人教B版 (2019)必修 第三册余弦函数的性质与图修课后测评

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册余弦函数的性质与图修课后测评，共65页。试卷主要包含了余弦函数与余弦曲线，余弦函数图象的三种画法，周期性，单调性，对称性，关于函数，则下列结论中等内容，欢迎下载使用。

知识点01 余弦函数的图象
1．余弦函数与余弦曲线：对于任意一个角，都有唯一确定的余弦与之对应，所以是一个函数，一般称为余弦函数。函数的图象成为余弦曲线。
2．余弦函数图象的三种画法
（1）描点法：同正弦曲线的画法，通过列表、描点、连线、作图画出余弦函数在上的图象；
（2）五点法：在函数，的图象上，有5个关键点：，，，，，描出五个关键点后，用平滑的曲线连接，可得，的图象。
（3）平移法：根据诱导公式，可知的图象可由的图象向左平移个单位得到（如图所示）。
【即学即练1】（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0，，π，，2π
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
知识点02 余弦函数的性质
1．定义域与值域：定义域为R，值域为
当且仅当，时，；
当且仅当，时，；
2．奇偶性：偶函数
3．周期性：最小正周期为
4．单调性：单调增区间为；单调减区间为
5．对称性：对称轴为，对称中心为
【即学即练2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．是最小正周期为的偶函数
B．是最小正周期为的偶函数
C．是最小正周期为的奇函数
D．是最小正周期为的奇函数
题型01 五点法作余弦函数图像
【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）用五点法画出函数在区间内的图象．
【变式1】用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】函数的简图是（ ）
B．
C．D．
【变式3】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数.
(1)填写下表，并画出在上的图象；
(2)写出的解集.
题型02 余弦函数与不等式
【典例2】（24-25高一下·黑龙江·阶段练习）函数定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）满足的角的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】函数定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】函数的定义域为 .
【变式4】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在内，使成立的x的取值范围是 ．
题型03 余弦函数的周期性
【典例3】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高一下·山东日照·期中）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．1D．2
【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）若函数的最小正周期是2，则的值为（ ）
A．B．π
C．D．
【变式3】（23-24高三下·湖南岳阳·开学考试）设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（ ）
A．4B．2C．1D．
题型04 余弦函数的奇偶性
【典例4】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）“”是“函数为奇函数”的 （ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（ ）
A．B．1C．1或D．
【变式2】（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数是奇函数，则时， ．
【变式3】（23-24高一下·北京·期末）已知函数为奇函数， 则不不符合的一个的取值可以为 .
【变式4】（23-24高二上·广西贵港·期末）已知函数是奇函数，则 ．
题型05 余弦函数的对称性
【典例5】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是（ ）
A．7B．9C．11D．13
【变式1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的最小值为2
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于坐标原点对称
【变式3】（2024·陕西榆林·二模）若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型06 余弦函数的单调性
【典例6】（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式1】（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高一下·甘肃白银·期中）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增D．的图象关于点对称
【变式3】（2024·全国·模拟预测）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
题型07 根据余弦函数的单调性求参数
【典例7】（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上严格减，实数的取值范围是 .
【变式1】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】 （2024·江西宜春·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ．
【变式3】若函数在上不单调，则实数的取值范围是 .
题型08 利用单调性比较大小
【典例8】（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式中，错误的有（ ）
①；②；③；④
A．①②B．①③C．②③D．③④
【变式1】已知为锐角三角形的两个内角，则以下结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】设，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知定义在上的偶函数满足在区间0,1内单调递增．若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
题型09 余弦函数的值域与最值问题
【典例9】（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数的最小值为（ ）
A．6B．5C．D．
【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）函数，，当 时，fx最小且最小值为 ．
题型10 根据函数值域求参数
【典例10】（23-24高一下·山东日照·期末）设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数的定义域为，值域为，那么的值为（ ）．
A．－6B．－3C．D．
【变式2】（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数，若对任意的实数，在区间上的值域均为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高一下·四川成都·期中）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型11 与余弦函数有关的零点问题
【典例11】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知函数的一个零点是，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25高一上·湖南永州·期末）已知函数在区间上单调递减，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是 .
