高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册随机变量的数字特征教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册随机变量的数字特征教学设计，共7页。
板书设计
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
情境引入
教材第80页“情境与问题”：
一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5000万元；如果项目失败，将损失3000万元.设这个项目成功的概率为p，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面考虑，则p满足什么条件时你才会对该项目进行资助？为什么？
课题：《随机变量的数字特征》
教师出示“情境与问题”，学生思考.
教师引导学生思考：如何计算平均收益呢？引导学生从，这两种特殊情况考虑后，再思考当p取一般值时如何计算平均收益.
学生回忆平均数的含义，联想给定具体样本数据求平均值的学习经验，类比得出可以用分别估计表示成功和失败的次数，然后算出平均数.
教师肯定学生的结论，引出课题并板书.
从生活中常见的一种商业现象入手,创设情境，激发学生的兴趣和求知欲望，引导学生的思维方式，让学生学会用数学的眼光关注身边的实际问题.
知识
生成（1）
1.一般地,如果离散型随机变量的
分布列如下表所示:
则称
为离散型随机变量的
均值或数学期望(简称为期望).
离散型随机变量的均值也可用表示,它刻画了的平均取值.在离散型随机变量的分布列的直观图中,处于平衡位置.
例1 已知随机变量服从参数为的两点分布,求.
解 因为只能取1,0这两个值,而且,所以
.
2.（1）若服从参数为的两点分布,则.
（2）若服从参数为的二项分布,即,则.
（3）若服从参数为的超几何分布,即,则.
3.若与都是随机变量,且,则由与之间分布列的关系可知
.
例2体验时,为了确定体检人是否患有某种疾病,需要对其血液进行化验.若结果呈阳性,则患有该疾病;若结果呈阴性,则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为,化验结果不会出错,而且各体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液有待检查,有以下两种化验方案：
方案甲:逐个检查每位体检人的血液；
方案乙:先将5位体检人的血液混在一起化验一次,若呈阳性,则再逐个化验;若呈阴性,则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束.
（1）哪种化验方案更好?
（2）如果每次化验的费用为100元,求方案乙的平均化验的费用.
解 （1）方案甲中,化验的次数一定为5次.
方案乙中,若记化验次数为,则的取值范围是,因为5人都不患病的概率为49,
因此,
从而
.
这就是说,方案乙的平均检查次数不到5次,因此方案乙更好.
（2）若记方案乙中,检査贺用为元,则,从而可知
，
即方案乙的平均化验费用为元.
教师列出“情境与问题”中涉及的分布列，分析平均收益的特点—刻画X的平均水平.
学生体会、理解.
教师给出均值的概念，并引导学生思考：此处的均值与给定具体样本数据的平均数之间的联系.
学生思考、回答.
教师板书定义，并从定义、记法、含义等方面进行剖析.
学生熟悉定义、理解内涵.
教师出示例1，以提问的方式请学生回答.
学生根据定义回答问题.
教师继续给出另外两类特殊分布（二项分布与超几何分布）的均值计算公式（根据学生具体情况决定是否要进行推导或交给学生自己推导）.
学生梳理常见分布模型的均值计算公式.
教师出示教材第82页“尝试与发现”栏目，请学生独立完成.
学生思考、猜想结论，并进行推导.
教师投影学生的推导过程，并进行补充、点评.
教师出示例2，请学生板演.巡视课堂，了解学生存在的问题并作好记录.
学生板演，其他学生在练习本上完成.
教师对学生的板演进行点评，并指出学生在解题过程中存在的问题.同时规范答题过程.
从具体到一般，理解“平均值”的内涵，经历生成离散型随机变量的均值的过程，提升数学抽象和逻辑推理核心素养.
通过例题的处理，加深学生对概念的理解，突破重难点，提升学生逻辑推理与数学建模核心素养.
总结出几种特殊分布模型的均值计算公式，方便以后直接使用.
