2025-2026学年上学期广州初中数学九年级开学模拟考2

这是一份2025-2026学年上学期广州初中数学九年级开学模拟考2，共39页。
A．
B．
C．
D．
2．（3分）如果a＞b，下列不等式中，一定不成立的是（ ）
A．a+2023＞b+2023B．﹣2023a＜﹣2023b
C．a2023＞b2023D．2023﹣a＞2023﹣b
3．（3分）如果分式5a−ba+b的值是零，则下列正确的是（ ）
A．a≠﹣bB．a≠0
C．b＝5aD．b＝5a，且a≠0
4．（3分）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（﹣2，5），则AC的长是（ ）
A．29B．33C．26D．5
5．（3分）一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
6．（3分）深圳宝安国际机场是深圳对外交往的重要平台，旅客从市民中心前往宝安机场有两条线路，路线一：走深南大道经宝安大道，全程是30千米，但交通比较拥堵；路线二：走深南大道转京港澳高速，全程是36千米，平均速度是路线一的43倍，因此到宝安机场的时间比走路线一少用5分钟．设走路线一到达宝安机场需要x分钟，则下列方程正确的是（ ）
A．43×30x=36x+5B．30x=43×36x+5
C．30x=43×36x−5D．43×30x=36x−5
7．（3分）如图所示，在菱形ABCD中，DE⊥AB，csA=35，AD＝10cm，则BE的长度是（ ）
A．1cmB．2cmC．4cmD．6cm
8．（3分）如图，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若AB＝5，DF＝2，则BE的长为（ ）
A．157B．53C．115D．2
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）若x﹣y＝2，xy=32，则2x2y﹣2xy2的值为 ．
10．（3分）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为 ．
11．（3分）如果一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是 ．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠DAE＝60°，DE为∠ADC的角平分线，点F为DE上一动点，点G为CF的中点，连接AG，则AG的最小值是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，CD为中线，BE⊥CD交AC于点E，若∠A＝45°，CD＝BC，BD=210，则线段EC的长为 ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（8分）解方程：
（1）x2﹣3x+2＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣1）2．
15．（6分）如图，在9×5的正方形网格中，点A，B在格点上．请你仅用一把无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图1中，作一个以AB为边的平行四边形，使平行四边形的顶点都在格点上；
（2）在图2中，作一个以AB为边的菱形，使菱形的顶点都在格点上．
16．（7分）某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元．
（1）降价后，每件玩具的利润为 元，平均每天的销售量为 件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元？
17．（8分）如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，延长CB至点F，使得BF＝CE，连接AF、DF．
（1）求证：四边形ADEF是矩形；
（2）AB＝3，DF＝4，DF⊥CD，求AF的长．
18．（8分）
19．（12分）如图，平面直角坐标系A（8，0）、C（0，6）两点分别在x、y轴上，P为射线AO上的一动点，点O关于直线PC的对称点为D．
（1）当△OPC的面积为15时，求点P坐标；
（2）当△APC为等腰三角形时，求点P坐标；
（3）若点O关于直线PC的对称点为点D，当△APD为直角三角形时，请求出点P坐标．
20．（12分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AC边上的动点．
（1）如图1，过点D作DG∥AB交BC于点G，以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E，在EB上截取EF＝ED，连接FG．证明：四边形DEFG是菱形；
（2）在（1）条件下，求出能作出菱形时所对应CD长度的取值范围；
（3）如图2，连接BD，作DQ⊥BD交AB于点Q，求AQ的最大值．
2025-2026学年上学期广州初中数学九年级开学模拟考2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．（3分）如果a＞b，下列不等式中，一定不成立的是（ ）
A．a+2023＞b+2023B．﹣2023a＜﹣2023b
C．a2023＞b2023D．2023﹣a＞2023﹣b
【考点】不等式的性质．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】D
【分析】对于四个选项，分别根据不等式的基本性质对a＞b变形，能得到就是判定正确，得不到就是判定错误．
【解答】解：当a＞b时，
根据不等式的基本性质1，a+2023＞b+2023，A的判定正确，故A不符合题意，
根据不等式的基本性质3，﹣2023a＜﹣2023b，B的判定正确，故B不符合题意，
根据不等式的基本性质2，a2023＞b2023，C的判定正确，故C不符合题意，
首先根据不等式的基本性质3，可得，﹣a＜﹣b，再根据不等式的基本性质1，可得2023﹣a＜2023﹣b，D的判定不正确，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查不等式的基本性质，根据不等式基本性质对a＞b正确变形式解题的关键．
3．（3分）如果分式5a−ba+b的值是零，则下列正确的是（ ）
A．a≠﹣bB．a≠0
C．b＝5aD．b＝5a，且a≠0
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】D
【分析】要使分式的值为0，分式必须分子的值为0并且分母的值不为0．
【解答】解：∵分式5a−ba+b的值为零，
∴5a﹣b＝0，且a+b≠0，
∴b＝5a，且a≠0，
故选：D．
