高中数学4.2.4 随机变量的数字特征课后作业题

www.ks5u.com课时素养检测十五　离散型随机变量的方差

(30分钟　55分)

一、选择题(每小题5分，共25分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1.(多选题)若随机变量X服从两点分布，其中P=，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是              (　　)

A.P(X=1)=E(X)   B.E(3X+2)=4

C.D(3X+2)=4    D.D=

【解析】选AB.随机变量X服从两点分布，其中P=，所以P(X=1)=，

E(X)=0×+1×=，

D(X)=×+×=，

在A中，P(X=1)=E(X)，故A正确；

在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=3×+2=4，故B正确；

在C中，D(3X+2)=9D(X)=9×=2，故C错误；

在D中，D(X)=，故D错误.

2.随机变量X的分布列如下：

若E(X)=，则D(X)的值是 (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选D.由题设可得a+b=，b-a=⇒a=，b=，

所以由数学期望的计算公式可得：

E(X)=-1×+0×+1×=，

D(X)=×+×+×=.

3.随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)=1.1，则D(ξ)= (　　)

A.0.36 B.0.52 C.0.49 D.0.684

【解析】选C.先由随机变量分布列的性质求得p=.由E(ξ)=0×+1×+x=1.1，得x=2，

所以D(ξ)=(0-1.1)2×+(1-1.1)2×+(2-1.1)2×=0.49.

4.已知随机变量X的取值为1，2，3，若P=，E=，

则D= (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选C.设P(X=1)=p，P(X=2)=q，

所以E(X)=p+2q+3×=①，

+p+q=1②，

由①②得，p=，q=，所以D(X)=×+×+×=.

5.已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则 (　　)

A.E(ξ)<E(η)，D(ξ)<D(η)

B.E(ξ)<E(η)，D(ξ)>D(η)

C.E(ξ)<E(η)，D(ξ)=D(η)

D.E(ξ)=E(η)，D(ξ)=D(η)

【解析】选C.由题意得E(ξ)=1×+2×+3×=，

D(ξ)=×+×+×=；

E(η)=1×+2×+3×=，

D(η)=×+×+×=，所以E(ξ)<E(η)，D(ξ)=Dη.

二、填空题(每小题5分，共10分)

6.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)=E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的包装质量较好. 

【解析】因为E(X1)=E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的包装质量稳定.

答案：乙

7.已知随机变量X的分布列为：

随机变量Y=2X+1，则X的数学期望E(X)=________；Y的方差D(Y)=________. 

【解析】由随机变量X的分布列得：++a=1，解得a=，所以E(X)=-1×+0×+1×=-，

D(X)=×+×+×=，因为随机变量Y=2X+1，

所以Y的方差D(Y)=4D(X)=.

答案：-　

三、解答题(每小题10分，共20分)

8.已知随机变量X的分布列为

若E(X)=.

(1)求D(X)的值；(2)若Y=3X-2，求D(Y)的值.

【解析】 由++p=1，得p=，

又E(X)=0×+1×+x=，所以x=2.

(1)D(X)=×+×+×==.

(2)因为Y=3X-2，所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.

9.甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定由甲先射击.

(1)求甲获胜的概率；

(2)求射击结束时甲的射击次数x的分布列和数学期望及方差.

【解析】(1)记甲第i次射中获胜为Ai，则A1，A2，A3彼此互斥，甲获胜的事件为A1+A2+A3，因为P=，P=××=，

P=××=，

所以P=P+P+P

=++=，即甲获胜的概率为.

(2)X所有可能的取值为1，2，3.则P=+×=，P=××+×××=，

P=××1=.

所以X的分布列为

所以X的数学期望E(X)=1×+2×+3×=，

X的方差D(X)=×+×+×=.

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1.已知ξ的分布列为

则在下列式中①E(ξ)=-；②D(ξ)=；

③P(ξ=0)=.正确的个数是 (　　)

A.0   B.1   C.2   D.3

【解析】选C.由题意，根据随机变量的分布列的期望与方差的计算公式可得：

E=(-1)×+0×+1×=-，所以①正确；

D=×+×+×=，所以②不正确；

又由分布列可知P(ξ=0)=，所以③正确.

