(人教B版)2025秋高中数学必修三同步讲义第八章向量的数量积与三角恒等变换章末测试(学生版+解析)

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第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末测试（考试地址：120小时 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是不符合题目要求的．1．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）下列等式恒成立的是 （     ）A．B．C．D．2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知角的终边经过点，且，则（   ）A．B．C．D．3．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）已知，均为单位向量，，则与的夹角为（    ）A．B．C．D．4．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）化简的值为（     ）A．B．1C．D．5．（2025·广东湛江·一模）已知向量，，若，则（   ）．A．B．2C．D．56．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形7．（24-25高一上·河南开封·期末）已知函数，，则下列结论错误的是（   ）A．函数的最小值为2B．函数的单调递增区间是C．函数的图象关于点中心对称D．直线与函数的图象所有公共点的横坐标之和为8．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）如图所示，是直角三角形，，，点D是斜边的中点，点E是线段靠近点A的三等分点，则（   ）A．B．C．0D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项不符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知向量满足，则下列结论错误的有（    ）A．B．若，则C．在方向上的投影向量为D．若，则与的夹角为10．（2025·黑龙江·二模）已知，则（    ）A．B．C．D．11．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）抖音上面的一位名为“汤匙不是钥匙”的博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉除运算有关，前面我们学过向量的点除也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉除运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法错误的是（   ）A．若，则存在实数使得B．C．D．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习） 的值为 ．13．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）若，，则的值为 ，的值为 .14．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为 .解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知.(1)化简函数；(2)若，求的值；(3)若，且，，求的值.16．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，.(1)若，，求的值；(2)证明角、在上述范围下的两角差的余弦公式，即.17．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数．(1)求函数的最小正周期(2)若，求函数的值域；(3)若且，求的值．18．（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)若，求函数的值域；(3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值.19．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.(1)设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标；(2)记向量的相伴函数为.（I）当且时，求的值；（II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.第八章 向量的数量积与三角恒等变换（考试地址：120小时 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是不符合题目要求的．1．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）下列等式恒成立的是 （     ）A．B．C．D．【答案】A【分析】直接由和差角公式展开即可验证ABD；对于C，令代入左边，根据公式展开即可验证.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于 C，因为，故C错误；对于D，因为，故D错误.2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知角的终边经过点，且，则（   ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由已知，利用同角间的关系和正切的二倍角公式即可求解.【详解】因为且角的终边经过点，故角为第二象限角，所以，，所以..3．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）已知，均为单位向量，，则与的夹角为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据向量的数量积公式求出向量夹角.【详解】因为，均为单位向量，所以，所以，即，所以，所以，因为，所以，.4．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）化简的值为（     ）A．B．1C．D．【答案】B【分析】利用差角公式与诱导公式即可求得结果.【详解】由正弦的两角和公式得：，且由诱导公式得：，故5．（2025·广东湛江·一模）已知向量，，若，则（   ）．A．B．2C．D．5【答案】A【分析】根据垂直向量的数量积以及其坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案.【详解】因为，所以，所以，所以．．6．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】B【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状.【详解】由,所以：.因为为三角形内角，所以.所以为等腰三角形.7．（24-25高一上·河南开封·期末）已知函数，，则下列结论错误的是（   ）A．函数的最小值为2B．函数的单调递增区间是C．函数的图象关于点中心对称D．直线与函数的图象所有公共点的横坐标之和为【答案】C【分析】应用三角恒等变换化简，结合正弦型三角函数的性质依次判断各项的正误.【详解】，由，则，当，即时，取最小值为3，A错；由正弦函数的单调性，知和，即和时，单调递增，B错；，但不关于对称，C错；令，则，又，所以或或，即或或，故所有公共点的横坐标之和为，D对.8．