【点评】本题考查了分式值为0的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
4．（3分）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（﹣2，5），则AC的长是（ ）
A．29B．33C．26D．5
【考点】矩形的性质；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】过B作BH⊥y轴于H，由点B的坐标，得到BH＝2，OH＝5，由勾股定理求出OB=29，由矩形的性质推出AC＝OB=29．
【解答】解：过B作BH⊥y轴于H，
∵点B的坐标是（﹣2，5），
∴BH＝2，OH＝5，
∴OB=BH2+OH2=29，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC＝OB=29．
故选：A．
【点评】本题考查矩形的性质，坐标与图形性质，关键是由勾股定理求出OB的长，由矩形的性质推出AC＝OB．
5．（3分）一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣3＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣3）＝1+12＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立．
6．（3分）深圳宝安国际机场是深圳对外交往的重要平台，旅客从市民中心前往宝安机场有两条线路，路线一：走深南大道经宝安大道，全程是30千米，但交通比较拥堵；路线二：走深南大道转京港澳高速，全程是36千米，平均速度是路线一的43倍，因此到宝安机场的时间比走路线一少用5分钟．设走路线一到达宝安机场需要x分钟，则下列方程正确的是（ ）
A．43×30x=36x+5B．30x=43×36x+5
C．30x=43×36x−5D．43×30x=36x−5
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】设走路线一到达宝安机场需要x分钟，根据“走深南大道转京港澳高速平均速度是路线一的43倍”列出分式方程即可．
【解答】解：设走路线一到达宝安机场需要x分钟，则走路线二到宝安机场需要（x﹣5）分钟，
根据题意，得43×30x=36x−5．
故选：D．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确理解题意确定等量关系列得方程是解题的关键．
7．（3分）如图所示，在菱形ABCD中，DE⊥AB，csA=35，AD＝10cm，则BE的长度是（ ）
A．1cmB．2cmC．4cmD．6cm
【考点】菱形的性质；解直角三角形．
【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由菱形的性质得AB＝AD＝10cm，再由锐角三角函数定义求出AE＝6cm，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝10cm，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴csA=35=AEAD，
∴AE=35AD=35×10＝6（cm），
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数定义是解题的关键．
8．（3分）如图，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若AB＝5，DF＝2，则BE的长为（ ）
A．157B．53C．115D．2
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】三角形；图形的全等；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】如图，首先将△ADF旋转到△ABG，然后利用三角形全等的性质得到DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，结合题中条件可以得出△EAG≌△EAF，再根据DF＝2，AB＝5和勾股定理，可以求出BE的长即可求解．
【解答】解：如图所示，将△ADF绕A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴∠ADF＝∠ABG＝∠ABE＝90°，
∴∠ABG+∠ABE＝180°，
∴G、B、E三点共线，
∴DF＝BG∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
AG=AF∠EAG=∠EAFAE=AE，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝EF，
设BE＝x，
∵AB＝CD＝5，DF＝2，
∴CF＝3，
∴GE＝BG+BE＝2+x，CE＝5﹣x，
∴FE＝2+x，
∵∠C＝90°，
∴CE2+CF2＝EF2，
∴（5﹣x）2+32＝（2+x）2，
解得：x=157，
∴x=157，
∴BE的长为157，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）若x﹣y＝2，xy=32，则2x2y﹣2xy2的值为 6 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】因式分解；整式；运算能力．
【答案】6．
【分析】因式分解：2x2y﹣2xy2＝2xy（x﹣y），再代入求值即可．
【解答】解：2x2y﹣2xy2＝2xy（x﹣y），
∵x﹣y＝2，xy=32，
∴2xy（x﹣y）＝2×32×2＝6，
∴2x2y﹣2xy2的值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，难度一般，仔细运算即可．
10．（3分）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为 2021 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2021．
【分析】根据m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根得出m2﹣m＝2，将2023﹣m2+m变形为2023﹣（m2﹣m），再把m2﹣m＝2代入进行计算即可．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，
∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，
∴2023﹣m2+m＝2023﹣（m2﹣m）＝2023﹣2＝2021，
