人教B版 (2019)必修 第三册8.2.2 两角和与差的正弦、正切学案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册8.2.2 两角和与差的正弦、正切学案设计，共12页。学案主要包含了第一学时，学习目标，学习重难点，学习过程，母题探究，学习小结，精炼反馈，第二学时等内容，欢迎下载使用。

【第一学时】
【学习目标】
1．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．
2．能利用公式解决简单的化简求值问题．
【学习重难点】
利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.
【学习过程】
一、初试身手
1．cs 17°sin 13°＋sin 17°cs 13°的值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(3),2)D．以上都不对
2．函数y＝sin x－cs x的最小正周期是( )
A．eq \f(π,2)B．π
C．2πD．4π
3．已知α为锐角，sin α＝eq \f(3,5)，β是第四象限角，cs(π＋β)＝－eq \f(4,5)，则sin(α＋β)＝________.
二、合作探究
1.利用公式化简求值
【例1】（1）eq \f(sin 47°－sin 17°cs 30°,cs 17°)＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
（2）求sin 157°cs 67°＋cs 23°sin 67°的值；
（3）求sin(θ＋75°)＋cs(θ＋45°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)的值．
[思路探究]（1）化简求值应注意公式的逆用．
（2）（3）对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．
（1）C [eq \f(sin 47°－sin 17°cs 30°,cs 17°)
＝eq \f(sin17°＋30°－sin 17°cs 30°,cs 17°)
＝eq \f(sin 17°cs 30°＋cs 17°sin 30°－sin 17°cs 30°,cs 17°)
＝eq \f(cs 17°sin 30°,cs 17°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).]
（2）解：原式＝sin(180°－23°)cs 67°＋cs 23°sin 67°
＝sin 23°cs 67°＋cs 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1．
（3）sin(θ＋75°)＋cs(θ＋45°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°＋60°)＋cs(θ＋15°＋30°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)cs 60°＋cs(θ＋15°)sin 60°＋cs(θ＋15°)·
cs 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－eq \r(3)cs(θ＋15°)
＝eq \f(1,2)sin(θ＋15°)＋eq \f(\r(3),2)cs(θ＋15°)＋eq \f(\r(3),2)cs(θ＋15°)－eq \f(1,2)sin(θ＋15°)－eq \r(3)cs(θ＋15°)＝0.
2.给值(式)求值
【例2】设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，若cs α＝－eq \f(1,2)，sin β＝－eq \f(\r(3),2)，求sin(α＋β)的值．
[思路探究]应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值．
[解]因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs α＝－eq \f(1,2)，所以sin α＝eq \f(\r(3),2)，因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，sin β＝－eq \f(\r(3),2)，所以cs β＝eq \f(1,2).
所以sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝eq \f(\r(3),2).
1．(变结论)若条件不变，试求sin(α－β)＋cs(α－β)的值．
[解] sin(α－β)＋cs(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＋cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝eq \f(\r(3),4)－eq \f(\r(3),4)－eq \f(1,4)－eq \f(3,4)＝－1．
2．(变条件)若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？
[解] 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs α＝－eq \f(1,2)，所以sin α＝eq \f(\r(3),2).
因为β为第三象限，所以cs β＝－eq \f(1,2).
所以sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝－eq \f(\r(3),4)＋eq \f(\r(3),4)＝0.
3.辅助角公式的应用
[探究问题]
（1）函数y＝sin x＋cs x(x∈Z)的最大值为2对吗？为什么？
[提示] 不对．因为sin x＋cs x
＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin x＋\f(\r(2),2) cs x))
＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x·cs \f(π,4)＋cs x·sin \f(π,4)))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，
所以函数的最大值为eq \r(2).
（2）函数y＝3sin x＋4cs x的最大值等于多少？
[提示] 因为y＝3sin x＋4cs x
＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)sin x＋\f(4,5)cs x))，
令cs φ＝eq \f(3,5)，sin φ＝eq \f(4,5)，
则y＝5(sin xcs φ＋cs xsin φ)＝5sin(x＋φ)，
所以函数y的最大值为5．
（3）如何推导asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan φ＝\f(b,a)))公式？
[提示] asin x＋bcs x
＝eq \r(a2＋b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))sin x＋\f(b,\r(a2＋b2))cs x))，
令cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，则
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)(sin xcs φ＋cs xsin φ)
＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ＝eq \f(b,a)确定，或由sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))和cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))共同确定)．
【例3】设函数f(x)＝sin x＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))).
