高中双曲线的标准方程教学设计

这是一份高中双曲线的标准方程教学设计，共16页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。
本节对双曲线的教学,是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉基础上进行的,所以讲解时应采用类比的方法让学生以自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程,最后反思应用.双曲线的定义与椭圆的定义很相似,但不容易掌握而又非常重要,学习时要注意和椭圆的联系与区别,为深刻体会圆锥曲线的统一定义作好充分准备,又可对学生进行运动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
二、学情整体分析
学生已掌握了一些双曲线图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识通过椭圆的学习,学生已经对圆锥曲线有所了解,对探索圆锥曲线的方法基本掌握.通过类比的方法探究双曲线及其标准方程,学生比较熟悉通过探究、操作,归纳得出双曲线的定义,以及根据条件列出等式并化简整理得到双曲线的标准方程,同时对双曲线几何性质的探究学生皆可以类比椭圆的学习过程来完成.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.双曲线及其标准方程
2.双曲线的几何性质(1)
3.双曲线的几何性质(2)
【教学目标设计】
1.理解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程及其几何性质
2.运用双曲线标准方程解决相关问题.
【教学策略设计】
本节课内容为推导双曲线标准方程、研究双曲线的性质,这部分内容类似于椭圆的学习,教学中可以与其类比讲解,让学生自己进行探究,得到类似的结论.在教学中,学生自己能得到的结论应该让学生自己得到,凡是难度不大,经过学习,学生自己能解决的问题,应该让学生自己解决,这样有利于调动学生学习的积极性,同时也有利于学生建立信心,使他们的主动性得到充分发挥,从中提高学生的数学思维和解决问题的能力.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法.
2.掌握双曲线的几何性质.
难点 1.推导双曲线的标准方程.
2.双曲线方程的简单应用.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、_________________________________________
2.其他材料_____________________________________________________________
四、教学活动设计(课时建议:1课时)
教学导入
师:上本节课之前,同学们先思考一下这样的问题.
【情境设置】
探究双曲线的定义
如图所示,某中心O接到其正西、正东、正北方向三个观测点A,B,C的报告:A,C两个观测点同时听到一声巨响,B观测点听到的时间比A观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.假定当时声音传播的速度为340m/s,发出巨响的位置为点P,且A,B,C,O,P均在同一平面内.你能确定该巨响发生的,点的位置吗？
【设计意图】
通过实际问题,引导学生思考,引出双曲线的定义,发展学生数学抽象、直观想象的核心素养.
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】
生:其中|PA|=|PC|说明P在AC的中垂线上,并且|PB|−|PA|=4×340=1360,也说明点P有相应的位置,两个图像的交点就是巨响发生的点P的位置.
师:满足|PB|−|PA|=1360的点P轨迹又是什么呢？那么,这节课我们要研究的这个问题,也就是到两定点距离之差等于常数的点的轨迹是什么.
探究1 双曲线的定义
师:我们先看一下双曲线的定义.
【要点知识】
双曲线的定义
一般地,如果F1,F2,是平面内的两个定点,a是一个正常数,且2a|F1F2|呢？
生:若2a=|F1F2|,点P的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a>|F1F2|,点P的轨迹不存在.
师:定义中若常数为0,则点P的轨迹是什么？
生:此时P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
师:你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗？
【引导学生思考,自主动手研究,回答问题,教师予以肯定】
生:将拉链的一边截去一部分,将两端用图钉固定在两定点F1,F2处,将笔尖放在拉锁处,随着拉链沿不同部分拉开,笔尖就会画出一条曲线:调换拉链两端,重复刚才操作,还会画出一条曲线,最终作出的图形是双曲线的一部分,其中每一条曲线都称为双曲线的一支.
【以学定教】
在“做”中学,通过画双曲线的实验操作,经历概念的形成过程,积累感性经验,同时培养学生动手操作、观察分析、归纳概括的能力,引导学生自主合作探究,变被动为主动.
探究2 双曲线的标准方程
师:怎样从数学上证明满足双曲线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？
生:和椭圆的情形一样,可以用坐标法来探讨并求出双曲线的标准方程.
师:回顾一下求曲线方程的基本方法——坐标法,以及它的解题步骤.
生:(1)建系;(2)设点;(3)列式与代入;(4)化简与验证.