故答案为：2021．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，求代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解此题的关键．
11．（3分）如果一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是 x＞2 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】x＞2．
【分析】根据一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（2，0），得出b＝﹣2k，因为kx+b＞0，则推出x＞2．
【解答】解：一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点（2，0），
∴0＝2k+b，
∴b＝﹣2k，
∵kx+b＞0，
∴kx﹣2k＞0，
∴x＞2．
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是根据题意正确推理与计算．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠DAE＝60°，DE为∠ADC的角平分线，点F为DE上一动点，点G为CF的中点，连接AG，则AG的最小值是 23 ．
【考点】平行四边形的性质；垂线段最短；三角形中位线定理．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】23．
【分析】当点F与点D重合时，点G在点 G1 处，此时 DG1＝CG1，当点F与点E重合时，点G在点 G2 处，此时 CG2＝EG2，由三角形中位线定理得出点G在 G1G2 上运动，当 AG⊥G1G2 时，AG的值最小，由等边对等角结合三角形内角和定理得出∠DAG1＝∠DG1A＝30°，求出∠AG1G2＝90° 得出AG的最小值为 AG1，求出 AG1 的长即可得解．
【解答】解：如图所示：
当点F与点D重合时，点G在点 G1 处，此时 DG1＝CG1，
当点F与点E重合时，点G在点 G2 处，此时 CG2＝EG2，
∴G1G2 为△CDE 的中位线，
∴G1G2∥DE，且 G1G2=12DE，
∵点G为CF 的中点，
∴GG1 为△CDF 的中位线，
∴GG1∥DF，GG1=12DF，
∴点G在 G1G2 上运动，当 AG⊥G1G2 时，AG的值最小，
∵在▱ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠DAE＝60°，
∴AB∥CD，CD＝AB＝4，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAE＝120°，DG1＝CG1＝AD＝2，
∴∠DAG1=∠DG1A=180°−∠ADG12=30°，
∵DE为∠ADC 的角平分线，
∴∠CDE=12∠ADC=60°，
∴∠CG1G2＝∠CDE＝60°，
∴∠AG1G2＝180°﹣∠CG1G2﹣∠AG1D＝90°，即 AG1⊥G1G2，
∴AG的最小值为 AG1，
∵DE∥G1G2，
∴DE⊥AG1
AD＝DG1，∠ADE＝60°，
∴AG1=2AD⋅sin60°=2×2×32=23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、解直角三角形的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，CD为中线，BE⊥CD交AC于点E，若∠A＝45°，CD＝BC，BD=210，则线段EC的长为 45 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】45．
【分析】过点B作BF⊥AC于点F，则∠CFB＝∠EFB＝90°，可得△AFB是等腰直角三角形，则AB=410，进而证明△CFB≌△EFB（ASA），得出EF＝CF，作CG⊥AB于点G，则△ACG是等腰直角三角形，勾股定理得出AG=CG=310，则AC=2AG=65，进而得出CF=25，即可求解．
【解答】解：如图所示，过点B作BF⊥AC于点F，则∠CFB＝∠EFB＝90°，
∵∠A＝45°，
∴△AFB是等腰直角三角形，
∵CD为中线，BD=210，
∴AB=410，
∴AF=BF=22AB=45，
∵CD＝BC，
∴∠CDB＝∠CBD，
设∠EBD＝α，
∵BE⊥CD，
∴∠CDB＝∠CBD＝90﹣α，
∴∠DCB＝180°﹣∠CDB＝2α，
∵∠ABF＝45°，
∴∠EBF＝45°﹣α，
∴∠CBF＝∠CBA﹣∠ABF＝90°﹣α﹣45°＝45°﹣α，
∴∠EBF＝∠CBF，
又∵FB＝FB，∠CFB＝∠EFB＝90°，
∴△CFB≌△EFB（ASA），
∴BE＝BC，
∴EF＝CF，
作CG⊥AB于点G，则△ACG是等腰直角三角形，
∴DG=GB=12DB=10，
∴AG=CG=310，
∴AC=2AG=65，
∵AF=45，
∴CF=EF=AC−AF=65−45=25，
∴EC=EF+CF=45，
故答案为：45．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（8分）解方程：
（1）x2﹣3x+2＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣1）2．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝1，x2＝2；
（2）x1＝0，x2=23．
【分析】（1）分解因式后得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先移项，再利用平方差公式解答即可．
【解答】解：（1）分解因式得：（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2；
（2）移项得：（2x﹣1）2﹣（x﹣1）2＝0，
∴（2x﹣1﹣x+1）（2x﹣1+x﹣1）＝0，即x•（3x﹣2）＝0，
∴x＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2=23．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，分解因式把一元二次方程转化成一元一次方程是解题的关键．
15．（6分）如图，在9×5的正方形网格中，点A，B在格点上．请你仅用一把无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图1中，作一个以AB为边的平行四边形，使平行四边形的顶点都在格点上；
（2）在图2中，作一个以AB为边的菱形，使菱形的顶点都在格点上．
【考点】作图—应用与设计作图；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（2）作图见解析部分．