【变式3】（23-24高一下·上海·阶段练习）设常数，．若函数在区间上恰有2024个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合为
题型12 余弦函数的图像变换
【典例12】（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于对称
C．是的一个零点D．是的一个单调减区间
【变式1】（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（ ）
A．的周期为π
B．若，则
C．将的图像向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数
D．函数在上有2个零点
【变式2】（23-24高一·全国·假期作业）已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高三上·北京·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（ ）
A．为偶函数
B．
C．当时，在上有3个零点
D．若在上单调递减，则的最小值为9
题型13 根据图像求函数的解析式
【典例13】（多选）（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A．
B．
C．函数在区间单调递增
D．当时，函数有8个零点
【变式1】（多选）（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，且函数的图像如图所示，则（ ）
A．
B．若，则
C．已知，若为偶函数，则
D．若在0,π上有两个零点，则的取值范围为
【变式2】（24-25高一上·山西晋城·期末）已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域；
(3)若函数在0,m上恰有5个零点，求m的取值范围.
【变式3】（23-24高一上·山西·期末）如图，已知函数的图象与轴相交于点，图象的一个最高点为．
(1)求的解析式；
(2)将函数y=fx的图象向左平移个单位长度，得到函数y=gx的图象，求函数的所有零点之和．
一、单选题
1．（2021·海南·模拟预测）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）为了得到余弦函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变
3．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数，，则的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．，D．，
5．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称D．若，则的最小值为
6．（2024·天津南开·一模）关于函数，则下列结论中：
①为该函数的一个周期；
②该函数的图象关于直线对称；
③将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象：
④该函数在区间上单调递减.
所有错误结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①②④D．①③④
7．（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高一上·云南昆明·期末）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（22-23高一上·河北唐山·期中）设函数，则（ ）
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在单调递减
10．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数（，，）在处取得最小值，与此最小值点相邻的的一个零点为，则（ ）
A．B．
C．是奇函数D．在上单调递减
11．（24-25高一上·吉林松原·期末）已知函数，则（ ）
A．的最小值为B．为偶函数
C．在上单调递减D．在上有6个零点
三、填空题
12．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的值域为 .
13．（24-25高三上·天津河北·期中）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域 .
14．（24-25高一上·江苏盐城·期末）将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为 .
四、解答题
15．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数．
(1)求函数的最小正周期与单调递增区间；
(2)求函数在区间上的值域．
16．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数.
(1)求函数的对称中心坐标；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)若，求函数的值域.
17．（青海省名校联盟2024-2025学年高一上学期期末联合考试数学试题）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域；
(3)若函数在上恰有两个不同的零点，求的取值范围.
18．（23-24高一下·江西南昌·期中）已知函数（其中，）.
(1)求它的定义域；
(2)求它的单调区间；
(3)判断它的奇偶性；
(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期.
19．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数，对任意，当时，的最小值为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，图象关于轴对称．
(1)求：
(2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围．课程标准
学习目标
1．会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数和y＝Acs(ωx＋φ)的图像．
2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值．
1．通过余弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养．
2．借助余弦函数图像和性质的应用，提升学生的直观想象和数学运算核心素养.
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第09讲 余弦函数的性质与图象
知识点01 余弦函数的图象
1．余弦函数与余弦曲线：对于任意一个角，都有唯一确定的余弦与之对应，所以是一个函数，一般称为余弦函数。函数的图象成为余弦曲线。
2．余弦函数图象的三种画法
（1）描点法：同正弦曲线的画法，通过列表、描点、连线、作图画出余弦函数在上的图象；
（2）五点法：在函数，的图象上，有5个关键点：，，，，，描出五个关键点后，用平滑的曲线连接，可得，的图象。
（3）平移法：根据诱导公式，可知的图象可由的图象向左平移个单位得到（如图所示）。
【即学即练1】（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0，，π，，2π
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
【答案】B
【分析】结合“五点法”作图特征，直接求出结论即可.
【详解】函数的最小正周期为，
用“五点法”作的图象，即作函数在上的图象，
所以五个关键点的横坐标为0，，π，，2π.
知识点02 余弦函数的性质
1．定义域与值域：定义域为R，值域为
当且仅当，时，；
当且仅当，时，；
2．奇偶性：偶函数
3．周期性：最小正周期为
4．单调性：单调增区间为；单调减区间为
5．对称性：对称轴为，对称中心为
【即学即练2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．是最小正周期为的偶函数
B．是最小正周期为的偶函数
C．是最小正周期为的奇函数
D．是最小正周期为的奇函数
【答案】B
【分析】根据余弦函数的周期性和奇偶性即可得解.
