2025-2026学年上学期广州初中数学八年级开学模拟考2

这是一份2025-2026学年上学期广州初中数学八年级开学模拟考2，共25页。
A．a2＝b2+c2B．a＝8，b＝15，c＝17
C．a＝9，b＝16，c＝18D．a：b：c=1：2：3
2．（3分）下列各数中最小无理数是（ ）
A．π11B．0
C．−4D．1.010010001…
3．（3分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D．分别以AC、BC、AD、BD为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为15、30、38．那么最小的正方形面积（ ）
A．5B．6C．7D．7.5
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2+3=6B．2×3=6C．18=23D．6÷3=2
5．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．ac＞0B．|b|＞|c|C．﹣a＜﹣bD．a+c＜0
6．（3分）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A．2mB．3mC．3.5mD．4m
7．（3分）如图，长方形门框高为2m，宽为1.5m，现有2块木板，尺寸分别为：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长4m，宽2.4m；能从这扇门通过的木板是（ ）
A．①号B．②号
C．①、②号均能通过D．①、②号都不能通过
8．（3分）已知x＜y＜0，设M＝|x|，N＝|y|，P=|x+y|2，Q=xy，则M，N，P，Q的大小关系是（ ）
A．M＜Q＜P＜NB．M＜P＜Q＜NC．Q＜N＜P＜MD．N＜Q＜P＜M
9．（3分）下面用数轴上的点P表示实数6−1正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若GC＝2，∠ADE＝30°，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．16−83B．83−12C．8−43D．4−22
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知某数的算术平方根是5，则这个数是 ．
12．（3分）已知有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 m．
13．（3分）如图，把面积为6的正方形ABCD放到数轴上，使得正方形的一个顶点A与﹣1重合，那么顶点B在数轴上表示的数是 ．
14．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm，一只蚂蚁从A到C1点，沿着表面爬行的最短距离是 cm．
15．（3分）已知a1为实数，规定运算：a2=1−1a1，a3=1−1a2，a4=1−1a3，a5=1−1a4，…，an=1−1an−1．按上述方法计算：当a1＝3时，a2022的值等于 ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）计算：(5+2)2+(−12)−1−49．
17．（12分）计算：
（1）(25+32)(25−32)；
（2）48÷3−12×12+24；
（3）(3−2)2014⋅(3+2)2015；
（4）72−168+(3+1)(3−1)．
18．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13．
（1）判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求四边形ABCD的面积．
19．（6分）已知a的立方等于﹣27，b的算术平方根为5．
（1）求a，b的值．
（2）求3a+b的平方根．
20．（6分）如图，一架2.5m长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为0.7m．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）马小虎说“如果梯子的底部B在水平方向滑动了0.8m至D，那么梯子的顶端A也沿墙垂直下滑了0.8m”，你同意吗？请说明理由．
21．（10分）如图，在一棵树的5米高的B处有三只猴子，第一只猴子爬下树走到离树10米处的池塘A处，第二只猴子直接从B处跃到A处，第三只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，假设其中两只猴子所经过的距离相等．
（1）则第二只猴子经过的直线距离是 ；
（2）求这棵树的高度．
22．（10分）阅读理解题：
像(5+2)(5−2)=1，a×a=a（a≥0），(b+1)(b−1)=b−1(b≥0)，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如：5和5，(2+1)和(2−1)，2(3+35)和2(3−35)等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①232= ，②17−5= ；
（2）计算：(12+1+13+2+14+3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+12024+2023)(2024+1)；
（3）已知a=2023−2022，b=2024−2023，c=2025−2024试比较a，b，c的大小．
2025-2026学年上学期广州初中数学八年级开学模拟考2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列条件中，a，b，c分别为三角形的三边，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a2＝b2+c2B．a＝8，b＝15，c＝17
C．a＝9，b＝16，c＝18D．a：b：c=1：2：3
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、a2＝b2+c2，能判断△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意；
B、82+152＝172，能判断△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意；
C、92+162≠182，不能判断△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
D、设a=x，b=2x，c=3x，则a2+c2=x2+(3x)2=(2x)2=b2，能判断△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．
2．（3分）下列各数中最小无理数是（ ）
A．π11B．0
C．−4D．1.010010001…
【考点】无理数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】先判断出B、C选项都是有理数，A、D选项是无理数，然后比较π11和1.010010001…即可．
【解答】解：−4=−2，
B、C选项都是有理数，
A、D选项是无理数，
∵π11＜1，
∴π11＜1.010010001…，
∴最小的无理数是π11，
故选：A．
【点评】本题考查了无理数、有理数，熟知无理数的定义是解题的关键．