【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可；
（2）根据菱形的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）；
（2）如图2中，四边形ABEF即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的射线解决问题．
16．（7分）某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元．
（1）降价后，每件玩具的利润为 （40﹣x） 元，平均每天的销售量为 （20+2x） 件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】方程思想；一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据“这种玩具的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件”结合每件玩具的原利润及降价x元，即可得出降价后每件玩具的利润及销量；
（2）根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵每件玩具降价x元，
∴每件玩具的利润为（40﹣x）元，销量为（20+2x）件．
故答案为：（40﹣x）；（20+2x）．
（2）依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
∴x＝20．
答：每件玩具应降价20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．（8分）如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，延长CB至点F，使得BF＝CE，连接AF、DF．
（1）求证：四边形ADEF是矩形；
（2）AB＝3，DF＝4，DF⊥CD，求AF的长．
【考点】矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）125．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再证明AD＝EF，则四边形ADEF是平行四边形，进而证明∠DEF＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）由矩形的性质得AF＝DE，再由平行四边形的性质得CD＝AB＝3，进而由勾股定理求出CF＝5，然后由三角形面积求出DE的长，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝CE，
∴BF+BE＝CE+BE，
即EF＝BC，
∴AD＝EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
又∵DE⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴平行四边形ADEF是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形ADEF是矩形，
∴AF＝DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∵DF⊥CD，
∴∠CDF＝90°，
∴CF=DF2+CD2=42+32=5，
∵DE⊥BC，
∴S△CDF=12CF•DE=12DF•CD，
∴DE=DF⋅CDCF=4×35=125，
∴AF=125，
即AF的长为125．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
18．（8分）
【考点】一元一次不等式组的应用；有理数的混合运算；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（任务1）长方体收纳盒的高度是10cm；
（任务2）共有4种分配方案，
方案1：分配76张长方形木板按图①虚线裁剪，24张长方形木板按图②虚线裁剪；
方案2：分配77张长方形木板按图①虚线裁剪，23张长方形木板按图②虚线裁剪；
方案3：分配78张长方形木板按图①虚线裁剪，22张长方形木板按图②虚线裁剪；
方案4：分配79张长方形木板按图①虚线裁剪，21张长方形木板按图②虚线裁剪；
（任务3）应分配76张长方形木板按图①虚线裁剪，24张长方形木板按图②虚线裁剪，使销售后获得最大利润．
【分析】（任务1）设长方体收纳盒的高度为x cm，则长方体收纳盒底面的长为（80﹣2x）cm，宽为（40﹣2x）cm，根据收纳盒底面长与宽之比为3：1，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（任务2）设分配y张长方形木板按图①虚线裁剪，则分配（100﹣y）张长方形木板按图②虚线裁剪，可制成2（100﹣y）个有盖收纳盒，（3y﹣200）个无盖收纳盒，根据“制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各分配方案；
（任务3）利用总利润＝销售单价×销售数量（制成的数量）﹣总成本，可分别求出选择各分配方案可获得的总利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（任务1）设长方体收纳盒的高度为x cm，则长方体收纳盒底面的长为（80﹣2x）cm，宽为（40﹣2x）cm，
根据题意得：（80﹣2x）：（40﹣2x）＝3：1，
即80﹣2x＝3（40﹣2x），
解得：x＝10．
答：长方体收纳盒的高度是10cm；
（任务2）设分配y张长方形木板按图①虚线裁剪，则分配（100﹣y）张长方形木板按图②虚线裁剪，可制成2（100﹣y）个有盖收纳盒，y﹣2（100﹣y）＝（3y﹣200）个无盖收纳盒，
根据题意得：2(100−y)＞3y−2002(100−y)＜2(3y−200)，
解得：75＜y＜80，
又∵y为正整数，
∴y可以为76，77，78，79，
∴共有4种分配方案，
方案1：分配76张长方形木板按图①虚线裁剪，24张长方形木板按图②虚线裁剪；
方案2：分配77张长方形木板按图①虚线裁剪，23张长方形木板按图②虚线裁剪；
方案3：分配78张长方形木板按图①虚线裁剪，22张长方形木板按图②虚线裁剪；
方案4：分配79张长方形木板按图①虚线裁剪，21张长方形木板按图②虚线裁剪；
（任务3）选择方案1可获得的总利润为20×（3×76﹣200）+28×2×24+5×24﹣15×100＝524（元）；
选择方案2可获得的总利润为20×（3×77﹣200）+28×2×23+5×23﹣15×100＝523（元）；
