人教B版 (2019)双曲线的几何性质教案

这是一份人教B版 (2019)双曲线的几何性质教案，共18页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。
本节对双曲线的教学,是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉基础上进行的,所以讲解时应采用类比的方法让学生以自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程,最后反思应用.双曲线的定义与椭圆的定义很相似,但不容易掌握而又非常重要,学习时要注意和椭圆的联系与区别,为深刻体会圆锥曲线的统一定义作好充分准备,又可对学生进行运动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
二、学情整体分析
学生已掌握了一些双曲线图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识通过椭圆的学习,学生已经对圆锥曲线有所了解,对探索圆锥曲线的方法基本掌握.通过类比的方法探究双曲线及其标准方程,学生比较熟悉通过探究、操作,归纳得出双曲线的定义,以及根据条件列出等式并化简整理得到双曲线的标准方程,同时对双曲线几何性质的探究学生皆可以类比椭圆的学习过程来完成.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.双曲线及其标准方程
2.双曲线的几何性质(1)
3.双曲线的几何性质(2)
【教学目标设计】
1.理解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程及其几何性质
2.运用双曲线标准方程解决相关问题.
【教学策略设计】
本节课内容为推导双曲线标准方程、研究双曲线的性质,这部分内容类似于椭圆的学习,教学中可以与其类比讲解,让学生自己进行探究,得到类似的结论.在教学中,学生自己能得到的结论应该让学生自己得到,凡是难度不大,经过学习,学生自己能解决的问题,应该让学生自己解决,这样有利于调动学生学习的积极性,同时也有利于学生建立信心,使他们的主动性得到充分发挥,从中提高学生的数学思维和解决问题的能力.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法.
2.掌握双曲线的几何性质.
难点 1.推导双曲线的标准方程.
2.双曲线方程的简单应用.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、_________________________________________
2.其他材料_____________________________________________________________
四、教学活动设计(课时建议:1课时)
教学导入
师:上本节课之前,同学们先思考一下这样的问题.
【情境设置】
探究双曲线的定义
如图所示,某中心O接到其正西、正东、正北方向三个观测点A,B,C的报告:A,C两个观测点同时听到一声巨响,B观测点听到的时间比A观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.假定当时声音传播的速度为340m/s,发出巨响的位置为点P,且A,B,C,O,P均在同一平面内.你能确定该巨响发生的,点的位置吗？
【设计意图】
通过实际问题,引导学生思考,引出双曲线的定义,发展学生数学抽象、直观想象的核心素养.
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】
生:其中|PA|=|PC|说明P在AC的中垂线上,并且|PB|−|PA|=4×340=1360,也说明点P有相应的位置,两个图像的交点就是巨响发生的点P的位置.
师:满足|PB|−|PA|=1360的点P轨迹又是什么呢？那么,这节课我们要研究的这个问题,也就是到两定点距离之差等于常数的点的轨迹是什么.
师:我们上节课刚刚学习了双曲线的标准方程,请同学们回忆双曲线的标准方程是怎样的？它们有几种形式？
生:(1)焦点在x轴上:.
(2)焦点在y轴上:
师:与用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质一样,本节课我们用双曲线的标准方程研究双曲线的范围、形状、对称性和特殊点等.
【设计意图】
教师提出问题,学生回忆双曲线的定义和标准方程,通过对前一节内容的复习,引出课题,通过坐标法研究双曲线的几何性质.
【情境设置】
利用双曲线的方程探究双曲线的几何性质
已知双曲线C的方程为,根据这个方程完成下列任务:
(1)观察方程中x与y是否有取值范围,由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征;
(2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称;
(3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点,如果有,求出交点坐标;
(4)如果(x,y)满足双曲线C的方程,说出当|x|增大时,|y|将怎样变化,并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点.
【设活动 深探究】
通过具体的双曲线方程,类比椭圆讨论双曲线的几何性质.利用双曲线的标准方程来研究双曲线的几何性质,再次体会用代数方程研究曲线性质的思想和方法.
【教师引导学生思考,自主研究,回答问题,并予以肯定】
生:(1)由实数的平方是一个非负数,可得x≤−1或x≥1,y∈R.从图上可以看出双曲线C位于直线x=−1与x=1所夹平面区域的外侧,如图所示.
(2)由方程可以看出如果(x,y)是方程的解,那么显然(x,−y),(−x,y),(−x,−y)都是方程的解,所以x轴、y轴是双曲线C的对称轴,原点O是双曲线C的对称中心.
(3)在方程中,令y=0,可得x=−1或x=1,而令x=0,方程无解,所以双曲线C与x轴有两个交点(−1,0),(1,0),与y轴无交点.
(4)当|x|增大时,|y|也增大,也就是说,双曲线C向四周无限延展.