3．（3分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D．分别以AC、BC、AD、BD为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为15、30、38．那么最小的正方形面积（ ）
A．5B．6C．7D．7.5
【考点】勾股定理．
【专题】三角形．
【答案】C
【分析】由正方形的面积公式可得AC2＝15，BD2＝30，BC2＝38结合勾股定理即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵三个正方形的面积分别为15、30、38，
∴AC2＝15，BD2＝30，BC2＝38，
在Rt△ACD及Rt△BDC中，由勾股定理可得：
AC2＝AD2+CD2，BC2＝BD2+CD2，
∴CD2＝8，
∴AD2＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理及正方形的面积，熟记勾股定理是解题关键．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2+3=6B．2×3=6C．18=23D．6÷3=2
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】依据题意，直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、2，3不是同类二次根式，没法合并，故本选项不符合题意；
B、2×3=6，故本选项符合题意；
C、18=32，故本选项不符合题意；
D、6÷3=2，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的运算及二次根式的化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．ac＞0B．|b|＞|c|C．﹣a＜﹣bD．a+c＜0
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】D
【分析】根据实数在数轴上的位置得到a＜﹣1＜b＜0＜2＜c，根据实数在数轴上离原点的距离判断绝对值的大小，进而求解即可．
【解答】解：根据数轴的性质可知：a＜﹣1＜b＜0＜2＜c，
∴ac＜0，故A选项错误；
∴|b|＜|c|，故B选项错误；
∴﹣a＞﹣b，故C选项错误；
∴a+c＜0，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查实数与数轴的关系，解题的关键是会用数轴直接判断a，b，c的大小关系．
6．（3分）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A．2mB．3mC．3.5mD．4m
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据少走的路长为AC+BC﹣AB，计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB=AC2+BC2=62+82=10（m），
∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为AC+BC﹣AB是解题的关键．
7．（3分）如图，长方形门框高为2m，宽为1.5m，现有2块木板，尺寸分别为：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长4m，宽2.4m；能从这扇门通过的木板是（ ）
A．①号B．②号
C．①、②号均能通过D．①、②号都不能通过
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力；应用意识．
【答案】B
【分析】利用勾股定理计算出门框的对角线长度，与木板的宽相比较即可．
【解答】解：∵长方形门框高为2m，宽为1.5m，
∴长方形门框对角线长度为：22+1．52=2.5(m)，
∵2.4＜2.5＜2.7，
∴①号木板不能通过，②号木板能通过，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
8．（3分）已知x＜y＜0，设M＝|x|，N＝|y|，P=|x+y|2，Q=xy，则M，N，P，Q的大小关系是（ ）
A．M＜Q＜P＜NB．M＜P＜Q＜NC．Q＜N＜P＜MD．N＜Q＜P＜M
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【专题】实数；应用意识．
【答案】D
【分析】知道x＜y＜0，考虑利用赋值法进行求解，﹣2的绝对值是﹣2的相反数，是正数，1＜2＜94，1＜2＜32．
【解答】解：根据题意，x＜y＜0，考虑利用赋值法进行求解，
取x＝﹣2，y＝﹣1，
则M＝|x|＝2，N＝|y|＝1，P=|x+y|2=32，Q=xy=2，
因为1＜2＜94，1＜2＜32，
所以1＜2＜32＜2，
所以N＜Q＜P＜M．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数比较大小，掌握绝对值的计算是关键．
9．（3分）下面用数轴上的点P表示实数6−1正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；推理能力．
【答案】C
【分析】先估算出6的大小，再利用不等式的性质得出6−1的大小，然后结合选择项分析即可求解．
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴2＜6＜3，
∴1＜6−1＜2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，估算无理数的大小，解决本题的关键是得到6−1的取值范围．
10．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若GC＝2，∠ADE＝30°，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．16−83B．83−12C．8−43D．4−22
【考点】勾股定理的证明．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质、勾股定理以及正方形 到现在即可得到结论．
【解答】解：由题意得，AE＝CG＝2，∠AED＝90°，AE＝CG＝DH＝2，
∵∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE＝4，
∴DE=AD2−AE2=42−22=23，
∴HE＝DE﹣DH＝23−2，
∴正方形EFGH的面积为HE2=(23−2)2=16−83，
故选：A．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知某数的算术平方根是5，则这个数是 5 ．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】5．
【分析】直接根据算术平方根的定义可得结果．
【解答】解：∵(5)2=5，
∴算术平方根是5 的数是5，
故答案为：5．
【点评】此题考查了已知一个数的算术平方根求这个数，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
12．（3分）已知有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 10 m．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】10．
