高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.2 离散型随机变量的分布列达标测试

www.ks5u.com课时素养检测十二　离散型随机变量的分布列

(30分钟　55分)

一、选择题(每小题5分，共25分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1.(多选题)下列问题中的随机变量服从两点分布的是 (　　)

A.抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X

B.某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X

C.从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X=

D.某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X

【解析】选BCD.两点分布又叫0-1分布，所有的试验结果有两个，B，C，D满足定义，而A，抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X，则X的所有可能的结果有6种，不是两点分布.

2.若随机变量X的分布列如表所示，则a2+b2的最小值为 (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选C.由分布列性质可知a+b=，而a2+b2≥=.

3.从只有3张中奖彩票的10张彩票中不放回地随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时抽奖的次数，则P(X=3)等于              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选D.因为从只有3张中奖彩票的10张彩票中不放回地随机逐张抽取，那么所有的情况为 ，而X=3表示直至抽到中奖彩票时的次数为3，那么前两次没有中奖，最后一次中奖的情况为，因此概率为.

4.抛掷两枚骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于 (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.根据题意，有P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).抛掷两枚骰子，按所得的点数共构成36个样本点，而X=2对应(1，1)，X=3对应(1，2)，(2，1)，X=4对应(1，3)，(3，1)，(2，2)，故P(X=2)=，P(X=3)==，P(X=4)==，

所以P(X≤4)=++=.

5.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是 (　　)

A.都不是一等品    B.恰有一件一等品

C.至少有一件一等品  D.至多有一件一等品

【解析】选D.设取到一等品的件数是ξ，

则ξ=0，1，2，P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==.因为P(ξ=0)+P(ξ=1)=，所以满足题设的事件是“至多有一件一等品”.

二、填空题(每小题5分，共10分)

6.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P=________. 

【解析】设二级品有k个，所以一级品有2k个，三级品有个，总数为个.所以分布列为

所以P=P(ξ=1)=.

答案：

7.从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________. 

【解析】设所选女生人数为随机变量X，则P(X≤1)=

P(X=0)+P(X=1)=+=.

答案：

三、解答题(每小题10分，共20分)

8.在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个球，求取出的球中白球个数X的分布列.

【解析】X的可能取值是1，2，3，P(X=1)==；P(X=2)==；P(X=3)==.

故X的分布列为

9.袋中有4个红球、3个黑球，随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球.

(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率.

【解析】(1)从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，得分分别为5分，6分，7分，8分.故X的可能取值为5，6，7，8.

P(X=5)==，P(X=6)==，

P(X=7)==，P(X=8)==.

故所求分布列为

(2)根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=+=.

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1.设随机变量X的分布列为P=，则P

= (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选B.由概率和为1，可知++=1，解得a=3，P=P(X=2)+P(X=3)=+=.

2.某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是 (　　)

A.至少有1个深度贫困村

B.有1个或2个深度贫困村

C.有2个或3个深度贫困村

D.恰有2个深度贫困村

【解析】选B.用X表示这3个村中深度贫困村数，P==，P==，

P==，P==，

P+P=.

3.(多选题)10件产品中有2件次品，现任取n件，若2件次品全部被抽中的概率超过0.4，则n的值可以为              (　　)

A.9   B.8   C.7   D.6

【解析】选ABC.根据题意得P=>0.4，

所以>0.4，

所以1>0.4，所以n2-n-36>0，

所以n>，所以n的最小值为7.

4.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为 (　　)

A.恰有1个是坏的   B.4个全是好的

C.恰有2个是好的   D.至多有2个是坏的

【解析】选C.对于选项A，概率为=；对于选项B，概率为=；对于选项C，概率为=；对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰有一个坏的概率已经是>，故D选项不正确.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.设随机变量X的分布列为P(X=k)=m，k=1，2，3，则m的值为________. 

【解析】P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，

由离散型随机变量的分布列的性质知，

P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1，即++=1，解得m=.

答案：

6.已知随机变量X的分布列如表：

其中a是常数，则P的值为________. 

【解析】由分布列可知++=1，解得a=，

则P=P==.

答案：

7.某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)任选3人参加学校的义务劳动.设所选3人中女生人数为ξ，则ξ的分布列为________. 

【解析】ξ的所有可能取值为0，1，2，依题意得P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==.

答案：

8.某班有学生45人，其中O型血的有15人，A型血的有10人，B型血的有12人，AB型血的有8人，将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，现从中抽1人，其血型编号为随机变量X，则X的分布列为________. 

【解析】X的可能取值为1，2，3，4.

P==，P==，

P==，P==.

故X的分布列为

答案：

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.

【解析】(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P=×=.

(2)由题意可知，随机变量X的可能取值为200，300，400.

则P==，P==，

P(X=400)=1-P-P

=1--=.

故X的分布列为

10.唐代饼茶的制作一直延续至今，它的制作由“炙”“碾”“罗”三道工序组成.根据分析，甲、乙、丙三位学徒能通过“炙”这道工序的概率分别是0.5，0.6，0.5；能通过“碾”这道工序的概率分别是0.8，0.5，0.4；由于他们平时学习刻苦，都能通过“罗”这道工序.若这三道工序之间通过与否没有影响.

(1)求甲、乙、丙三位学徒中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率；

(2)设只要通过三道工序就可以制成饼茶，求甲、乙、丙三位学徒中制成饼茶人数X的分布列.

【解析】(1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过′炙′这道工序”，则所求概率P=P+P+P

=0.5×(1-0.6)×(1-0.5)+(1-0.5)×0.6×(1-0.5)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.5=0.35.

(2)甲制成饼茶的概率为P甲=0.5×0.8=0.4，同理P乙=0.6×0.5=0.3，P丙=0.5×0.4=0.2.

随机变量X的可能取值为0，1，2，3，

P=××=0.336，

P=0.4××+××0.2+×0.3×=0.452，

P=0.4×0.3×+0.4××0.2+×0.3×0.2=0.188，

P=0.4×0.3×0.2=0.024.故X的分布列为