【详解】定义域是，关于原点对称，
因为，
所以函数为偶函数，
又，
所以是最小正周期为的偶函数.
.
题型01 五点法作余弦函数图像
【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）用五点法画出函数在区间内的图象．
【答案】作图见解析
【分析】利用一个周期内的五点法作图即可.
【详解】列表如下：
描点、连线得函数在区间内的图象如图所示：

【变式1】用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据五点作图法结合余弦函数的图象即可得解.
【详解】由“五点法”作图知：令，，，，，
解得，即为五个关键点的横坐标.
.
【变式2】函数的简图是（ ）
B．
C．D．
【答案】B
【解析】由cs（﹣x）＝csx及余弦函数的图象即可得解．
【详解】由知，其图象和的图象相同，
故选B．
【变式3】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数.
(1)填写下表，并画出在上的图象；
(2)写出的解集.
【答案】(1)表格见解析，图象见解析
(2)
【分析】（1）令分别等于，，，2π作图.
（2）整体思想：令，求解即可
【详解】（1）
（2）由，得，，
故的解集为
题型02 余弦函数与不等式
【典例2】（24-25高一下·黑龙江·阶段练习）函数定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的解析式有意义，得到，即可求解函数的定义域.
【详解】由题意，函数有意义，则满足，即.
解得，
所以函数的定义域.
.
【变式1】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）满足的角的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用余弦函数的性质即可求解
【详解】结合余弦函数的性质可得，
故满足的角的集合为
【变式2】函数定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的解析式有意义，得到，即可求解函数的定义域.
【详解】由题意，函数有意义，则满足，即
解得，
所以函数的定义域.
.
【变式3】函数的定义域为 .
【答案】，
【分析】利用真数小于0列出不等式，求出定义域.
【详解】由题意得：，即，
所以.
故答案为：，
【变式4】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在内，使成立的x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意在同一个坐标系中画出在内的函数图像，由图求出不等式的解集
【详解】解：在同一个坐标系中画出在内的函数图像，如图所示，
则使成立的x的取值范围是，
故答案为：
题型03 余弦函数的周期性
【典例3】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数最小正周期的求法求得错误答案.
【详解】依题意，的最小正周期.
【变式1】（23-24高一下·山东日照·期中）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定的函数，利用余弦型函数的周期公式计算即得.
【详解】函数的最小正周期是.
【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）若函数的最小正周期是2，则的值为（ ）
A．B．π
C．D．
【答案】B
【分析】根据周期公式即可得到答案.
【详解】依题意．所以ω的值为，
.
【变式3】（23-24高三下·湖南岳阳·开学考试）设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】B
【分析】由题意可得是函数的最小值，是函数的最小值，的最小值就是函数的半周期长.
【详解】函数，若对于任意的，都有，
则是函数的最小值，是函数的最小值，的最小值即为函数的半周期长，
而函数的最小正周期，因此.
题型04 余弦函数的奇偶性
【典例4】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）“”是“函数为奇函数”的 （ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据诱导公式及正弦函数的性质、充分条件和必要条件即可得解.
【详解】当“”时，是奇函数；
当“函数为奇函数”时，不一定为，
如时，是奇函数，
所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.
【变式1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（ ）
A．B．1C．1或D．
【答案】B
【分析】根据余弦函数的奇偶性求出，再根据诱导公式即可得解.
【详解】因为函数是偶函数，
所以，解得，
则.
.
【变式2】（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数是奇函数，则时， ．
【答案】
【分析】由函数为奇函数，可知即可求解.
【详解】因为函数是奇函数，
所以,即,
又因为，所以令，，
故答案为：.
【变式3】（23-24高一下·北京·期末）已知函数为奇函数， 则不不符合的一个的取值可以为 .
【答案】（答案不唯一，）
【分析】由正余弦型函数的奇偶性，结合诱导公式列式求解即得.
【详解】函数为奇函数，则，
所以不不符合的一个的取值可以为.
故答案为：
【变式4】（23-24高二上·广西贵港·期末）已知函数是奇函数，则 ．
【答案】
【分析】由已知结合奇函数的定义即可求解．
【详解】因为是奇函数，则，
所以
即，则，
经检验，满足题意.
故答案为：．
题型05 余弦函数的对称性
【典例5】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是（ ）
A．7B．9C．11D．13
【答案】A
【分析】利用余弦函数图象的对称性，由对称轴和对称中心方程求得的表达式，即可求得其取值.
