人教B版高中数学选修2 第三章《排列、组合、与二项式定理》综合测试题 含答案

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《排列、组合与二项式定理》综合测试 第I卷选择题(共60分) －、单项选择题 1.（2020铁路二中月考）二项式的展开式中的系数为（ ） A.6 B.15 C.20 D.28 2.（2020黄石二中模拟）某校在高二年级开设选修课,其中数学选修课开三个班,选课结束后,有4名同学要求改修数学,但每班至多可再接收2名同学,那么不同的分配方案有（ ） A.72种 B.54种 C.36种 D.18种 3.（2020青岛调研）如图,用四种不同的颜色给图中的,六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色,而且四种不同的涂色要全部用完,则不同的涂色方法共有（ ） A.144种 B.216种 C.264种 D.360种 4.（2020咸宁调考）若,则的值为（ ） A.5 B.3 C.6 D.7 5.（2020沈阳四中检测）从数字中任取三个数字,组成没有重复数字的三位数,则这个三位数大于400的概率是（ ） A. B. C. D. 6.（2020宜宾模拟）在新高考改革中,学生可先从物理、历史两科中任选一科,再从化学、生物、政治,地理四门学科中任选两科参加高考。现有甲、乙两名学生若按以上选科方法,选三门学科参加高考,则甲、乙两人恰有一门学科相同的选法有（ ）种. A.24 B.30 C.48 D.60 7.（2020正定中学模拟）从三个数中选两个数字,从0,2两个数中选一个数字,组成没有重复数字的三位数,其中奇数的个数为（ ） A.6 B.12 C.18 D.24 8.（2020呼铁一中检测）现有5项工程由甲、乙、丙3个工程队承包,每队至少一项,但甲承包的项目不超过2个,不同的承包方案有（ ）种 A.130 B.150 C.220 D.240 二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分) 9.（2020山东济南联考）下面结论正确的是（ ） A.所有元素完全相同的两个排列为相同排列 B.一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序 C.两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 D.排列定义规定给出的个元素各不相同,并且只研究被取出的元素也各不相同的情况,也就是说,如果某个元素已被取出,则这个元素就不再取了 10.（2020德州一中月考）下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11.（2020日照一中检测）的展开式中,系数最大的项为（ ） A.第3项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 12.（2020育才中学模拟）若的展开式的中间三项满足,则的值为（ ） A.4 B. C.2 D. 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 三、填空题 13.（2020黄冈中学模拟）如图，有7个白色正方形方块排成一列，现将其中4块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有_____种. 14.（2020武汉模拟）已知，则_____. 15.（2020胜利一中模拟）某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择。已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为_____.（用数字作答） 16.（2020抚顺中学检测）将的展开式写成按升幂排列的和的形式，那么所有奇数项的系数和为_____,所有奇次项的系数和为_____. 四、解答题 17.（2020海南二中高二月考）设.求: （1）； （2）. 18.（大连八中高三模拟）用这五个数字可以组成多少个无重复数字的: （1）四位密码? （2）四位数? （3）四位奇数? 19.（2020寿光现代中学高二期末）已知4名学生和2名教师站在一排照相，求 （1）中间两个位置排教师，有多少种排法？ （2）2名教师不能相邻的排法有多少种？ （3）2名教师不站在两端，且必须相邻，有多少种排法？ 20.(2020肥城期中)已知关于的二项式的展开式的二项式系数之和为1024,常数项为180. （1）求和的值; （2）求展开式中的无理项(不需求项的表达式,指出无理项的序号即可). 21.（2020浏阳一中高三模拟）函数(为实数且是常数). （1）已知的展开式中的系数为,求的值; （2）已知,是否存在的值,使在定义域中取任意值时恒成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 22.（2020黄冈中学高三模拟）如图，在杨辉三角中，从第2行开始，除1以外，其他每个数值是它上面的两个数值之和. （1）试用组合数表示这一规律； （2）在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由. 