师:一般地,如果双曲线C的标准方程是,①
可以得到双曲线C有哪些几何性质？
【引导学生思考,师生共同解决】
(1)范围
师:如何从方程①中得到范围？
生:由方程可得,所以x≤−a或x≥a,这样可知双曲线位于两直线x=−a和x=a所夹平面区域的外侧.如图所示
【整体设计 分步落实】
通过双曲线的标准方程,运用方程与函数的思想,获得双曲线的几何性质,进而推广到一般,帮助学生进一步体会数形结合的思想方法,发展学生数学运算、数学抽象和逻辑推理的核心素养.
(2)对称性
师:如何从方程①中得到对称性？
生:如果(x,y)是方程①的解,那么显然(x,−y),(−x,y),(−x,−y)都是①的解,所以x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点O是双曲线的对称中心.
师:下面看一下和对称性相关的一组概念.
【要点知识】
双曲线的对称性的图像关于x轴、y轴和原点对称,x轴、y轴是双曲线的对称轴,坐标原点是对称中心,双曲线的对称中心也称为双曲线的中心.
【少教精教】
通过少教精教使学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法.展示双曲线的对称性,使学生体会双曲线的对称美.
(3)顶点
师:如何由方程①得到与坐标轴的交点？
生:令y=0,可得x=−a或x=a,而令x=0,方程无解,所以双曲线与x轴有两交点A1(−a,0),A2(a,0),与y轴无交点.
师:与双曲线的顶点有关的概念如下.
【要点知识】
双曲线的顶点、实轴与虚轴
在双曲线的标准方程(a>0,b>0)中,A1(−a,0),A2(a,0)就是双曲线的顶点,线段A1A2称为双曲线的实轴.
记B1(0,−b),B2(0,b),称线段B1B2为双曲线的虚轴.
双曲线的两个焦点在它的实轴所在的直线上,实轴长为2a,虚轴长为2b.a,b分别是双曲线的半实轴长和半虚轴长.
【推理论 深度学】
引导学生观察并思考双曲线的范围、对称性、顶点这几个问题;在得到结论后,鼓励学生利用双曲线方程和坐标法,给出代数证明,逐步形成运用坐标法研究思考几何问题的解析几何思维模式,深化数形结合思想.
(4)渐近线
师:由方程①可以看出,双曲线上一点P(x,y)的横纵坐标的变化情况:当|x|增大时,|y|也增大.那么双曲线向四周无限延展,这种向四周无限延展还有什么性质呢？
根据对称性,先考虑第一象限情况:
将方程①改写成(x>a),这样便于考察y随x的变化是如何变化的.
当x>a时,.
从图像看,双曲线始终在直线的下方,不会与之相交.
而且,当x越来越大时,这样点P越来越接近直线.
因此,从几何直观上看（如图所示）,双曲线在第一象限随着x的增加,越来越接近直线但又始终不相交.根据对称性,在其他几个象限也是这样的,双曲线在四个方向上越来越接近这两条直线和名,但不会与这两条直线相交.
【观察记忆能力】
通过双曲线的图像,直观分析双曲线的渐近线与图像的变化关系.由此锻炼观察记忆能力,提升直观想象核心素养.
【以学定教】
由于教师的适时引导,增强了学生的问题意识,调动学生参与问题讨论的积极性,培养逻辑推理核心素养,在研究双曲线的性质中能够突出重点,化解难点.
换个角度来看上述情形,仍以第一象限为例.
计算点P到直线(即bx−ay=0)的距离d,
当x无限增大时,d无限减小并趋近于0(但不等于0),所以在第一象限内,随着x的增大点P会越来越接近直线,但不会与这条直线相交.
【多媒体展示】
双曲线的渐近线
根据双曲线的对称性可知,双曲线(a>0,>0)向外无限延伸时,总是在由直线与直线相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个区域内,并无限接近于这两条直线,但永远不会与它们相交,直线与直线都称为双曲线(a>0,b>0)的渐近线.
【推理论 深度学】
通过诱导、分析,巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程.也可以借助多媒体用几何画板动态演示双曲线上点的移动过程,让学生直观感受渐近线的变化过程,加深对渐近线的理解.
师:如何才能把双曲线的图像画得好一点？
生:先画出矩形和渐近线,其中矩形的对角线就是渐近线,这样有利于确定双曲线的大致形状,再来画双曲线.
师:已知双曲线方程如何求渐近线方程？
生:对于双曲线(a>0,b>0).
令.
师:在双曲线方程(a>0,b>0)中,如果a=b,渐近线是什么？
生:此时方程变为x2−y2=a2,双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a.这时,四条直线x=±a,y=±a围成正方形,渐近线方程为y=±x,它们互相垂直,并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.
【少教精教】
让学生自主探究双曲线的几何性质.凡是难度不大,经过学习学生自己能解决的问题,应该让学生自己解决,这样有利于调动学生学习的积极性,使学生建立信心,同时他们的主动性得到充分发挥,从中提高学生的思维能力和解决问题的能力.