【师生共同求解双曲线方程】
师:(1)建系:以F1,F2所在直线为x轴,以线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
(2)设点:设P(x,y)是双曲线上任意一点,为了使F1,F2的坐标简单及化简过程不那么繁杂,设|F1F2|=2c(c>0),则F1(−c,0),F2(c,0).
(3)列式与代入:||PF1|−|PF2||=2a,
因为,
所以
【推测解释能力】
类比椭圆的标准方程进行推导,运用双曲线定义推导其标准方程.在此过程中注意以下几点:(1)明确求曲线的方程的大致步骤,避免推导过程中思维的盲目性;(2)以双曲线的标准方程的推导为载体,引导学生掌握推导圆锥曲线的方程的一般思路与方法;(3)以双曲线的标准方程概念为载体,深化学生对曲线与方程的关系的理解.通过推导提升推测解释能力.
(4)化简与验证
师:我们怎么化简两个带根式的式子？对于本式是直接平方好还是移项后再平方好呢？
【通过分析对比,最后选择移项平方】
生:由①得,
整理得
且②与①右边同时取正号或负号,①+②整理得
将③式平方,再整理得
因为c>a>0,所以c2−a2>0,
设c2−a2=b2,且b>0,则④可化为(a>0,b>0).⑤
【教师板书化简过程,让学生进一步明确标准方程的由来,体会化简的技巧】
师:从上述过程可以看到,双曲线上任意一点的坐标都满足方程⑤,以方程⑤的解(x,y)为坐标的点到双曲线的两个焦点F1(−c,0),F2(c,0)的距离之差的绝对值为2a,即以方程⑤的解为坐标的点都在双曲线上,由曲线与方程的关系知,方程⑤是双曲线的方程,通常称为焦点在x轴上的双曲线的标准方程.显然,满足方程⑤的点的坐标有无穷多组,这无穷多组解对应的点组成的双曲线如图所示.
【概括理解能力】
通过思考可以让学生进一步明确a,b,c的由来,加深对双曲线定义及标准方程的理解.提升概括理解能力.
师:设双曲线的焦点为F1,和F2,焦距为2c,而且双曲线上的动点P满足||PF1|−|PF2||=2a,其中c>a>0.以F1,F2所在直线为y轴,线段F1,F2的垂直平分线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
此时:
(1)双曲线焦点的坐标分别是什么？
(2)能否通过得到此双曲线的方程呢？
【学生独立思考,回答问题,教师予以肯定】
生:(1)双曲线的焦点坐标分别为F1,(0,−c),F2(0,c).
(2)变量x与y互换位置,就可以得到此时双曲线的方程为,⑥其中b2=c2−a2.这个方程通常称为焦点在y轴上的双曲线的标准方程.
师:我们共同总结一下两种双曲线标准方程特征.
【同学们积极思考,独立完成,师生共同总结】
【少教精教】
通过焦点在x轴上的双曲线的标准方程类比研究焦点在y轴上的双曲线的标准方程,化解难点,突出重点,强化推理方法.
【归纳总结】
双曲线的标准方程
【观察记忆能力】
通过对两个标准方程的总结,加深学生对双曲线标准方程的理解掌握,特别对焦点位置、三个参数的关系的理解,为求解双曲线的相关问题打下基础.提升观察记忆能力.
师:我们根据双曲线的标准方程总结一下双曲线标准方程的特征.
【师生共同总结,教师展示多媒体】
【归纳总结】
双曲线标准方程的特征
1.双曲线标准方程的形式:左边两个分式的平方差,右边是1.
2.a>0,b>0不可少,体会a,b,c的几何意义.
3.双曲线焦点的位置与标准方程中正项有关.
4.双曲线标准方程中三个参数a,b,c的关系:c2=a2+b2,c最大,a,b的大小不确定.
师:我们下面对双曲线的标准方程与椭圆的标准方程作比较.
【同学们积极思考,独立完成,教师及时肯定并展示多媒体】
【归纳总结】
椭圆和双曲线标准方程比较
【深度学习】
通过对椭圆和双曲线的对比总结,加深学生对两种曲线标准方程的理解掌握,特别是定义、焦点位置以及三个参数的关系.
师:下面看一道例题.
【典型例题】
求双曲线的标准方程
例1 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(−5,0),(5,0),且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8;
(2)双曲线的一个焦点坐标是(0,−6),且双曲线经过点A(−5,6).