【详解】根据图象关于直线对称可得，解得;
又关于点对称可得，解得；
经检验当时，不符合题意.
【变式1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据整体法，结合余弦函数的性质即可求解.
【详解】令，可得.
所以当时，，故满足条件.
【变式2】已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的最小值为2
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于坐标原点对称
【答案】A
【分析】根据余弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】的最小正周期，故A错误；
的最小值为，故B错误；
因为，所以的图象关于直线对称，故C错误；
因为，
所以的图象不关于坐标原点对称，故D错误.
.
【变式3】（2024·陕西榆林·二模）若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由余弦函数的对称性直接求解.
【详解】因为的图象关于直线对称，
所以，得，
因为，所以.
.
【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用余弦型函数为奇函数，则初相是，从而可求最小值.
【详解】由题得函数为奇函数，则，，故，
故当时，取得最小值．
.
题型06 余弦函数的单调性
【典例6】（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】先变形，再根据余弦函数的单调性即可求解.
【详解】已知，
令，，得，，
所以函数的单调递减区间为，.
故选：.
【变式1】（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先化简函数，再应用整体代换计算余弦函数的单调减区间即可.
【详解】，
令，则，
所以函数的单调递减区间为．
．
【变式2】（23-24高一下·甘肃白银·期中）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增D．的图象关于点对称
【答案】C
【分析】由求出的范围，结合余弦函数单调性判断AC；代入验证确定对称性判断BD.
【详解】对于AC，当时，，则函数在上先增后减，A，C错误；
对于B，而，则的图象不关于直线对称，B错误；
对于D，，则的图象关于点对称， D错误．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】整体法得到不等式，求出单调递增区间.
【详解】，令，
,
故函数的单调递增区间为.
．
题型07 根据余弦函数的单调性求参数
【典例7】（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上严格减，实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分与讨论，求出的范围，结合余弦函数的单调性即可求解.
【详解】当时，因为，所以.
因为函数在区间上严格减，
所以，解得；
当时，因为，所以，
故不可能满足函数在区间上严格减.
综上所述，，即实数的取值范围是.
故答案为:.
【变式1】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到，结合余弦函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由，可得，
要使得函数在区间上单调递减，
则满足且，解得，即的取值范围是.
.
【变式2】 （2024·江西宜春·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据区间上的长度不小于半个周期求出，再根据的范围确定所满足的范围，由在区间上单调递减，得到的取值范围.
【详解】因为在区间上单调递减，所以，
则，即，所以，
因为，，所以，
因为，所以，，
因为在区间上单调递减，
，所以，解得，
所以的取值范围为．
故答案为：.
【变式3】若函数在上不单调，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求出使函数在上具有单调性的的取值范围，再用集合的补集运算求出不符合题意的的取值范围．
【详解】由题意得，
若函数在上单调递增，
则,
解得：，
所以，
解得，
即，
因为，所以且，
所以， ①
若函数在上单调递减，
则,
解得，
所以，
解得，
即，
因为，所以且，
所以， ②
又因为函数在上不单调，且，
所以的取值为①②所表示的不等式的补集，
即或.
故答案为：或.
题型08 利用单调性比较大小
【典例8】（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式中，错误的有（ ）
①；②；③；④
A．①②B．①③C．②③D．③④
【答案】B
【分析】①由函数在区间内单调递减判断；②由函数在区间内单调递减判断；③由函数在区间内单调递减判断；④由函数在区间内单调递增判断.
【详解】由于，且函数在区间内单调递减，则，①错误；
由于，且函数在区间内单调递减，
则，②错误；
由于，则，③错误；
由于，且函数在区间内单调递增，则，④错误．
【变式1】已知为锐角三角形的两个内角，则以下结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由锐角三角形可知，即，则有.
【详解】为锐角三角形的两个内角，则，即，
，，
余弦函数在上单调递减，所以.
对于等边三角形，A、C、D都不对；
.
【变式2】设，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先判断的范围，再利用指数函数和对数函数的单调性得到的范围，即可比较大小.
【详解】因为，所以，，
所以.
.
【变式3】（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用指数、对数、三角函数的性质，找到中间变量，进行比较即可.
【详解】
，，，
.
故选: C.
【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知定义在上的偶函数满足在区间0,1内单调递增．若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由诱导公式可得，，由余弦函数单调性比较，根据函数fx单调性比较的大小，结合奇偶性可得结论.