（1）求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；
（2）不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变化得到．
[思路探究]辅助角公式⇒转化成“一角一函数”的形式⇒将所给函数展开与合并．
[解]（1）f(x)＝sin x＋sin xcs eq \f(π,3)＋cs xsin eq \f(π,3)＝sin x＋eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x＝eq \f(3,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x
＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin xcs \f(π,6)＋cs xsin \f(π,6)))＝eq \r(3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，
当sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝－1时，f(x)min＝－eq \r(3)，
此时x＋eq \f(π,6)＝eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，所以x＝eq \f(4π,3)＋2kπ(k∈Z)．
所以f(x)的最小值为－eq \r(3)，x的集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z)))).
（2）将y＝sin x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的eq \r(3)倍，得y＝eq \r(3)sin x的图象；
然后将y＝eq \r(3)sin x的图象上所有的点向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象.
【母题探究】
(变结论)例题中的条件不变，试求函数f(x)的单调区间？
[解] 由本例解析知函数可化为f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，
当2kπ－eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
即2kπ－eq \f(2π,3)≤x≤2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)时，函数为增函数；
当2kπ＋eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，
即2kπ＋eq \f(π,3)≤x≤2kπ＋eq \f(4π,3)(k∈Z)时，函数为减函数．
所以函数f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)，
函数f(x)的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))(k∈Z)．
【学习小结】
1．两角和与差的正弦公式
（1）Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β.
（2）Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β.
2．辅助角公式
y＝asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cs θ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin θ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)).
【精炼反馈】
1．若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(7\r(2),10) B．eq \f(7\r(2),10)
C．－eq \f(\r(2),10) D．eq \f(\r(2),10)
A [∵cs α＝－eq \f(4,5)，α为第三象限角，∴sin α＝－eq \f(3,5)，由两角和的正弦公式得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)＋cs α·sin eq \f(π,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).]
2．函数f(x)＝sin x－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的值域为( )
A．[－2,2] B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\r(3)，\r(3)))
C．[－1,1] D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))
B [f(x)＝sin x－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
＝sin x－eq \f(\r(3),2)cs x＋eq \f(1,2)sin x
＝eq \f(3,2)sin x－eq \f(\r(3),2)cs x＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，
所以函数f(x)的值域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]．
故选B．]
3．sin 155°cs 35°－cs 25°cs 235°＝________.
eq \f(\r(3),2) [原式＝sin 25°cs 35°＋cs 25°sin 35°＝
sin(25°＋35°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2).]
4．已知α，β均为锐角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，求α－β.
[解] ∵α，β均为锐角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，
∴sin β＝eq \f(3\r(10),10)，cs α＝eq \f(2\r(5),5).
∵sin α∴sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β
＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＝－eq \f(\r(2),2)，∴α－β＝－eq \f(π,4).
【第二学时】
【学习目标】
1．能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式．
2．掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等．
【学习重难点】
利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.
【学习过程】
一、初试身手
1．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( )
A．－2－eq \r(3)B．－2＋eq \r(3)
C．2－eq \r(3) D．2＋eq \r(3)
2．eq \f(tan 75°－tan 15°,1＋tan 75°tan 15°)＝( )
A．－eq \r(2) B．eq \r(2)
C．－eq \r(3) D．eq \r(3)
3．设tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，且角α，β为锐角，则α＋β的值是_________．
二、合作探究
1.利用公式化简求值
【例1】求下列各式的值：
（1）tan 15°；（2）eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)；
（3）tan 23°＋tan 37°＋eq \r(3)tan 23°tan 37°.
[思路探究]把非特殊角转化为特殊角(如（1）)及公式的逆用(如（2）)与活用(如（3）)，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．
[解]（1）tan 15°＝tan(45°－30°)
＝eq \f(tan 45°－tan 30°,1＋tan 45°tan 30°)＝eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝eq \f(3－\r(3),3＋\r(3))＝2－eq \r(3).
（2）eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)＝eq \f(\f(\r(3),3)－tan 75°,1＋\f(\r(3),3)tan 75°)
＝eq \f(tan 30°－tan 75°,1＋tan 30°tan 75°)
＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1．
（3）∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝eq \f(tan 23°＋tan 37°,1－tan 23°tan 37°)＝eq \r(3)，
∴tan 23°＋tan 37°＝eq \r(3)(1－tan 23°tan 37°)，
∴原式＝eq \r(3)(1－tan 23°tan 37°)＋eq \r(3)tan 23°tan 37°＝eq \r(3).
