝24，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=OA2+OB2=42+32=5，
设菱形的高为h，
则5h＝24，
解得：h＝4.8．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
10．（3分）某市出租车的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客乘坐出租车行驶的路程为x（x≥3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的函数表达式为（ ）
A．y＝14+2.4x（x≥3）B．y＝14x+2.4（x≥3）
C．y＝6.8﹣2.4x（x≥3）D．y＝2.4x+6.8（x≥3）
【考点】一次函数的应用．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】D
【分析】当x≥3时，根据“乘车费＝起步价+超过3公里部分的收费”写出y与x之间的函数表即可．
【解答】解：根据题意，得y＝14+2.4（x﹣3）＝2.4x+6.8，
∴y与x之间的函数表达式为y＝2.4x+6.8（x≥3）．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，弄清各量之间的数量关系是本题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）a在实数范围内有意义，则a的取值范围是 a≥0 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】a≥0．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
a≥0，
故答案为：a≥0．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
12．（3分）已知关于x的方程x2+bx+a＝0，有一个根是﹣a（a≠0），求a﹣b的值 ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】把x＝﹣a代入方程，再两边都除以a，即可得出答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2+bx+a＝0有一个根是﹣a（a≠0），
∴代入得：a2﹣ab+a＝0，
两边城都除以a得：a﹣b+1＝0，
即a﹣b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程的应用，题目比较典型，难度不大．
13．（3分）（1）若x2﹣ax+b＝（x﹣3）2，则a+b＝ 15 ；
（2）若x2+（m+4）x+36是完全平方式，则m＝ ﹣16或8 ．
【考点】完全平方式；因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）15；（2）﹣16或8．
【分析】（1）根据x2﹣ax+b＝（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，即可得出a和b，进而可求出a+b的值；
（2）根据完全平方式的特征，即可得（m+4）x＝±2×6×x，进而可求出m的值．
【解答】解：（1）∵x2﹣ax+b＝（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，
∴a＝6，b＝9，
∴a+b＝15，
故答案为：15．
（2）若x2+（m+4）x+36是完全平方式，
则（m+4）x＝±2×6×x，
即m+4＝±12，
解得m＝﹣16或8，
故答案为：﹣16或8．
【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
14．（3分）北京2022年冬奥会开启“坐着高铁看冬奥”新模式．北京赛区到延庆赛区乘高铁与乘班车通行路程均约60公里，已知高铁的平均速度是班车平均速度的3倍，乘高铁用时比乘班车少40分钟，则从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为 20 分钟．
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】20．
【分析】设从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为x分钟，由题意：北京赛区到延庆赛区乘高铁与乘班车通行路程均约60公里，高铁的平均速度是班车平均速度的3倍，乘高铁用时比乘班车少40分钟，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为x分钟，
由题意得：60x=60x+40×3，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意；
即从北京赛区到延庆赛区乘高铁所需时间约为20分钟，
故答案为：20．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
15．（3分）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣18＝0的两个根，则α2+5α+2β＝ 12 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】12．
【分析】由α，β是一元二次方程x2+3x﹣18＝0的两个根，得出α+β＝﹣3，α2+3α﹣18＝0，再把a2+5α+2β变形为α2+3α+2（α+β），即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：α+β＝﹣3，α2+3α﹣18＝0，
∴α2+3α＝18，
∴α2+5α+2β＝α2+3α+2（α+β）＝18+2×（﹣3）＝12，
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1x2=ca．
三．解答题（共3小题，满分24分）
16．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A在y轴上，BC边与x轴重合，过点C作AB的垂线分别交AB和y轴于点D、H，AB＝HC，线段OB，OC（OB＜OC）的长是方程x2﹣6x+8＝0的根．
（1）求△ABC的面积；
（2）求直线CD的解析式．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）12；
（2）y=−12x+2．
【分析】（1）先解一元二次方程求出OB＝2，OC＝4，则BC＝6，再证明△AOB≌△COH，得到OA＝OC＝4，则S△ABC=12OA⋅BC=12；
（2）由全等三角形的性质得到OH＝OB＝2，即H（0，2），再求出C（4，0），即可利用待定系数法求出直线CD的解析式为y=−12x+2．