【详解】因为，
由，则．
所以，
又在区间0,1内单调递增，
则，
又函数fx为偶函数，故则，
所以．
.
题型09 余弦函数的值域与最值问题
【典例9】（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解.
【详解】因为，所以，则，
故，故的值域为.
故选:C.
【变式1】（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据的取值范围，确定的取值范围，再结合余弦函数的图象可求所给函数的值域.
【详解】因为，所以，
由余弦函数的图象可知：即，故函数的值域为.
【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用余弦型函数的性质求出结果.
【详解】如图为函数在的图象，易知，时，函数的值域为.
.
【变式3】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数的最小值为（ ）
A．6B．5C．D．
【答案】B
【分析】利用换元法结合同角的三角函数关系和二次函数的性质求解即可；
【详解】，
令，所以，
该函数在上单调递增，所以.
.
【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）函数，，当 时，fx最小且最小值为 ．
【答案】
【分析】利用换元法令，由余弦型函数单调性可得的取值范围，再结合二次函数的性质即可得答案.
【详解】令，
∴，
．∵
在上是减函数，∴当，即时，．
故答案为：，.
题型10 根据函数值域求参数
【典例10】（23-24高一下·山东日照·期末）设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，可得在处取得最小值，再结合余弦函数的性质求解即得.
【详解】由对任意的实数x都成立，得在处取得最小值，
则，解得，
所以的最小值是.
【变式1】（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数的定义域为，值域为，那么的值为（ ）．
A．－6B．－3C．D．
【答案】B
【分析】求得复合三角函数值域即可得解.
【详解】因为，所以，，
，，
∴，，
．
【变式2】（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数，若对任意的实数，在区间上的值域均为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据余弦型函数的值域与周期性可得解.
【详解】由，
函数值域为，
又对任意的实数，在区间上的值域均为，
则，
解得，
.
【变式3】（23-24高一下·四川成都·期中）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将问题转化为，，恒成立为真命题，分离参数，再构造函数，利用二次函数可求得最小值，从而可得结果.
【详解】因为命题p是假命题，所以其否定命题为真命题，
即，恒成立，
所以恒成立，
因为，
而，所以，
所以当时，取得最小值，
所以.
题型11 与余弦函数有关的零点问题
【典例11】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据所给角的范围求出的范围，再由余弦函数的图象与性质建立不等式得解.
【详解】当时，.
因为在上有且仅有2个零点，
所以，解得.
【变式1】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知函数的一个零点是，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合零点的定义，有，解方程即可.
【详解】函数的一个零点是，则有，
即，则，即，
所以当时，有最小值.
.
【变式2】（24-25高一上·湖南永州·期末）已知函数在区间上单调递减，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】当时，求出的取值范围，根据函数在区间内的零点个数可得出关于的不等式；当时，求出的取值范围，根据函数在区间上的单调性，可得出关于的不等式组，综合可得出的取值范围.
【详解】因为函数在区间上恰有个零点，
令，可得，当时，，
所以，，解得，
又因为函数在区间上单调递减，
当时，，
则，其中，
所以，，解得，，
由解得，故，则，
综上所述，正实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式3】（23-24高一下·上海·阶段练习）设常数，．若函数在区间上恰有2024个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合为
【答案】
【分析】对函数化简得，利用换元法有，，求出，知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据函数在区间有上个零点，从而求出值.
【详解】由题意，
令，，所以，，
且，则，，，
记的两零点为、，
因为，不妨设，
当时，则，解得，，
可知在（k为正整数）内零点个数为3k，
在内零点个数为，
因为，则；
当，则，，
可知在和（k为正整数）内零点个数均为2k，
所以或；
综上n的所有可能值为：，，.
故答案为：.
题型12 余弦函数的图像变换
【典例12】（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于对称
C．是的一个零点D．是的一个单调减区间
【答案】B
【分析】先根据三角函数图象变换规律求出的解析式，然后逐个分析判断即可.
【详解】将的图象向左平移个单位得, ，
所以，
对于A，的最小正周期为，所以A错误，
对于B，因为，
所以为图象的一条对称轴，即的图象关于对称，所以B错误，
对于C，因为，
所以不是的零点，所以C错误，
对于D，由，得，得，
因为在上单调递增，所以是的一个单调增区间，所以D错误.
