高中人教B版 (2019)函数的平均变化率教案

这是一份高中人教B版 (2019)函数的平均变化率教案，共6页。
板书设计
教学研讨
本节课的内容比较简单，教师提出问题，留给学生更多的时间，让学生自主合作探究解决问题，通过强化概念的应用，加深对概念的理解和记忆.
教师还可以设置多样的生活中的情境与问题，通过利用平均变化率解决实际问题，理解平均变化率的实际意义和几何意义，让学生意识到数学是有用的.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
问题导入
1.物理学中的哪些量与导数有关？
2.利用导数可以解决什么问题？
教师提出问题，学生阅读教材第60页内容，并回答问题.
为学习本章内容做好准备.
问题探究1
探究1 已知某病人服用他克莫司后血药浓度的一些对应数据如下表所示.
（1）当和时,都是增加的,哪个时间段的增加更快?
（2）当时,平均每小时的变化量为多少?这里的平均每小时的变化量有什么实际意义?
结论:（1）由所给数据不难看出,当和时,的增加量分别为
，
因为时间间隔都是,所以时,增加更快.
（2）当时,的变化量为
，
又因为共有,所以平均每小时的变化量为.这说明,在这段时间内,任意1个小时血.药浓度平均减少,此时,任意个小时血药浓度平均淢少.
教师出示问题，学生自主探究，最后教师评价讲解.
为引出平均变化率的概
念做好准备.
概念形成
1.平均变化率的概念
一般地,若函数的定义域为,且,,则
称为自变量的改变量;
称(或为相应的因变量的改变量;
称或为函数
在以为端点的闭区间上的平均变化率,其中“以为端点的闭区间”,在时指的是,而时指的是.
2.平均变化率的实际意义
平均变化率的实际意义是,在以为端点的闭区间上,自变量每增加1个单位,因变量平均将增加个单位.因此,如果自变量增加个单位,那么因变量将增加个单位.
值得注意的是,上述在时是大于0的,在时是小于0的,而且总可以用和表示,即,此时“以为端点的闭区间”也可表述为“以为端点的闭区间”,而且,因此平均变化率
.
3.平均变化率的几何意义
依照定义可知函数在一个区间内的平均变化率,等于这个区间端点对应的函数图像上两点连线的斜率.
例如,图中函数在上的平均变化率,等于直线的斜率,其中.
因此,平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图像)在某一区间上的变化趋势,是曲线倾斜程度的“数量化”,曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”.
教师引导学生理解并掌握平均变化率的概念.
教师讲解平均变化率的实际意义与几何意义，学生发表自己的想法，教师进行评价.
通过师生互动，得出平均变化率的概念，培养学生的数学抽象核心素养.
培养学生的数学抽象与
直观想象核心素养.
问题探究2
探究2 观察前述探究1的数据与下图,思考怎样才能估计出时的值.
结论:可以将图中的线段近似地看成在上的图像,从而由的方程可以算出时的估计值:因为直线的斜率为,且,所以由直线的点斜式可知的方程为,代入,可以算得15.75,也就是说的估计值为.
上述求出估计值的关键是用直线段代替了曲线段,这在数学中简称为“以直代曲”.
教师出示问题，指出：值得注意的是，若将作为时间t的函数，除了根据已知数据得到的点以外，函数图像上的其他点我们是不知道的.例如，函数的图像有可能是图中两条曲线中的任意一条.
教师提示学生可以将图中的线段AB近似地看成在上的图像从而可以算出的估计值.
学生动手计算，得出结论.
教师点出“以直代曲”的思想.
培养学生自主探究问题
的能力与数学应用意识.
问题探究3
探究3 平均速度与平均变化率有什么关系?
结论:从物理学中我们知道,平均速度可以刻画物体在一段时间内运动的快慢.如果物体运动的位移与时间的关系为,则物体在时或时这段时间内的平均速度为
这就是说,物体在某段时间内的平均速度等于在该段时间内的平均变化率.
教师提出问题，学生思考交流，发表自己的想法，教师点评，归纳得出结论.
培养学生分析问题和解
决问题的
能力.
应用举例
例1 求函数在下列区间上的平均变化率.
（1）;
（2）以1和为端点的闭区间.
解 （1）依定义可知
，
即在上的平均变化率为4.
（2）依定义可知
，
即在以1和为端点的闭区间上的平均变化率为.
练习:教材第64页练习第2题.
例2 已知某物体运动的位移是时间的函数,而且时,时,.
（1）求这个物体在时间段内的平均速度;
（2）估计出时物体的位移.
（1）所求平均速度为
.
（2）将在上的图像看成直线,则由（1）可知,直线的斜率为5,且.直线通过点,因此,与的关系可近似地表示为.
在上式中令,可求得,
即时物体的位移可以估计为.
练习:教材第65页练习第3题.
教师操作课件，出示例1，引导学生自己解决问题，让学生板演，然后教师评价讲解.
学生独立完成练习，教师巡视，收集信息，及时评价.
学生自主解决例2，教师引导、评价.
提出问题：（1）如何求平均速度？
（2）解决本题的关键是什么？
学生独立完成练习，教师评价.
通过解决问题，掌握平均变化率的求解方法.
理解平均变化率的实际意义，用以直代曲的方法解决实际问题，强化本节重点.
课堂小结
1.知识
（1）平均变化率的概念、实际意义与几何意义.
（2）平均速度与平均变化率的关系
2.思想方法
数学建模：通过实际问题建立出函数平均变化率的模型.
学生归纳小结，教师补充完善.
构建知识和方法框架，从整体上把握本节所学内容
布置作业
1.教材第64页练习A第3，4题.
2.教材第65页练习B第5题.
学生独立完成，教师批阅.
通过完成作业，巩固本节所学知识.
6.1.1函数的平均变化率
1.平均变化率的概念
2.平均变化率的实际意义
3平均变化率的几何意义
4例题
例1
例2
5小结
6作业