【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AD的长即可．
【解答】解：如图，由题意得，AB＝8m，CD＝2m，BC＝8m，
∴DE＝BC＝8m，AE＝AB﹣CD＝6m，
在Rt△AED中，由勾股定理得，
AD=AE2+DE2=62+82=10，
∴一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了10m，
故答案为：10．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．（3分）如图，把面积为6的正方形ABCD放到数轴上，使得正方形的一个顶点A与﹣1重合，那么顶点B在数轴上表示的数是 6−1 ．
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】6−1．
【分析】先求出正方形的边长，再结合A、B两点间的距离即可求解．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为6，
∴正方形的边长为6，
∵点A表示﹣1，
∴顶点B在数轴上表示的数是6−1，
故答案为：6−1．
【点评】本题考查了实数、数轴上两点间的距离等知识点，解题的关键是掌握相关运算．
14．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm，一只蚂蚁从A到C1点，沿着表面爬行的最短距离是 74 cm．
【考点】平面展开﹣最短路径问题；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】74．
【分析】解答此题的关键是把长方体展开，再利用勾股定理求解．
【解答】解：当沿着面AB1与A1C1爬行时，最短距离为52+72=74(cm)；
当沿着面AB1与BC1爬行时，最短距离为92+32=90(cm)；
当沿着面AC与BC1爬行时，最短距离为42+82=80(cm)；
∵74＜80＜90，
∴蚂蚁从A到C1点，沿着表面爬行的最短距离是74．
故答案为：74．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，解答此题的关键是把长方体展开．
15．（3分）已知a1为实数，规定运算：a2=1−1a1，a3=1−1a2，a4=1−1a3，a5=1−1a4，…，an=1−1an−1．按上述方法计算：当a1＝3时，a2022的值等于 −12 ．
【考点】实数的运算；规律型：数字的变化类．
【专题】实数；运算能力．
【答案】−12．
【分析】化简前几个数，得到an以三个数为一组，不断循环，因为2022÷3＝674，所以a2022＝a3，再代数求值即可．
【解答】解：a1＝3，
a2＝1−13=23，
a3＝1−32=−12，
a4＝1﹣（﹣2）＝3，
∴an以三个数为一组，不断循环，
∵2022÷3＝674，
∴a2022＝a3=−12，
故答案为：−12．
【点评】本题考查了分式的加减法，探索规律，通过计算找到规律是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）计算：(5+2)2+(−12)−1−49．
【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】45．
【分析】先化简，然后合并同类二次根式和同类项即可．
【解答】解：(5+2)2+(−12)−1−49
＝5+45+4+（﹣2）﹣7
＝45．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用．
17．（12分）计算：
（1）(25+32)(25−32)；
（2）48÷3−12×12+24；
（3）(3−2)2014⋅(3+2)2015；
（4）72−168+(3+1)(3−1)．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）2；
（2）4+6；
（3）3+2；
（4）5−2．
【分析】（1）根据平方差公式计算即可；
（2）先计算二次根式的乘除，再化简为最简二次根式，合并同类项即可；
（3）逆用积的乘方，以及平方差公式进行计算即可；
（4）根据二次根式的混合运算顺序计算即可．
【解答】解：（1）(25+32)(25−32)
＝（25）2﹣（32）2
＝20﹣18
＝2；
（2）48÷3−12×12+24
=43÷3−22×23+26
=4+6；
（3）(3−2)2014⋅(3+2)2015
=[(3−2)(3+2)]2014⋅(3+2)
=(3−4)2014⋅(3+2)
=(−1)2014⋅(3+2)
=3+2；
（4）72−168+(3+1)(3−1)
=3−2+3−1
=5−2．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13．
（1）判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）△ACD是直角三角形；理由见解答过程；
（2）四边形ABCD的面积为84．
【分析】（1）利用勾股定理求出AC＝12，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，即可得解；
（2）根据三角形的面积公式列式计算得到△ACD的面积，然后求得△ABC的面积，相加即可得解．
【解答】解：（1）△ACD是直角三角形；理由如下：
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，
∴AC=AB2−BC2=152−92=12．
∵AD＝5，CD＝13，AC＝12，
∴AD2+AC2＝52+122＝169，CD2＝132＝169，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°；
（2）根据题意得，S△ACD=12AD•AC=12×5×12＝30，S△ABC=12AC•BC=12×12×9＝54，
∴四边形ABCD的面积＝S△ACD+S△ABC＝30+54＝84．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用．
19．（6分）已知a的立方等于﹣27，b的算术平方根为5．
（1）求a，b的值．
（2）求3a+b的平方根．
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）a＝﹣3，b＝25；
（2）±4．
【分析】（1）根据（﹣3）3＝﹣27，可求出a的值，根据52＝25，即可求出b的值；
（2）根据（1）所求求出3a+b＝16，再由（±4）2＝16即可得到答案．
【解答】解：（1）∵a的立方等于﹣27，
∴a=3−27=−3；
∵b的算术平方根为5，
∴b＝52＝25；
（2）∵a＝﹣3，b＝25，
∴3a+b＝﹣3×3+25＝16，
∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4，
∴3a+b的平方根是±4．
【点评】本题主要考查了求一个数的立方根，求一个数的平方根，根据一个数的算术平方根求这个数，熟知算术平方根，平方根和立方根的定义是解题的关键．
20．（6分）如图，一架2.5m长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为0.7m．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）马小虎说“如果梯子的底部B在水平方向滑动了0.8m至D，那么梯子的顶端A也沿墙垂直下滑了0.8m”，你同意吗？请说明理由．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）2.4m；