2.已知随机变量X+ξ=8，若X～B，则E，D分别为 (　　)

A.6和2.4   B.6和5.6

C.2和2.4   D.2和5.6

【解析】选C.因为X～B，所以E=10×0.6=6，D=10×0.6×0.4=2.4.

因为X+ξ=8，所以ξ=8-X，由期望和方差的性质可得E=E=8-E=2，D=D=D=2.4.

3.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为

若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则下列结果正确的有 (　　)

A.q=0.1       B.E(X)=2，D(X)=1.4

C.E(X)=2，D(X)=1.8   D.E(Y)=5，D(Y)=7.2

【解析】选ACD.因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1，所以q=0.1，故A正确；又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2，

D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8，故C正确；因为Y=2X+1，所以E(Y)=2E(X)+1=5，D(Y)=4D(X)=7.2，故D正确.

4.设0<p<1，随机变量ξ的分布列是

则当p在(0，1)内逐渐增大时 (　　)

A.D(ξ)增大      B.D(ξ)减小

C.D(ξ)先增大后减小   D.D(ξ)先减小后增大

【解析】选A.因为0<p<1，所以由随机变量ξ的分布列的性质得E=×+0×+1×=-，

D=×+×+×=-+，

所以当p在(0，1)内增大时，D(ξ)递增.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ=0)=，E(ξ)=1，则D(ξ)=________. 

【解析】设P(ξ=1)=a，P(ξ=2)=b，则解得所以D(ξ)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.

答案：

6.已知不透明口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球).记换好后袋中的白球个数为X，则X的数学期望E(X)=________，方差D(X)=________. 

【解析】依题意可知X的可能取值为1，3，且P=，P=.故X的分布列为

所以E=1×+3×=，D=×+×=.

答案：　

7.已知随机变量X的分布列为

当D(X)最大时，E(X)=________. 

【解析】由题知b=1-3a，所以E(X)=2a+2(1-3a)=2-4a，

D(X)=(4a-2)2·a+(4a-1)2·2a+(4a)2·(1-3a)=-16a2+6a，故当a=时D(X)最大，此时E(X)=.

答案：

8.随机变量X的概率分布为P(X=n)=(n=1，2，3)，其中a是常数，则D=________. 

【解析】由题意得++

=a=a=1，

则a=，所以P=，P=，

P=，则E(X)=++=，D(X)=×+×+×=，所以D(aX)=a2D(X)=.

答案：

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.某实验中学从高二年级部中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1个相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级6名选手，现从每个班级6名选手中随机抽取3人回答这个问题.已知这6人中，甲班级有4人可以正确回答这道题目，而乙班级6人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的.

(1)求甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率；

(2)分别求甲、乙两个班级能正确回答题目人数的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？

【解析】(1)甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率为×=.

(2)甲班级能正确回答题目的人数为X，X的取值分别为1，2，3，P(X=1)==，P(X=2)==，

P(X=3)==，则E(X)=1×+2×+3×=2，D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=.

乙班级能正确回答题目的人数为Y，Y取值分别为0，1，2，3，因为Y～B，所以E(Y)=3×=2，D(Y)=3××=，由E(X)=E(Y)，D(X)<D(Y)可得，由甲班级代表学校参加大赛更好.

10.天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概率为，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响.

(1)分别求甲、乙两地降雨的概率；

(2)在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，求X的分布列和数学期望与方差.

【解析】(1)设甲、乙两地降雨的事件分别为A，B，且P(A)=x，P(B)=y.

由题意得解得

所以甲地降雨的概率为，乙地降雨的概率为.

(2)在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为P=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×=.

X的可能取值为0，1，2，

P(X=0)==，

P(X=1)==，

P(X=2)==，

P(X=3)==，

所以X的分布列为：

所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.

方差D(X)=×+×+×+×=.