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）如图所示，是直角三角形，，，点D是斜边的中点，点E是线段靠近点A的三等分点，则（   ）A．B．C．0D．【答案】B【分析】用、作为一组基底表示、，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】依题意，，，所以，所以.．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项不符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知向量满足，则下列结论错误的有（    ）A．B．若，则C．在方向上的投影向量为D．若，则与的夹角为【答案】BBD【分析】利用向量的数量积定义式和数量积运算律计算可依次判断A,B,D,利用投影向量概念和公式可判断C.【详解】对于A：因为，所以，故A错误；对于B：因为，所以，因为，故B错误；对于C：在方向上的投影向量为，故C错误；对于D：因为，所以，因为，所以与的夹角为，故D错误.BD.10．（2025·黑龙江·二模）已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由三角恒等变换结合同角的三角函数和二倍角公式逐项判断即可.【详解】对于A，，所以，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误；C.11．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）抖音上面的一位名为“汤匙不是钥匙”的博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉除运算有关，前面我们学过向量的点除也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉除运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法错误的是（   ）A．若，则存在实数使得B．C．D．【答案】BCD【分析】运用向量相关的一些性质和运算，包括向量共面的判断、向量点积的计算、向量叉积模长的计算等.对各个选项逐个计算验证即可.【详解】对于A，因为不共面，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误．CD.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习） 的值为 ．【答案】/【分析】先运用诱导公式化简，再应用两角差余弦公式计算即可.【详解】 ．故答案为：．13．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）若，，则的值为 ，的值为 .【答案】 7 /【分析】利用两角和的正切公式求解；利用两角和与差的正弦和余弦公式和商数齐次式求解.【详解】因为，，所以；，，故答案为：7，14．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为 .【答案】【分析】延长至，使得，化简所给条件可知三点共线，取线段的中点，连接，利用向量的减法减法及数量积运算化简，转化为求的最小值.【详解】依题意，解得，延长至，使得，如图，因为，所以点在直线上，取线段的中点，连接，则，显然当时，有最小值，又易知，，所以的最小值为，所以，故的最小值为，故答案为：．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知.(1)化简函数；(2)若，求的值；(3)若，且，，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系化简即可；（2）利用平方关系和商数关系可得，结合（1）中结论求解即可；（3）利用和正切的两角和公式求解即可.【详解】（1）由题意.（2）由（1）得若，则，所以.（3）由（1）得若，，则，，所以，，所以，又因为，所以，，所以.16．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，.(1)若，，求的值；(2)证明角、在上述范围下的两角差的余弦公式，即.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再通过构角，利用正弦的差角公式，即可求解；（2）根据条件得，再利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）因为，则，又，则，又，所以.（2）因为，、在单位圆上，则，，，所以，，则，即.17．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数．(1)求函数的最小正周期(2)若，求函数的值域；(3)若且，求的值．【答案】(1)最小正周期为(2)(3)【分析】(1)根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期；(2)根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域；(3)根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，结合，代入求解.【详解】（1）由题意可得：，所以函数的最小正周期为.（2）因为，则，可得，即，所以函数的值域为.（3）因为，则，且，即，可得，所以，所以.18．（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)若，求函数的值域；(3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期，利用正弦函数的单调区间，求出函数的单调增区间；（2）根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域；（3）根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，借助正弦函数的对称性，求得，的关系，代入求解.【详解】（1），令，，解得，，故函数的单调递增区间为.（2）由，得，则，所以在区间上的值域为.（3）由，得，又，即的两个解为，且，则，即，即，则，所以.19．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.(1)设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标；(2)记向量的相伴函数为.（I）当且时，求的值；（II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)（I）   （II）【分析】（1）利用两角差的正弦公式及两角和的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的相伴特征向量的定义即可求解；（2）（I）根据题意先求得函数的解析式，结合已知条件求得的值，进而求得的值，通过配角的方法并结合两角差的正弦公式即可求解；（II）通过诱导公式化简原式，通过分类讨论的正负，通过参变分离法转化为最值问题即可求解.【详解】（1），∴由题可知：函数的相伴特征向量的坐标.（2）由题可知：向量的相伴函数.（I），，即.，，.；（II）当时，不等式可化为，即恒成立.，.当，即时，，恒成立，.，，；当，即时，，，不等式恒成立；当，即时，，恒成立，.，，.综上，实数的取值范围为..【点睛】恒成立问题多参变分离后转化为最值问题，通过分类讨论等方法快速求出参数范围.