选择方案3可获得的总利润为20×（3×78﹣200）+28×2×22+5×22﹣15×100＝522（元）；
选择方案4可获得的总利润为20×（3×79﹣200）+28×2×21+5×21﹣15×100＝521（元）．
∵524＞523＞522＞521，
∴应分配76张长方形木板按图①虚线裁剪，24张长方形木板按图②虚线裁剪，使销售后获得最大利润．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（任务1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（任务2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（任务3）根据各数量之间的关系，求出选择各分配方案可获得的总利润．
19．（12分）如图，平面直角坐标系A（8，0）、C（0，6）两点分别在x、y轴上，P为射线AO上的一动点，点O关于直线PC的对称点为D．
（1）当△OPC的面积为15时，求点P坐标；
（2）当△APC为等腰三角形时，求点P坐标；
（3）若点O关于直线PC的对称点为点D，当△APD为直角三角形时，请求出点P坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）；
（2）点P的坐标为（﹣2，0）或（﹣8，0）或(74，0)；
（3）点P的坐标为（3，0）或（﹣12，0）或（6，0）或（﹣6，0）．
【分析】（1）设P（m，0），易知OP＝|m|，OC＝6，根据S△OPC=12OP⋅OC=15，列式子求解即可；
（2）分三种情况：①当AC＝AP时，②当CA＝CP时，③当PC＝PA时，进行讨论即可；
（3）根据轴对称性质可得：△CDP≌△COP，由△APD为直角三角形，可分类讨论：∠ADP＝90°或∠APD＝90°或∠PAD＝90°，利用勾股定理和全等三角形性质即可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）设P（m，0），m＜8，则OP＝|m|，
∵C（0，6），
∴OC＝6，
则：S△OPC=12OP⋅OC=12×6|m|=3|m|=15，
解得：m＝±5，
即：当△OPC的面积为15时，点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）；
（2）∵A（8，0）、C（0，6），即：OA＝8，OC＝6，
∴AC=62+82=10，
①当AC＝AP时，如图，
此时，AC＝AP＝10，
∴OP＝PA﹣AO＝2
∴点P的坐标为（﹣2，0）；
②当CA＝CP时，如图，
此时，∵CA＝CP，CO⊥AP，
∴AO＝PO＝8，
∴点P的坐标为（﹣8，0）；
③当PC＝PA时，
设P（m，0），则OP＝m，
∴PC＝PA＝AO﹣OP＝8﹣m，
由勾股定理可得：CO2+OP2＝PC2，即：62+m2＝（8﹣m）2，
解得m=74，
∴点P的坐标为(74，0)；
综上，当△APC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣2，0）或（﹣8，0）或(74，0)；
（3）设P（m，0），
∵点O关于直线PC的对称点为D，
∴△CDP≌△COP，
∴CD＝CO＝6，∠CDP＝∠COP＝90°，∠CPD＝∠CPO，PD＝PO＝m，
∴AP＝8﹣m，
①若∠ADP＝90°，如图，
∵∠ADP+∠CDP＝180°，
∴A、D、C三点共线，
∴AC＝10，
∴AD＝AC﹣CD＝10﹣6＝4，
∵AD2+PD2＝AP2，即42+m2＝（8﹣m）2，
解得：m＝3，
∴点P的坐标为（3，0）；
当点P在负半轴时，
此时，AD＝AC+CD＝10+6＝16，
∵AD2+PD2＝AP2，即162+m2＝（8﹣m）2，
解得：m＝﹣12，
∴点P的坐标为（﹣12，0）；
②若∠APD＝90°，如图，
∵∠OPD＝180°﹣∠APD＝180°﹣90°＝90°
∴∠CPD＝∠CPO＝45°，
∴△CPD、△CPO为等腰直角三角形，
∴OP＝OC＝6，
∴点P的坐标为（6，0）；
当点P在负半轴时，
同理可得点P的坐标为（﹣6，0）；
③若∠PAD＝90°，则CD＝OC＝6，OA＝8，则点D不能出现在过点A的垂线上，即此情况不存在．
综上，点P的坐标为（3，0）或（﹣12，0）或（6，0）或（﹣6，0）．
【点评】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称变换性质，全等三角形性质，分类讨论数学思想等；分类讨论数学思想应用是解答本题的关键．
20．（12分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AC边上的动点．
（1）如图1，过点D作DG∥AB交BC于点G，以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E，在EB上截取EF＝ED，连接FG．证明：四边形DEFG是菱形；
（2）在（1）条件下，求出能作出菱形时所对应CD长度的取值范围；
（3）如图2，连接BD，作DQ⊥BD交AB于点Q，求AQ的最大值．
【考点】四边形综合题．
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）9637≤CD≤3；
（3）2.5．
【分析】（1）先证四边形DEFG是平行四边形，然后再根据邻边相等得出结论即可；
（2）根据圆D与AB边相切时CD有最小值，F与B点重合时CD有最大值求出CD的取值范围即可；
（3）以BQ为直径画圆，圆心为P，当圆P与AC边相切时AQ有最大值，求出此时的最大值即可．
【解答】（1）证明：∵DG∥AB，DG＝DE＝EF，
即DG=∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵DG＝EF，
∴四边形DEFG是菱形；
（2）解：由题意知，圆D与AB边相切时CD有最小值，F与B点重合时CD有最大值，
圆D与AB边相切时：过点C作CH⊥AB于H，交DG于点K，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
设CD＝x，则AD＝8﹣x，
∵DE＝DG，
∴AD•sinA＝CD•cs∠CDG，
∵∠A＝∠CDG，
∴sinA=BCAB=610=35，cs∠CDG＝csA=ACAB=810=45，
∴35（8﹣x）=x45，
解得x=9637，
F与B点重合时：设DG＝y，则CG=35y，CD=45y，
∵CG+BG＝6，
∴35y+y＝6，
解得y=154，
即CD＝3，
∴CD的取值范围为9637≤CD≤3；
（3）解：以BQ为直径画圆，圆心为P，连接PD，当圆P与AC边相切时AQ有最大值，
设AQ＝x，则BQ＝2PD＝10﹣x，
∴PD=10−x2，
∵sinA=35，
∴PDAP=35，
即10−x210−x2+x=35，
解得x＝2.5，