师:下面请看等轴双曲线的相关概念.
【要点知识】
等轴双曲线
等轴双曲线是实轴与虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x.
(5)离心率
师:椭圆有离心率,双曲线也有离心率.
【多媒体展示】
双曲线的离心率
双曲线的半焦距与半实轴长之比称为双曲线的离心率.
师:定义双曲线的半焦距与半实轴之比为离心率,即,那么e的取值范围是什么？
生:因为c>a>0,所以可以看出e>1.
师:通过2个具体例子比较来看:,猜想双曲线离心率的大小与双曲线的形状有什么联系.
生:当固定a不变时,双曲线的离心率与双曲线的形状可以从图中看出来,其中两个双曲线的离心率分别为,.猜想双曲线的离心率越大,双曲线的张口“越大”离心率越小,“张口”越小.
【概括理解能力】
通过绘制不同双曲线的图像,启发学生发现影响双曲线形状的量;在得到离心率概念后,再通过代数方法去论述其变化与双曲线的关系,巩固运用坐标法研究几何问题的思维模式和概括理解能力.
师:回答正确！下面我们一起尝试说明.
因为,这说明e越趋近于1,则的值越小,因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄,即“张口”越小;e越来越大时,则的值越大,因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越开阔,即“张口”越大.
师:当一条直线与双曲线的渐近线平行时,它与双曲线有几个公共点？
生:1个.
师:如果双曲线C的标准方程是(a>0,b>0),那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中,哪些与焦点在x轴上的双曲线是有区别的？
生:(1)范围:y≤−a或y≥a.
(2)对称性.
对称轴:x轴和y轴.
对称中心:原点.
(3)实轴的两个端点即顶点坐标:A1(0,−a),A2(0,a).
虚轴的两个端点:B1(−b,0),B2(b,0).
实轴:线段A1A2.
虚轴:线段B1B2.
(4)渐近线方程:x=±y,即y=±x.
(5)离心率:e=,e∈(1,+∞).
师:由此可知,对称性、焦距、实轴长、虚轴长、离心率等都与焦点在x轴上的双曲线是一致的,是双曲线本身固有的性质.
师:你能整理出双曲线标准方程和(a>0,b>0)的几何性质吗？
【发现创新能力】
通过研究焦点在x轴的双曲线的标准方程类比研究焦点在y轴的双曲线的标准方程,化解难点,突出重点,强化推理方法.提升发现创新能力.
【以学论教】
将两个标准方程进行总结,加深学生对双曲线几何性质的理解掌握,为求解双曲线的相关问题打下基础.
【学生总结、整理,教师展示多媒体】
【归纳总结】
双曲线的几何性质
【概括理解能力】
理解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率,掌握这些性质是解决有关问题的基础.归纳知识,有利于学生理清知识脉络,深化学生对性质的理解,提升概括理解能力.
师:我们来看一下例题.
【典型例题】
双曲线几何性质的应用
例1 求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线方程.
(1) (2)x2−y2=−9.
【推测解释能力】
已知双曲线的标准方程分析它的几何性质,通过例1进一步体会解析的思想方法,发展学生的推测解释能力和数学运算、数学抽象的核心素养.
【同学们积极思考,独立完成,教师指定学生回答】
生解:(1)由方程可知,焦点在x轴上,且a2=9,b2=16,
所以c2=a2+b2=25,即c=5.
所以实轴长2a=6,焦点坐标为(−5,0),(5,0).
离心率.渐近线方程为y=±x.
(2)将双曲线方程化成标准方程形式为.
可知焦点在y轴上,且a2=b2=9,
所以c2=a2+b2=18,即c=3.
所以实轴长2a=6,焦点坐标为(0,−3),(0,3).
离心率.渐近线方程为）y=±x.
师:下面请看例2题.
【自主学习】
学生自主求解双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程,在解题过程中巩固基础知识,发展逻辑推理能力和实际应用能力.
【典型例题】
双曲线几何性质的应用
例2 求双曲线nx2−my2=mn(m>0,n>0)的实轴长、焦点坐标、离心率及渐近线方程.
【同学们积极思考,独立完成,教师指定学生回答】
生解:把方程nx2−my2=mm(m>0,>0)化为标准方程为(m>0,n>0),
由此可知,实轴长2a=2,虚轴长2b=2,c=,
焦点坐标为(,0),(−,0),
离心率,
渐近线方程为.
师:从上面的例题我们总结出由双曲线的方程研究其几何性质的注意点.
【分析计算能力】
通过特殊的双曲线标准方程几何性质的研究,推广到一般双曲线方程.在学生解决问题的过程中,发展数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养,提升分析计算能力.
【归纳总结】
由双曲线的方程研究其几何性质的注意点
1.把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.