【解答】解：（1）∵x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得x＝2或x＝4，
∵线段OB，OC（OB＜OC）的长是方程x2﹣6x+8＝0的根，
∴OB＝2，OC＝4，
∴BC＝6，
∵AB⊥CD，
∴∠OBA+∠OCH＝90°＝∠OBA+∠OAB，
∴∠OCH＝∠OAB，
又∵∠AOB＝∠COH＝90°，AB＝CH，
∴△AOB≌△COH（AAS），
∴OA＝OC＝4，
∴S△ABC=12OA⋅BC=12；
（2）∵△AOB≌△COH，
∴OH＝OB＝2，
∴H（0，2），
∵OC＝4，
∴C（4，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
∴4k+b=0b=2，
∴k=−12b=2，
∴直线CD的解析式为y=−12x+2．
【点评】本题主要考查了求一次函数解析式，解一元二次方程，全等三角形的性质与判定，求三角形面积，灵活运用所学知识是解题的关键．
17．（7分）已知关于x的方程x2+kx+6＝0有两个实数根x1，x2，其中x1＝2，求另一个根x2和k的值．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】k的值为﹣5，另一个根x2＝3．
【分析】将x1＝2代入原方程，可列出关于k的一元一次方程，解之可得出k的值，再结合方程的两根之和等于−ba，即可求出方程的另一个根．
【解答】解：将x1＝2代入原方程得：22+2k+6＝0，
解得：k＝﹣5，
∴原方程为x2﹣5x+6＝0，
∴x2=−−51−2＝5﹣2＝3．
答：k的值为﹣5，另一个根x2＝3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
18．（7分）如图是一张矩形纸片ABCD，AC与BD相交于点O，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连结DF，EF．若OF＝AB，∠DAF＝α．
（1）请用α表示∠ODF 的大小；
（2）请求出a的值．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）90°﹣3α；（2）α＝18°．
【分析】（1）证明出OA＝OD，表示出∠DOC，利用折叠表示出∠DFC，再由外角性质，求出∠ODF；
（2）证明出OF＝DF，利用等腰性质得出∠FDO＝∠FOD，即可求出α．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝α，
∴∠DOC＝2α，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣α，
由折叠得，∠DFC＝∠ACD＝90°﹣α，
∴∠ODF＝∠DFC﹣∠DOC＝90°﹣α﹣2α＝90°﹣3α；
（2）∵OF＝AB，AB＝CD，
∴OF＝CD，
由折叠得，CD＝FD，
∴OF＝DF，
∴∠FDO＝∠FOD，即2α＝90°﹣3α，
∴α＝18°．
【点评】本题考查矩形性质，折叠性质及外角性质和等腰三角形性质是本题的解题关键．
四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
19．（9分）综合与实践
【问题情境】生物课上，老师带领同学们开展“利用花瓣的特征对花卉进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集玫瑰、向日葵的花瓣各10片，通过测量得到这些花瓣的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
【实践探究】分析数据如下：
【问题解决】
（1）填空：m＝ 4.45 ，n＝ 1.5 ；
（2）通过数据，同学们总结出了一些结论：
①A同学说：“从花瓣的长宽比的方差来看，玫瑰花瓣的形状差别比向日葵 大 ”；（填“小”或“大”）
②B同学说：“从花瓣的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现向日葵花瓣的长约为宽的 1.5 倍”；
（3）现有一片长4.6cm，宽3cm的花瓣，请判断这片花瓣更可能来自于玫瑰、向日葵中的哪种花？并给出你的理由．
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】（1）4.45，1.5；
（2）①大；②1.5；
（3）这片花瓣更可能来自于向日葵中的花，理由见解析．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据题目给出的数据判断即可；
（3）根据花瓣的长宽比判断即可．
【解答】解：（1）把10片玫瑰花瓣的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为4.4、4.5，
故中位数m=4.4+4.52=4.45，
10片向日葵花瓣的长宽比中出现次数最多的是1.5，
故众数n＝1.5；
故答案为：4.45，1.5；
（2）①∵0.0436＞0.0289，
∴从花瓣的长宽比的方差来看，玫瑰花瓣的形状差别比向日葵大；
②从花瓣的长宽比的平均数、中位数和众数来看，发现向日葵花瓣的长约为宽的1.5倍；
故答案为：①大；②1.5；
（3）这片花瓣更可能来自于向日葵中的花，
理由如下：∵长宽比为4.63≈1.5，
∴这片花瓣更可能来自于向日葵中的花．
【点评】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
20．（9分）（1）以下是圆圆解不等式组2(1+x)＞−1①−(1−x)＞−2②的解答过程．
解：由①，得2+x＞﹣1，所以x＞﹣3，
由②，得1﹣x＞2，
所以﹣x＞1，所以x＞﹣1．
所以原不等式组的解集是x＞﹣1．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m＝0．
①求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
②若方程有两个实数根x1，x2，且x12+x22=5，求m的值．
【考点】根与系数的关系；解一元一次不等式组；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x＞﹣1；
（2）①证明见解析；
②m＝﹣2．
【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）①证明Δ＞0即可；
②根据x1+x2＝m+3，x1x2＝m，代入x12+x22=5，即可得答案．
【解答】（1）圆圆的解答过程有错误，
解：由①，得2+2x＞﹣1，所以x＞−32，
由②，得﹣1+x＞﹣2，
所以x＞﹣1．
所以原不等式组的解集是x＞﹣1；
（2）①证明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4m
＝m2+6m+9﹣4m
＝m2+2m+9
＝（m+1）2+8，
∵（m+1）2≥0，
∴（m+1）2+8＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
