高中3.1.2 排列与排列数习题

www.ks5u.com课时素养检测三　排列数的应用

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1.6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法种数为 (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选D.将3个空位看成一个整体，问题转化为4个元素全排列问题，即.

2.正方体的8个顶点可以确定的不同的空间向量的个数是 (　　)

A.64   B.56   C.512   D.16

【解析】选B.因为向量有方向，所以从8个顶点中选取2个顶点的排列数=8×7=56就是所求.

3.某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　)

A.720种   B.360种   C.300种   D.600种

【解析】选C.先安排好除丙之外的5个节目，有=60种可能，再安排丙，有5种可能，共300种方案.

4.由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数中是5的倍数的有(　　)

A.120个　　　 B.30个　　　 C.36个　　　 D.48个

【解析】选C.因为5的倍数的特征是个位数字为5或0，所以按照个位数字分为两类：

当个位数字为5时，首位数字从1，2，3，4中选一个，十位数字从0及余下的3个数字中选一个，所以有4×4=16个；当个位数字为0时，前面两位数字从1，2，3，4，5中选2个排列，所以有=5×4=20个，

所以所求的三位数有16+20=36个.

5.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有              (　　)

A.50种   B.60种   C.120种   D.210种

【解析】选C.先安排甲学校的参观时间，因为甲学校连续参观两天，可以是周一周二，可以是周二周三，可以是周三周四，可以是周四周五，可以是周五周六，可以是周六周日，所以共有种方法，然后在剩下的5天中任选两天有序地安排其余两校参观， 安排方法有种，按照分步乘法计数原理可知共有=120种不同的安排方法.

6.(多选题)一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有 (　　)

A.240种   B.种   C.·种   　D.480种

【解析】选CD.将四人排成一排共种排法，产生5个空位，将五个空椅和一个空椅构成的两个元素插入共种放法.由分步乘法计数原理知满足条件的坐法共·=480(种).

二、填空题(每小题5分，共10分)

7.在学校国庆文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有________种.(用数字填写答案) 

【解析】把6个节目按照先后出场顺序依次记为编号1，2，3，4，5，6，则3名男教师只有(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，6)，(2，4，6)共4种位置安排，由于夫妻教师的节目又不能相邻，可得以上4种安排的每种安排里，3名女教师的安排均是1种，故该6名教师的节目不同的编排顺序共有4=24种.

答案：24

8.三个女生和五个男生排成一排.

(1)如果女生必须全排在一起，可有_______种不同的排法. 

(2)如果女生必须全分开，有_______种不同的排法. 

【解析】(1)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有六个元素，排成一排有种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有种排法，因此共有·=4 320种不同排法.

(2)先排5个男生，有种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有种排法，因此共有·=14 400种不同排法.

答案：(1)4 320　(2)14 400

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.由0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的自然数.

(1)有多少个含2，3，但它们不相邻的五位数？

(2)有多少个含数字1，2，3，且必须按由大到小顺序排列的六位数？

【解析】(1)先不考虑0是否在首位，0，1，4，5先排三个位置，则有个，2，3去排四个空档，有个，即有个；而0在首位时，有个，即有-=252个含有2，3，但它们不相邻的五位数.

(2)在六个位置先排0，4，5，先不考虑0是否在首位，则有个，去掉0在首位，即有-个，0，4，5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1，2，3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有-=100个六位数.

10.七名班委中有A，B，C三人，有七种不同的职务，现对七名班委进行职务具体分工.

(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？

(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？

【解析】(1)先排正、副班长有种方案，再安排其余职务有种方案，依分步乘法计数原理知，共有=720种分工方案.

(2)七人中任意分工方案有种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的分工方案有-=3 600(种).

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.3个老师和5个同学照相，老师不能在最左端，任何两位老师不能相邻，则不同的排法种数是              (　　)

A.　 B.　 C.　 D.

【解析】选C.先排学生，有种排法，再排教师，在学生之间去掉最左端的5个间隔中选3个排列，有种排法，故共有种排法.

2.《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词.在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有              (　　)

A.288种   B.144种   C.720种   D.360种

【解析】选B.根据题意分2步进行分析：①将《将进酒》《望岳》和另外两首诗词全排列，则有=24种顺序，因为《将进酒》排在《望岳》的前面，所以这4首诗词的排法有=12种.

②这4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有=12种安排方法，则后六场的排法有12×12=144种.