【变式1】（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（ ）
A．的周期为π
B．若，则
C．将的图像向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数
D．函数在上有2个零点
【答案】B
【分析】对于A，根据题意确定周期范围，再根据图象关于点对称，结合正弦函数的对称中心求解即可；对于B，由A知，结合余弦函数的最值与周期性质判断即可；对于C，根据三角函数平移性质判断即可；对于D，根据余弦函数值直接求解即可.
【详解】对于A，因为函数在上单调，
所以的最小正周期T满足，即，所以，
因为的图象关于点对称，
所以，得，
所以当时，，所以，故A错误；
对于B，，，
则为，则为半周期，即，故B错误；
对于C，将的图象向右平移个单位长度后得的图象，为奇函数，故C错误；
对于D，，即，
令，当时，，故仅有，故D错误．
.
【变式2】（23-24高一·全国·假期作业）已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由函数，根据三角函数的图象变换得到，令，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.
【详解】函数，向右平移个单位长度，得，
再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，
令，得，所以，
若函数在上没有零点，则需，
所以，所以，
若函数在上有零点，则，
当时，得，解得，
当时，得，解得，
综上：函数在上有零点时，或，
所以函数在上没有零点，.
所以的取值范围是.
.
【变式3】（23-24高三上·北京·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（ ）
A．为偶函数
B．
C．当时，在上有3个零点
D．若在上单调递减，则的最小值为9
【答案】C
【分析】先用诱导公式进行变形，再由平移变换和两角和的正弦公式化简得出函数的解析式，利用定义得出奇偶性，进而判断A，将代入函数，即可判断B，由余弦函数的性质可判断C、D.
【详解】由，
其图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则，
又，则，得，
则，
对A，函数的定义域为，，则函数为偶函数，A错误；
对B，，B错误；
对C，当时，，由，得，
，所以可取，当时，在上有3个零点，C错误；
对D，由，解得，
则函数在单调递减，
因为在上单调递减，所以，解得，即的最小值为5，D错误.
.
题型13 根据图像求函数的解析式
【典例13】（多选）（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A．
B．
C．函数在区间单调递增
D．当时，函数有8个零点
【答案】BCD
【分析】根据图象的振幅、周期求出和的值，根据图象的特殊点和的范围求出的值，可判断选项A、B是否错误；根据求出的解析式及整体替换思想求出的单调增区间可判断C；化简解析式，将一个函数的零点个数问题，转化为两个新函数的交点个数问题可判断D.
【详解】对于选项A，由图知，，得到，
则，选项A错误；
对于选项B，，又因为，
所以，故选项B错误；
对于选项C，当时，，单调递增，所以选项C错误；
对于选项D，，
整理得，，
令，得
观察图象知，和在上共8个交点，
所以在上共有8个零点，故选项D错误.
CD

【变式1】（多选）（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，且函数的图像如图所示，则（ ）
A．
B．若，则
C．已知，若为偶函数，则
D．若在0,π上有两个零点，则的取值范围为
【答案】BCD
【分析】由图象求出的解析式可判断A；若，可得可判断B；由为偶函数可得，求出可判断C；令，即在上有两个零点，可得，解不等式可判断D.
【详解】由题意得，，又由，
可得，又，
所以，故选项A错误；
若，则，
故选项B错误；
若为偶函数，
则，即，故选项C错误；
令，则，
即在上有两个零点，
，解得：，故选项D错误.
CD.
【变式2】（24-25高一上·山西晋城·期末）已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域；
(3)若函数在0,m上恰有5个零点，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据图象可得，，将代入解析式,结合即可得出解析式；
（2）由，得到，根据余弦函数的性质求出值域；
（3）将函数零点问题转化为在0,m上恰有5个解，换元后转化为函数与在区间有5个交点，数形结合，结合余弦函数图象列不等式求解即可.
【详解】（1）由函数的图象，可得，，
则，所以．
将点代入函数解析式可得，
解得，因为，所以，所以；
（2）因为，所以，所以，
所以，即的值域为；
（3）由（1）知，则，
由函数在0,m上恰有5个零点，
即在0,m上恰有5个解，即在0,m上恰有5个解，
因为，所以，
即函数与在区间有5个交点，
由图象知，只需即可，解得，故.
【变式3】（23-24高一上·山西·期末）如图，已知函数的图象与轴相交于点，图象的一个最高点为．
(1)求的解析式；
(2)将函数y=fx的图象向左平移个单位长度，得到函数y=gx的图象，求函数的所有零点之和．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）根据函数图象求出周期，即可求得，再将点代入解析式求出即可；
（2）先根据函数平移的性质求出y=gx，将函数的零点问题转化为函数图象交点的问题，根据函数的对称性求解.