通过例2让学生进一步掌握特殊分布模型的均值计算公式和“
”型均值的计算方法，体会均值在实际生活中的应用价值.
知识
生成（2）
1.如果离散型随机变量的分布列如下表所示：
因为的均值为,所以
能够刻画相对于均值的离散程度(或波动大小），这称为离散型随机变量X的方差.
离散型随机变量的方差也可用表示.一般地,称为离散型随机变量的标准差,它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度（或波动大小).
例3 已知随机变量服从参数为的两点分布,求.
解 因为只能取1,0这两个值,而且,所以
.
2.（1）若服从参数为的两点分布,则.
（2）若服从参数为的二项分布,即,则.
3.若与都是离散型随机变量,且,则由与之间分布列和均值之间的关系可知
例4 已知一批产品的次品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取50次,用表示抽到的次品数.
（1）求；
（2）假设抽出的产品需要送往专门的检测部门检测,检测费用元与次品数有关,且,求.
解 （1）因为服从的是参数为50,
的二项分布,即,
因此
.
（2）由可知
4.概率模型的三个解答步骤.
（1）审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些.
（2）确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值和方差.
（3）对照实际意义,回答概率、均值、方差等所表示的结论.
教师继续出示教材第83页“情境与问题”，请学生计算均值.
学生根据计算公式算出均值.
教师引导学生思考如何衡量他们的发挥稳定性呢？
学生类比前面得到均值的学习过程，计算出两组数据的方差，并给出问题的答案.
教师介绍方差的概念，同时从记法、意义等方面同学生进行交流.
教师引导学生类比两点分布的均值公式，推导两点分布的方差公式.
学生自行推导完成例3.
教师补充二项分布的方差计算公式（视学生具体情况决定是否要继续推导），学生理解、记忆.
教师出示教材第85页“尝试与发现”栏目，引导学生类比研究方差的性质.
学生思考、分析、推导.
教师对学生的成果进行点评、补充.
教师请两位学生板演例4，并巡视课堂，了解学生的解题情况，并对学困生进行辅导.
学生板演，其他学生补充.
教师对学生的解题情况进行点评，规范答题格式.
教师引导学生根据例2、例4的思考过程，总结解题步骤和方法.
学生回顾解题思路，总结解题方法.
师生共同梳理解题步骤和方法.
创设情境，引导学生类比学习，自主探究.
通过例题的处理，突破重难点，培养学生解决问题的能力，强化学生答题规范性的意识，注意提醒学生要规范解题步骤，注意总结答题的步骤和方法，进一步提升学生数学运算与逻辑推理等数学核心素养.
归纳小结
本节课你学到了哪些知识？还存在哪些问题？
教师引导学生分组回答，小组评价.
培养学生概括总结、自我反思的能力.
布置作业
教材第86页练习A第1，3，5题.
学生独立完成，教师批改.
巩固知识.
随机变量的数字特征
1.一般地,如果离散型随机变量的分布列如下表所示；
则称为离散型随机变量的均值或数学期望（简称为期望）.
离散型随机变量X的均值也可用EX表示，它刻画了X的平均取值在离散型随机变量X的分布列的直观图中,处于平衡位置
例1
2.（1）若服从参数为的两点分布,则.
（2）若服从参数为的二项分布,即,则.
（3）若服从参数为的超几何分布,即,则
3.若与都是随机变量,且,则由与之间分布列的关系可知
例2
4.如果离散型随机变量的分布列如下表所示:
因为的均值为.所以
能够刻画X相对于均值的离散程度（或波动大小），这称为离散型随机变量X的方差.
离散型随机变量的方差也可用表示.一般地,称为离散型随机变量的标准差,它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度（或波动大小）
例3
5.（1）若服从参数为的两点分布,则.
（2）若服从参数为的二项分布,即,则
6.若与都是离散型随机变量,且,则由与之间分布列的均值之间的关系可知
例4
7.小结与作业