【分析计算能力】
一个题目有不同的解法,我们可以从中选择简捷、自然的解题思路.本题突出双曲线定义的应用和待定系数法的解题方法.在解决问题的过程中,提升分析计算能力.
【引导学生积极思考,独立完成,并予以肯定】
生解:(1)由已知得c=5,2a=8,
所以a=4,b2=c2−a2=9.
因为焦点在x轴上,所以所求双曲线的标准方程为.
(2)由已知得双曲线的焦点在y轴上,且c=6,另一焦点坐标是(0,6),因为A在双曲线上,所以A到两焦点距离之差的绝对值是.
所以.
又因为焦点在y轴上,因此所求双曲线的标准方程是.
师:是否还有其他方法解决例题(2)?
生:也可以先设双曲线方程,再利用待定系数法求解.
师:回答正确！下面总结求双曲线标准方程的一般步骤及方法.
【以学定教】
强化求双曲线方程的方法.通过总结,进行对比,不仅使学生加深了对双曲线定义和标准方程的理解,而且有助于教学目标的实现.
【归纳总结】
求双曲线标准方程的一般步骤及方法.
1.“定位”:确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上.
2.“定量”:确定a2,b2的具体数值.
3.求双曲线标准方程的常用方法:待定系数法、定义法.
探究3 与双曲线有关的轨迹方程
师:下面我们探究一下与双曲线有关的轨迹问题.
【典型例题】
求动点的轨迹方程
例2 已知F,(−2,0),F,(2,0),动,点P满足|PF1|−|PF2|=2,求动点P的轨迹方程.
【分析计算能力】
数学概念是要在运用中得以巩固,通过课件展示例题使学生进一步理解双曲线的定义,掌握标准方程,并在解题过程中感受“数形结合”思想的优越性,同时提升分析计算能力.
【同学们积极思考,独立完成,教师指定学生回答,并进行方法总结】
生解:因为=10,b>0)的两个焦点,点P是双曲线C上的一点,若PF1⊥PF2且∠PF1F2=30°,求双曲线C的离心率.
解析:在Rt△PF1F2中,由题设可知:|F1F2|=2c,|PF2|=c,|PF1|=c,又|PF1|−|PF2|=2a,所以.
教学反思
学生前面已经学习了椭圆,基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法,而双曲线问题,与椭圆问题有类似性,知识的正迁移作用可在本节课中充分显示.也就是说,学生在经过前期解析几何的系统学习,已初步掌握了解析法思想和解析研究的能力,学习本课已具备一定的基础.在学习过程中,较双曲线而言,从直观图形轨迹到抽象概念的形成,中间一些细节问题的处理要求学生有更细致入微的分析和更强的领悟性,因此学生概括起来有更高的难度.特别是对于为什么需要加绝对值,c与a有怎样的大小关系,为什么是这样的,等等.在教学思想上,教师以“问题引导,探究交流”为主,兼容讲解、演示、合作等多种方式,力求灵活运用.在教学目标上,以突出解析思想为主,兼容知识与技能、过程与方法、情感与体验为一体,力求多元价值取向.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果,总结出教学过程中,为使学生更好得掌握双曲线的标准方程及其几何性质,需要在课堂教学时引导学生探究推导过程,一题多解,多独立解决例题和课堂练习进行巩固.必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
1.双曲线及其标准方程
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学抽象
直观想象
逻辑推理
数学运算
【考查内容】
1.根据几何条件求出双曲线的方程
2.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用
3.运用双曲线的方程与性质解决综合问题
【考查题型】
填空题、选择题、解答题为主
2.双曲线的几何性质(1)
数学抽象
直观想象
数学运算
逻辑推理
数学建模
3.双曲线的几何性质(1)
数学抽象
直观想象
数学运算
逻辑推理
数学建模
核心知识
1.双曲线及其标准方程
2.双曲线的几何性质(1)
3.双曲线的几何性质(2)
直观想象 数学抽象
逻辑推理 数学运算
数学建模
核心素养
焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
图形
焦点坐标
(−c,0),(c,0)
(0,−c),(0,c)
a,b,c之间的关系
类型
椭圆
双曲线
定义
a,b,c的关系
焦点在x轴上
焦点在y轴上