【详解】（1）设的最小正周期为，则，
所以，所以，
又因为函数的图象的一个最高点为，
所以，所以，
所以，
因为，所以，所以．
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
所以，
令，得，
考虑与图象的所有交点的横坐标之和，
函数与的图象都关于点1,0对称，
令，解得，
函数与的图象如图所示：
故两函数的图象有且仅有9个交点从左到右分别为，
所以，，，，
所以，故函数的所有零点之和为9.
一、单选题
1．（2021·海南·模拟预测）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，为对数函数，不是奇函数，不不符合题意，
对于，，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不不符合题意，
对于，，为正弦函数，是奇函数，不不符合题意，
对于，，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，不符合题意，
故选：．
2．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）为了得到余弦函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用余弦函数图象变换判断得解.
【详解】把函数图象上所有的点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得函数的图象.
3．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数，列出不等式，再解三角不等式即得.
【详解】函数的意义，则，即，解得，
所以函数的定义域为.
4．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数，，则的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据题意，由余弦型函数的单调性，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，令，
解得，，
令，则，
令，，
又，所以的单调递增区间是，.
5．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称D．若，则的最小值为
【答案】B
【分析】根据余弦函数的性质一一判断.
【详解】因为，所以的最小正周期，故A错误；
当，则，因为在上单调递增，
所以在上单调递增，故B错误；
因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误；
当，则，所以，
所以在上不存在最小值，故D错误.
6．（2024·天津南开·一模）关于函数，则下列结论中：
①为该函数的一个周期；
②该函数的图象关于直线对称；
③将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象：
④该函数在区间上单调递减.
所有错误结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①②④D．①③④
【答案】A
【分析】对①，根据周期公式求出最小正周期结合周期函数定义判断；对②，根据余弦函数的对称性代入验证；对③，根据平移变换求平移后函数表达式判断；对④，根据余弦函数的单调性求解判断.
【详解】对于①，由周期公式可得，所以函数的最小正周期为，所以，均是其周期.故①错误；
对于②，当时，，所以是其对称轴，故②错误；
对于③，将函数图象向左平移个单位得到，故③错误；
对于④，，，由余弦函数的单调性可知，函数在上单调递减，故④错误.
综上，错误的有①②④.
.
7．（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦函数的单调性求出单调递增区间，可得，解不等式即可得出答案.
【详解】由题意得，函数的增区间为，且，
解得.
由题意可知：.
于是，解得.
又，于是.
.
8．（24-25高一上·云南昆明·期末）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出平移后的函数解析式，再结合余弦函数的性质列式求解.
【详解】依题意，的图象关于直线对称，
则，解得，而，则，
所以当时，取得最小值.
二、多选题
9．（22-23高一上·河北唐山·期中）设函数，则（ ）
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在单调递减
【答案】BBC
【分析】根据余弦函数的性质逐一分析判断即可得解.
【详解】则，故的一个周期为，故A错误；
因为，故的图象关于直线对称，故B错误；
，故的一个零点为，故C错误.
当时，，函数先增后减，故D错误.
BC.
10．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数（，，）在处取得最小值，与此最小值点相邻的的一个零点为，则（ ）
A．B．
C．是奇函数D．在上单调递减
【答案】BC
【分析】由结合题意与余弦型函数的性质可得的解析式，可得A、B；再借助解析式对C、D逐一验证即可.
【详解】由最小值为，，可得，
由在处取得最小值，且与此最小值点相邻的一个零点为，
故，即，又，则，
有，解得，
又，则，即，
故A错误、B错误；
，
由为奇函数，故为奇函数，即C错误；
若，则，
而不是的单调递减区间，
故不是的单调递减区间，
故D错误.
C.
11．（24-25高一上·吉林松原·期末）已知函数，则（ ）
A．的最小值为B．为偶函数
C．在上单调递减D．在上有6个零点
【答案】BC
【分析】根据三角函数和对勾函数的最值可以求得的最值，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，根据复合函数的单调性，判断的单调性，结合三角函数的周期性和对勾函数可以判断零点的个数.
【详解】令，，
当时，在上单调递减，在上单调递增，则；
当时，在上单调递增，在上单调递减，则.