（2）不同意，理由见解析．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长即可；
（2）根据勾股定理求出CE的长即可推出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：AB＝2.5m，BC＝0.7m，
∴AC=4B2−BC2=2.52−0.72=2.4(m)，
答：这个梯子的顶端距地面有2.4m；
（2）不同意，理由如下：
∵BC＝0.7m，BD＝0.8m，
∴CD＝1.5m，
∴CE=DE2−CD2=2.52−1.52=2(m)，
∴AE＝AC﹣CE＝2.4﹣2＝0.4（m），
∴梯子的顶端A沿墙垂直下滑了0.4m，
∴马小虎说法错误．我不同意．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
21．（10分）如图，在一棵树的5米高的B处有三只猴子，第一只猴子爬下树走到离树10米处的池塘A处，第二只猴子直接从B处跃到A处，第三只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，假设其中两只猴子所经过的距离相等．
（1）则第二只猴子经过的直线距离是 55米 ；
（2）求这棵树的高度．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】（1）55米；
（2）7.5米．
【分析】（1）直接利用勾股定理求得线段AB的长即可；
（2）由题意知AD+DB＝BC+CA，设BD＝x米，则AD＝（15﹣x）米，CD＝（5+x）米，在Rt△ACD中，根据勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意知：在Rt△ABC中，BC＝5米，AC＝10米，
由勾股定理得：AB=BC2+AC2=52+102=55（米），
即第二只猴子经过的直线距离是55米，
故答案为：55米；
（2）由题意知，AD+DB＝BC+CA，且AC＝10米，BC＝5米，
设BD＝x米，则AD＝（15﹣x）米，CD＝（5+x）米，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD2+AC2＝AD2，
即（5+x）2+102＝（15﹣x）2，
解得：x＝2.5米，
∴CD＝5+x＝7.5（米），
答：这棵树的高度为7.5米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出方程是解题的关键．
22．（10分）阅读理解题：
像(5+2)(5−2)=1，a×a=a（a≥0），(b+1)(b−1)=b−1(b≥0)，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如：5和5，(2+1)和(2−1)，2(3+35)和2(3−35)等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①232= 23 ，②17−5= 7+52 ；
（2）计算：(12+1+13+2+14+3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+12024+2023)(2024+1)；
（3）已知a=2023−2022，b=2024−2023，c=2025−2024试比较a，b，c的大小．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）①23；②7+52；
（2）2023；
（3）a＞b＞c．
【分析】（1）利用分母有理化的方法进行运算即可；
（2）对各分母进行分母有理化运算，从而可求解；
（3）取各数的倒数，再对分母进行分母有理化运算，从而可求解．
【解答】解：（1）①232=2×232×2=23；
②17−5=7+5(7−5)(7+5)=7+52，
故答案为：23，7+52；
（2）(12+1+13+2+14+3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+12024+2023)(2024+1)
=(2−1+3−2+4−3+⋯+2024−2023)(2024+1)
=(2024−1)(2024+1)
＝2024﹣1
＝2023；
（3）1a=12023−2022=2023+2022(2023−2022)(2023+2022)=2023+2022，
同理：1b=12024−2023=2024+2023，
1c=12025−2024=2025+2024，
∵0＜1a＜1b＜1c，
∴a＞b＞c．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚分母有理化的方法．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“−a”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号3a中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
5．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如2，3，35等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如16是有理数，而不是无理数．
6．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
7．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
8．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
9．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
10．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
11．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
12．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①1a=aa⋅a=aa；②1a+b=a−b(a+b)(a−b)=a−ba−b．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：2−3的有理化因式可以是2+3，也可以是a（2+3），这里的a可以是任意有理数．
13．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
14．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
15．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
16．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
17．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
18．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
B
D
D
B
D
C
A