3.从集合{1，2，3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程+=1中的a和b，则能组成落在矩形区域B={(x，y)||x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为(　　)

A.43   B.72   C.863   D.90

【解析】选B.在1，2，3，…，8中任取两个作为a和b，共有=56个椭圆；在9，10中取一个作为a，在1，2，3，…，8中取一个作为b，共有=16个椭圆，由分类加法计数原理，知满足条件的椭圆的个数为56+16=72.

4.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B，C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有              (　　)

A.24种   B.96种   C.120种   D.144种

【解析】选B.先安排程序A，从第一步或最后一步选一个，有种，再把B，C看成一个整体和其余三个程序编排，有种，最后B，C排序，有种，故共有=96种.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条. 

【解析】易知过原点的直线方程的常数项为0，则C=0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有=30(条).

答案：30

6.将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种.(用数字作答) 

【解析】不考虑A，B，C的位置限定时有=720种，只考虑A，B，C三个字母的顺序有=6种，而A，B在C的同侧有2=4(种)，故满足条件的排法有×=480(种).

答案：480

7.3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，共有________种排法.(用数字作答) 

【解析】第1步，3名男生站成一排，有种排法；

第2步，插入女生，女生只能插入3名男生形成的前3个空档或后3个空档中，有2种插法.

由分步乘法计数原理可知，共有2·=72种排法.

答案：72

8.5位同学排队演出，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能相邻，且女生甲不能排在第一位，则排法种数为________. 

【解析】若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，有2×3×=36种排法；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则将剩余的2位女生排列好，2位男生插空，有2××=24种排法.故所有的排法种数为36+24=60.

答案：60

三、解答题(每小题10分，共30分)

9.用1，2，3，4，5，6，7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？

(1)偶数不相邻；

(2)偶数一定在奇数位上；

(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；

(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.

【解析】(1)用插空法，共有=1 440(个).

(2)先把偶数排在奇数位上有种排法，再排奇数有种排法，所以共有=576(个).

(3)在1和2之间放一个奇数有种方法，把1，2和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列有种排法，所以共有=720(个).

(4)七个数的全排列为，三个偶数的全排列为，所以满足要求的七位数有=840(个).

10.5男5女共10名同学排成一行.

(1)女生都排在一起，有几种排法？

(2)女生与男生相间，有几种排法？

(3)任何两个男生都不相邻，有几种排法？

(4)5名男生不排在一起，有几种排法？

(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？

【解析】(1)将5名女生看作一人，就是6个元素的全排列，有种排法，又5名女生内部有种排法，所以共有·=86 400种排法.

(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，所以女生与男生相间共有2·=28 800种排法.

(3)女生先排，女生之间及首尾共有6个空.任取其中5个安插男生即可，因而任何男生都不相邻共有·=86 400种排法.

(4)直接分类较复杂，可用间接法.即从10个人的排列总数中减去5名男生排在一起的排法数，得5名男生不排在一起的排法数为-=3 542 400.

(5)先安排2个女生排在男生甲、乙之间，有种方法；又甲、乙之间还有种排法， 这样就有·种排法，然后把他们4人看成一个元素(相当于一个男生)，再从这一元素及另3名男生中，任选2人排在首尾，有种排法，最后再将余下的2名“男生”、3名女生排在中间，有种排法.故总排法数为=57 600.

11.从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.

(1)甲不在首位的排法有多少种？

(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？

(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？

(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？

【解析】(1)方法一：把元素作为研究对象.

第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有种排法.

第二类，含有甲，甲不在首位.先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，有4×种排法.

由分类加法计数原理知，共有+4×=2 160(种)排法.

方法二：把位置作为研究对象.

第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有种方法；

第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种方法.

由分步乘法计数原理知，共有·=2 160(种)排法.

方法三：(间接法)：先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉.

不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有种，甲在首位的情况有种，所以符合要求的排法有-=2 160(种).

(2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置.

第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末两个位置上，有种方法；

第二步，从未排上的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种方法.

根据分步乘法计数原理，共有·=1 800(种)方法.

(3)把位置作为研究对象.

第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种方法；

第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种方法.

根据分步乘法计数原理，共有·=1 200(种)方法.

(4)间接法.

总的排法是种，减去甲在首位的种排法，再减去乙在末位的种排法.注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需加上种排法，所以共有-2+=1 860(种)排法.