②解：∵x1+x2＝m+3，x1x2＝m，
x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2＝（m+3）2﹣2m＝5，
∴（m+2）2＝0，
∴m＝﹣2．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21．（9分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．
（1）直接写出每分钟进水 5 升，每分钟出水 154 升．
（2）求y关于x的函数解析式．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）5，154；
（2）y＝5x（0≤x≤4）；y=54x+15 （4≤x≤12）．
【分析】（1）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出，出水量根据后8分钟的水量变化求解；
（2）用待定系数法求对应的函数关系式即可．
【解答】解：（1）根据图象，每分钟进水20÷4＝5升，
设每分钟出水m升，则 5×8﹣8m＝30﹣20，
解得：m=154．
所以每分钟进水、出水各是5升、154升，
故答案为：5，154；
（2）设当0≤x≤4时的直线方程为y＝kx，
∵图象过（4，20），
∴k＝5，
∴y＝5x（0≤x≤4）；
设当4≤x≤12时的直线方程为：y＝kx+b（k≠0）．
∵图象过（4，20）、（12，30），
∴20=4k+b30=12k+b，
解得：k=54b=15，
∴y=54x+15 （4≤x≤12）．
【点评】此题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后根据题意利用待定系数法确定函数的解析式，接着利用函数的性质即可解决问题．
五．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）
22．（12分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC所在的直线上有两点M，N满足AN＝CM，连接BM，BN，DM，DN．
（1）试判断四边形BMDN的形状，并说明理由．
（2）若AD=2，∠DNM＝30°，求四边形BMDN的面积．
【考点】正方形的性质；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）四边形BMDN是菱形，理由见解答；
（2）23．
【分析】（1）连接BD，交AC于O，根据四边形ABCD是正方形，得出OA＝OC，OD＝OB，AC⊥BD，又因为AN＝CM，则ON＝OM，所以四边形BMDN是平行四边形，
因为AC⊥MN，则四边形BMDN是菱形．
（2）在Rt△AOD中，AO2+OD2＝AD2，求出OD＝1，则BD＝2OD＝2，在Rt△AOD中，∠DNM＝30°，则DN＝2OD＝2，所以ON=DN2−OD2=22−12=3，
得出MN=2ON=23，则面积渴求．
【解答】解：（1）四边形BMDN是菱形，
理由如下：连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，OD＝OB，AC⊥BD，
∵AN＝CM，
∴ON＝OM，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵AC⊥MN，
∴四边形BMDN是菱形．
（2）在Rt△AOD中，AO2+OD2＝AD2，
∵AO＝OD，AD=2，
∴OD＝1，
∴BD＝2OD＝2，
在Rt△AOD中，∠DNM＝30°，
∴DN＝2OD＝2，
∴ON=DN2−OD2=22−12=3，
∴MN=2ON=23，
∴四边形BMDN的面积=12BD⋅MN=23．
【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段a，给出如下定义：直线l1：y＝2x+b1经过线段a的一个端点，直线l2：y＝﹣3x+b2经过线段a的另一个端点．若直线l1与l2交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”．
（1）如图，线段a的两个端点分别为（0，﹣1）和（0，4），则在点P1（1，1），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，线段a的“双线关联点”是 P1，P3 ；
（2）A（m，y1），B（m+4，y2）是直线y=34x上的两个动点．
①点P是线段AB的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标；
②正方形CDEF的四个顶点的坐标分别为C（t，t），D（t，﹣t），E（3t，﹣t），F（3t，t），其中t＞0．当点A，B在直线上运动时，不断产生线段AB的“双线关联点”，若所有线段AB的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形CDEF上，直接写出t的取值范围．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；一次函数及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）P1，P3；
（2）①点P的横坐标为13或313；
②1513＜t＜15．
【分析】（1）分类讨论：若直线l1经过点（0，﹣1），直线l经过点（0，4），求得直线l1：y＝2x﹣1，直线l2；y＝﹣3x+4，联立得y=2x−1y=−3x+4，解得x=1y=1，故点P1是线段a的“双线关联点”；若直线l1经过点（0，4），直线l2经过点（0，﹣1），同上可求点P3是线段a的“双线关联点”；
（2）①当直线l1经过A(m，34m)，直线l2经过点B(m+4，34m+3)时，求得l1，直线l2，联立方程求解；当直线l1经过点B(m+4，34m+3)，直线l2经过点A(m，34m)时，求得l1，直线l2，联立方程，求解即可解答；
②设线段AB的“双线关联点”为M，N，则M(m+3，34m+6)，N(m+1，34m−3)，
【解答】解：（1）若直线l1经过点（0，﹣1），直线l2经过点（0，4），
则代入得b1＝﹣1，b2＝4，
∴直线l1：y＝2x﹣1，直线l2：y＝﹣3x+4，
联立得y=2x−1y=−3x+4，
解得x=1y=1，
∴点P1是线段a的“双线关联点”；
若直线l1经过点（0，4），直线l2经过点（0，﹣1），
则同理可求直线l1：y＝2x+4，直线l2：y＝﹣3x﹣1，
联立得y=2x+4y=−3x−1，
解得x=−1y=2，
∴点P3是线段a的“双线关联点”，
故答案为：P1，P3；
（2）①将点A、B代入y=34x，
得y1=34m，y2=34m+3，
∴A(m，34m)，B(m+4，34m+3)，
当直线l1经过点A(m，34m)，直线l2经过B(m+4，34m+3)时，
则代入得2m+b1=34m，−3(m+4)+b2=34m+3，