2.条件求值(角)问题
【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为eq \f(\r(2),10)，eq \f(2\r(5),5).
（1）求tan(α＋β)的值；（2）求α＋2β的值．
[思路探究]先由任意角的三角函数定义求出cs α，cs β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．
[解]由条件得
cs α＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝eq \f(2\r(5),5)，
∵α，β为锐角，
∴sin α＝eq \f(7\r(2),10)，sin β＝eq \f(\r(5),5)，
∴tan α＝7，tan β＝eq \f(1,2).
（1）tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(7＋\f(1,2),1－7×\f(1,2))＝－3．
（2）tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝eq \f(tanα＋β＋tan β,1－tanα＋β·tan β)＝eq \f(－3＋\f(1,2),1－－3×\f(1,2))＝－1，
∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜eq \f(3π,2)，∴α＋2β＝eq \f(3π,4).
3.公式的变形应用
[探究问题]
（1）判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？
[提示]根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．
（2）在△ABC中，tan(A＋B)与tan C有何关系？
[提示]根据三角形内角和定理可得A＋B＋C＝π，
∴A＋B＝π－C，
∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C．
【例3】已知△ABC中，tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，且eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状．
[思路探究]eq \x(化简条件)→eq \x(求出tan A，tan C)→
eq \x(求出角A，C)→eq \x(判断形状).
[解]由tan A＝tan[π－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)
＝eq \f(tan B＋tan C,tan Btan C－1)＝eq \f(\r(3)－\r(3)tan Btan C,tan Btan C－1)＝－eq \r(3).
而0°＜A＜180°，
∴A＝120°.
由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝eq \f(tan A＋tan B,tan Atan B－1)
＝eq \f(tan A＋tan B,\r(3)tan A＋\r(3)tan B)＝eq \f(\r(3),3)，
而0°＜C＜180°，
∴C＝30°，
∴B＝30°.
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．

(变条件)例题中把条件改为“tan B＋tan C－eq \r(3)tan Btan C＝－eq \r(3)，且eq \f(\r(3),3)tan A＋eq \f(\r(3),3)tan B＋1＝tan Atan B”，结果如何？
[解] 由tan A＝tan [π－(B＋C)]
＝－tan (B＋C)＝eq \f(tan B＋tan C,tan Btan C－1)
＝eq \f(\r(3)tan Btan C－\r(3),tan Btan C－1)＝eq \r(3).
又0°由tan C＝tan [π－(A＋B)]
＝eq \f(tan A＋tan B,tan Atan B－1)＝eq \f(tan A＋tan B,\f(\r(3),3)tan A＋\f(\r(3),3)tan B)＝eq \r(3).
又0°所以C＝60°，所以B＝60°.
所以△ABC是等边三角形．
【学习小结】
1．两角和的正切公式
Tα＋β：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) .
2．两角差的正切公式
Tα－β：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) .
【精炼反馈】
1．设角θ的终边过点(2,3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝( )
A．eq \f(1,5)B．－eq \f(1,5)
C．5D．－5
A [由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝eq \f(3,2)，故taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(tan θ－1,1＋tan θ)＝eq \f(\f(3,2)－1,1＋\f(3,2))＝eq \f(1,5)，选A．]
2．tan 10°tan 20°＋eq \r(3)(tan 10°＋tan 20°)等于( )
A．eq \f(\r(3),3)B．1
C．eq \r(3) D．eq \r(6)
B [原式＝tan 10°tan 20°＋eq \r(3)tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1．]
3．计算eq \f(\r(3)－tan 15°,1＋\r(3)tan 15°)＝________.
1 [eq \f(\r(3)－tan 15°,1＋\r(3)tan 15°)＝eq \f(tan 60°－tan 15°,1＋tan 60°tan 15°)
＝tan 45°＝1．]
4．已知tan(α＋β)＝eq \f(2,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,5)))＝eq \f(1,4)，求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5)))的值．
[解] ∵α＋eq \f(π,5)＝(α＋β)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,5)))，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,5)))))
＝eq \f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,5))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,5))))＝eq \f(\f(2,5)－\f(1,4),1＋\f(2,5)×\f(1,4))
＝eq \f(3,22).