参考答案 1. 答案：B 解析：二项式展开式的通项公式为,令,解得,所以的系数为.故选B. 2. 答案：B 解析：分两种情况讨论:(1)其中一个班接收2名、另两个班各接收1名,分配方案共有(种);(2)其中一个班不接收、另两个班各接收2名,分配方案共有(种).因此,满足题意的不同的分配方案有(种).故选B. 3. 答案：B 解析：由题意,四种颜色都用到,先给三点涂色,有种涂法,再给涂色,因为中必有一点用到第四种颜色,有种涂法,所以另外两点用到三点所用颜色中的两种,有种涂法,此时涂法确定,由分步乘法计数原理得共有(种).故答案为B. 4. 答案：A 解析：根据题意,若,则有3),即,解得舍去).故答案为. 5. 答案：A 解析：由题意得总的三位数个数为,这个三位数大于400的个数为,由古典概型概率公式得.故答案为A. 6. 答案：D 解析：分为两类:第一类,物理、历史两科中是相同学科,则有(种)选法;第二类,物理、历史两科中无相同学科,则有(种)选法.所以甲、乙两人恰有一门学科相同的选法有(种). 7. 答案：C【解析】由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇,因此总共有(种).故选C. 8. 答案： 解析：若5项工程分为三组,每组的工程数分别为,则不同的承包方案有(种);若5项工程分为三组,每组的工程数分别为,则不同的承包方案有90(种).故总的不同承包方案为(种). 二、多项选择题 9. 答案：CD 解析：A错误,当两个排列的所有元素完全相同,但其排列顺序不同时,仍然不是相同排列,所以错误.B错误,因为相同的组合与元素的顺序无关,只与元素是否相同有关,所以该说法错误.C正确,当两个组合的元素完全相同时,能得出这两个组合是相同组合;当两个组合相同时,能得出它们的元素完全相同.正确,由定义易知,取出的元素各不相同,因此取了的就不能再取了. 10. 答案：ABC 解析: , 所以正确；,所以正确;显然是正确的;,所以不正确. 11. 答案：BD 解析：依据二项展开式中二项式系数与对应项的系数的绝对值相等,由二项式系数的最大值来确定系数的最大值.由于二项式系数最大的项为,且中的二项式系数等于项的系数的相反数,所以的系数最小.而,且,所以系数最大的项为第5项和第7项. 12. 答案：BC 解析:依题意有.由于,可整理得, 解得或.故选. 三、填空题 13. 答案：14 解析：由题意可判断第一格涂黑色,则在后6格中有3个涂黑色,共有（种）涂法.满足从左往右数,无论数到第几块,黑色方块总少于白色方块的有:（1）第2,3格涂白色共4种涂法,（2）第格涂白色共1种涂法,（3）第格涂白色共1种涂法。所以满足从左往右数,无论数到第几块,黑色方块总不少于白色方块的涂法有（种）. 14. 答案：2 解析, ， 由, 解得舍去).故答案为2. 15. 答案：132 解析：分类讨论:甲选包子,则有2人选同一种主食,方法为（种）,剩下2人选其余主食,方法为（种）,共有方法（种）.甲不选包子,其余4人中1人选包子,方法为4种,甲选花卷或面条,方法为2种,其余3人,若有1人选甲选的主食,剩下2人选其余主食,方法为（种）;若没有人选甲选的主食,方法为（种）,共有96（种）.故共有（种）. 16. 答案： 解析：设 则所有奇数项的系数和为, 所有奇次项的系数和为, 令,则, 令,则 由 = 1 \* GB3 ①+ = 2 \* GB3 ②,得. 由 = 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②,得. 所以所有奇数项的系数和为384, 所有奇次项的系数和为. 四、解答题 17. 答案：见解析 解析：（1）令,可得,即,令,可得,据此可得 （2）令,可得， = 1 \* GB3 ① 令,可得, = 2 \* GB3 ②  = 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②可得, 所以. 18. 答案：见解析 解析：（1）可组成（个）. （2）依次确定千、百、十、位,有（个）. （3）依次确定个位、首位、百位、十位,有36（个）. 19. 答案：见解析 解析：（1）4名学生和2名教师站在一排照相,中间两个位置排教师,先排教师再排学生,有(种)排法. （2）2名教师不能相邻,先排4名学生,再利用插空法排2名教师,有（种）排法. （3）2名教师不站在两端,且必须相邻,先在中间四个位置选两个相邻位置排教师,再排学生,有（种）排法. 20. 答案：见解析 解析：（1）由题意可知,所以. 所以二项展开式的通项公式为 令,解得,所以第3项为常数项,即180,解得. （2）当不是整数时,二项展开式中对应的项为无理项. 因为,所以取奇数时即为所求,此时对应的项分别是第2项、第4项、第6项、第8项、第10项。即该二项展开式中是无理项. 21. 答案：见解析 解析：（1）的展开式的通项为.,由,解得,所以,所以. （2）存在.依题意,得.而要,只要.因为,所以,解得.所以存在的值,且时满足题意. 22. 答案：见解析 解析：（1）因为在杨辉三角中,从第2行开始,除1以外,其他每个数值是它上面的两个数值之和,所以用组合数表示这一规律为. （2）存在.杨辉三角的第行由二项式系数组成. 若第行中有三个相邻的数之比为,则,即,解得, 即第62行有三个相邻的数的比为.