∴AQ的最大值为2.5．
【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定和性质，切线的性质，三角函数等知识是解题的关键．
考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
3．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
4．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
5．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
6．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
9．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
10．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞bm；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜bm；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
11．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
12．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
13．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（−bk，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞−bk，不等式kx+b＜0的解为：x＜−bk；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜−bk，不等式kx+b＜0的解为：x＞−bk．
14．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
15．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
16．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
17．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
18．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
19．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=12BC．
20．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
21．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
22．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
23．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
24．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
25．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
26．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
27．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
28．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
29．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
30．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
31．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，csA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
根据以下素材，探索完成任务．如何确定木板分配方案？
素材1

我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm．
素材2
现将部分木板按图①虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（涂色部分）．把剩余五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3：1．其余木板按图②虚线裁剪出两块木板（涂色部分是余料），给部分盒子配上盖子．
素材3
义卖时的售价如标签所示：
问题解决
任务1
计算盒子高度
求：长方体收纳盒的高度．
任务2
确定分配方案1
若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3
确定分配方案2
在任务2的条件下，为了提高利润，小艺打算把图②裁剪下来的余料（涂色部分）利用起来，一张长方形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
D
A
A
D
C
A
根据以下素材，探索完成任务．如何确定木板分配方案？
素材1

我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm．
素材2
现将部分木板按图①虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（涂色部分）．把剩余五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3：1．其余木板按图②虚线裁剪出两块木板（涂色部分是余料），给部分盒子配上盖子．
素材3
义卖时的售价如标签所示：
问题解决
任务1
计算盒子高度
求：长方体收纳盒的高度．
任务2
确定分配方案1
若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3
确定分配方案2
在任务2的条件下，为了提高利润，小艺打算把图②裁剪下来的余料（涂色部分）利用起来，一张长方形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润．