则的值域为，则的最小值为1，故A错误；
因为的定义域为，
，所以为偶函数，故B错误；
在上单调递增，且当时，的值域为.
因为函数在上单调递减，所以在上单调递减，故C错误；
当时，单调递增，的值域为，，
函数在上有5个零点，所以在上有5个零点，故D错误.
C.
三、填空题
12．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的值域为 .
【答案】
【分析】将函数式化为，结合余弦函数值域及二次函数性质求值域.
【详解】由，而，
当时，；
当时，；
综上，函数值域为.
故答案为：
13．（24-25高三上·天津河北·期中）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域 .
【答案】
【分析】先根据平移变换的原则求出函数的解析式，再根据余弦函数的性质即可得解.
【详解】由题意，
因为，所以，所以，
所以函数在区间上的值域为.
故答案为：.
14．（24-25高一上·江苏盐城·期末）将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据图像变换可得，再以为整体，结合余弦函数性质列式求解即可.
【详解】余弦函数的图象向左平移个单位，可得，
再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，可得，
因为，且，则，
由题意可得：，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
15．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数．
(1)求函数的最小正周期与单调递增区间；
(2)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用余弦函数性质求出最小正周期及单调递增区间.
（2）利用相位的范围，结合余弦函数的单调性求出最值即可.
【详解】（1）函数的最小正周期；
由，，得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）由，得，而在上单调递减，在上单调递增，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，而，则，
所以函数在区间上的值域为.
16．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数.
(1)求函数的对称中心坐标；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)若，求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用整体法即可根据求解，
（2）利用整体法即可列不等式求解，
（3）利用整体法求解，即可结合余弦函数的性质求解.
【详解】（1）令，解得：，此时，
的对称中心为；
（2）令，解得：，
的单调递减区间为
（3）当时，，则，
，即的值域为
17．（青海省名校联盟2024-2025学年高一上学期期末联合考试数学试题）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域；
(3)若函数在上恰有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）根据图象周期求出，再由过定点求出，进而求出解析式；
（2）由，得到.整体代入求出最值即可;
（3）由，得到.结合在上有两个不同的零点，得到，解不等式即可.
【详解】（1）由图可得的最小正周期.
因为，且，所以.
因为的图象经过点，所以，
所以，即.
因为，所以，
则.
（2）因为，所以.
当，即时，取得最小值，最小值为；
当，即时，取得最小值，最小值为.
故在上的值域为.
（3）因为，所以.
由gx=0，得，因为在上有两个不同的零点，所以，
解得.
故的取值范围为.
18．（23-24高一下·江西南昌·期中）已知函数（其中，）.
(1)求它的定义域；
(2)求它的单调区间；
(3)判断它的奇偶性；
(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期.
【答案】(1)，；
(2)见解析
(3)非奇非偶函数
(4)周期函数，周期为
【分析】（1）可结合余弦函数的图象，解便可得出的定义域;
（2）可以看出原函数是由和复合而成的复合函数，这样根据余弦函数、对数函数，以及复合函数的单调性便可求出单调区间；
（3）可以看出的定义域不关于原点对称，从而得出为非奇非偶函数；
（4）由为周期函数，且周期为可判断的周期性，并可得出它的周期.
【详解】（1）解得：，
∴，
∴的定义域为，；
（2）设，，
解，得：，
解，得：，
∴
在上单调递增，在上单调递减；
①若，则为增函数，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为;
②若，则为减函数，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）的定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数；
（4）因为为周期函数，且最小正周期为，
所以
所以为周期函数，最小正周期为.
19．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数，对任意，当时，的最小值为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，图象关于轴对称．
(1)求：
(2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意求得，得到，结合三角函数的图象变换得到，根据图象关于轴对称，得出，即可求解；
（2）根据的表达式，结合给定的不等式的条件，求解实数的取值范围．
【详解】（1）解：当时，的最小值为，
所以，
可得，
将的图象向左平移个单位长度得到的图象，
，因为图象关于轴对称，
，，
由于，取，得．
（2）由（1）得到，
由题意，当时，恒成立，
可以转化为，，
化简得到：，
，所以，
，
，
故且，又，
解得：
所以的取值范围为．
课程标准
学习目标
1．会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数和y＝Acs(ωx＋φ)的图像．
2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值．
1．通过余弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养．
2．借助余弦函数图像和性质的应用，提升学生的直观想象和数学运算核心素养.
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