解得b1=−54m，b2=154m+15，
∴直线l1：y=2x−54m，直线l2：y=−3x+154m+15，
联立得y=2x−54my=−3x+154m+15，
解得x=m+3y=34m+6，
∴34m+6=4，
解得m=−83，
∴x=m+3=13；
当直线l1经过点B(m+4，34m+3)，直线l2经过点A(m，34m)时，
同上可求l1：y=2x−54m−5，直线l2：y=−3x+154m，
联立得y=2x−54m−5y=−3x+154m，
解得x=m+1y=34m−3，
∴34m−3=4，
解得m=283，
∴x=m+1=313；
综上所述，点P的横坐标为13或313；
②设线段AB的“双线关联点”为M，N，则M(m+3，34m+6)，N(m+1，34m−3)，
由①得x=m+3y=34m+6，
消去m可得y=34x+154，
∴点M在直线p：y=34x+154上运动，
同理可求点N在直线l：y=34x−154上运动，
∵线段AB的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形CDEF上，
∴正方形CDEF与直线y=34x+154和直线y=34x−154恰有2个交点，
当t＞0且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图，
随着t增大，当点E落在直线l上，此时1个交点，不符合题意，如图，
则94t−154=−t，
解得t=1513；
当t继续增大，此时t＞1513，则直线l与正方形有2个交点，符合题意，如图，
当t继续增大，直至点C（t，t）落在直线P，
则34t+154=t，
解得t＝15，此时有3个交点，不符合题意，如图，
∴满足2个交点，则1513＜t＜15；
当t＞15时，此时有4个交点，不符合题意，如图，
综上，1513＜t＜15．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用，主要考查新定义，一次函数与图形的运动，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点，熟练掌握知识点，正确理解新定义，运用数形结合的思想是解决本题的关键．
考点卡片
1．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
2．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
3．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
4．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
5．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
6．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=−（x1+x2），ca=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
9．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
10．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
11．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
12．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
13．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
14．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
15．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
16．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
17．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
18．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
19．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
20．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
21．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
22．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
23．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
24．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
25．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2=1n[（x1−x）2+（x2−x）2+…+（xn−x）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
学校
1号
2号
3号
4号
5号
A学校
70分
80分
70分
70分
90分
B学校
75分
85分
75分
75分
95分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
玫瑰花瓣的长宽比
4.5
4.3
4.0
4.4
4.6
4.1
4.5
4.6
4.2
4.6
向日葵花瓣的长宽比
1.5
1.6
1.2
1.5
1.7
13
1.5
1.4
1.8
1.6
平均数
中位数
众数
方差
玫瑰花瓣的长宽比
4.38
m
4.6
0.0436
向日葵花瓣的长宽比
1.51
1.5
n
0.0289
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
D
D
D
B
C
D
D
学校
1号
2号
3号
4号
5号
A学校
70分
80分
70分
70分
90分
B学校
75分
85分
75分
75分
95分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
玫瑰花瓣的长宽比
4.5
4.3
4.0
4.4
4.6
4.1
4.5
4.6
4.2
4.6
向日葵花瓣的长宽比
1.5
1.6
1.2
1.5
1.7
13
1.5
1.4
1.8
1.6
平均数
中位数
众数
方差
玫瑰花瓣的长宽比
4.38
m
4.6
0.0436
向日葵花瓣的长宽比
1.51
1.5
n
0.0289