2.由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值,注意区分焦点在x轴或y轴.
3.由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
师:好的,同学们,下面请回忆一下,本节课的重点概念.
【课堂小结】
双曲线的几何性质(1)
1.双曲线的范围、对称性、顶点坐标、离心率、渐近线等概念及其几何意义.
2.双曲线的几个基本量a,b,c及其相互之间的关系.
3.双曲线的几何性质和椭圆类似,注意它们的不同,尤其要重视对渐近线的认识,要从几何和代数两个角度加以理解.
【设计意图】
总结归纳由双曲线的方程研究其几何性质的重难点,启发学生进行归纳整理,培养学生宏观掌握知识的概括理解能力.
教学评价
双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种,我们是先学习椭圆,再学习双曲线,这充分考虑了紧密联系知识体系和由易到难的教学要求,符合学生的学习规律,前面有椭圆知识及学习方法的铺垫,后面有抛物线学习的综合加强,有利于学生掌握和巩固.应用所学知识,完成下面各题:
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)以椭圆长轴的端点为焦点,且经过点(3,);
(2)a=b,经过点(3,−1);
(3)过点P(3,−),离心率为;
(4)与椭圆有公共焦点,且离心率.
【设计意图】
学生在掌握双曲线的定义及标准方程之后,反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质.灵活运用双曲线的定义、方程、性质、体会解析几何这门学科的研究方法,培养学生的解析几何观念,提高学生的数学核心素养.
解析:本题主要考查用待定系数法求双曲线的标准方程,首先根据条件判断双曲线的焦点的位置然后设定方程,最后寻找a,b的关系并求解其中,与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为.
(1)由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且c=2.
设双曲线的标准方程为.
则有,将点(3,)代入方程得,解得.
故所求双曲线的标准方程为.
(2)当焦点在x轴上时,可设双曲线的方程为x2−y2=a2,将点(3,−1)代入,得32−(−1)2=a2,所以a2=62=8.故所求的双曲线的标准方程为.
当焦点在y轴上时,可设双曲线的方程为,
将点(3,−1)代入,得(−1)2−32=a2,a2=−8(舍去),
所以焦点不可能在y轴上.
综上,双曲线的标准方程为.
【分析计算能力】
从基础入手,通过评价练习,使学生更好地理解双曲线标准方程的两种形式,以及各个量之间的关系,掌握求双曲线标准方程的方法.培养分析计算能力.
(3)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为,
∵e=,∴,即a2=b2.①
又双曲线过P(3,−),∴,②
由①②得a2=b2=4,故双曲线方程为.
若双曲线的焦点在y轴上,
设其方程为,同理有a2=b2,③
,④
由③④得a2=b2=−4(舍去).
综上,双曲线的标准方程为.
【简单问题解决能力】
通过设计不同层次的习题,让学生能够理解并运用双曲线的几何性质,解决简单的双曲线问题;也让学有余力的学生有所提高,从而达到激发学生学习兴趣的目的.培养简单问题解决能力.
(4)由椭圆方程知,,
所以椭圆的焦点是F1(−,0),F2(,0).
因此双曲线的焦点为(−,0),(,0).
设双曲线的标准方程为,
由已知条件,有,解得
所以所求双曲线的标准方程为.
2.一块面积为12公顷的三角形形状的农场,如图所示,在△PEF中,已知tan∠PEF=,tan∠PFE=−2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.
【简单问题解决能力】
通过双曲线实际应用的练习,帮助学生形成基本解题思路,进一步体会数形结合的思想方法和利用双曲线的定义解决实际问题的基本步骤.发展学生简单问题的解决能力,提升数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.
解析:本题主要利用特定系数法求解双曲线的标准方程.
以EF所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图.
设以E,P为焦点目过点P的双曲线方程为,焦点为E(−c,0),F(c,0).
由tan∠PEF=,tan∠EFP=−2,
设∠PFx=α,则tanα=tan(π−∠EFP)=2,
得直线PE和直线PF的方程分别为y=(x+c)和y=2(x−c).
联立两方程,解得,,即点P的坐标.
∵在△EFP中,|EF|=2c,EF上的高为点P的纵坐标,
∴,即点P的坐标为(5,4).
由两点间的距离公式可知,
.
.
故所求双曲线的方程为.
【推测解释能力】
通过利用双曲线几何性质知识进行评价练习,学生自主解决问题,提升学生的推测解释能力,发展学生数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
【综合问题解决能力】
设计综合题使学生成为学习的主体,由被动地接受变成主动地获取通过讨论,让学生互相交流,互相学习,培养他们的合作意识和谦虚好学的品质.在师生互动的过程中,让学生体会数学的严谨,使他们的综合问题解决能力得到训练.
3.设F1F2是双曲线C:(a>0,b>0)的两个焦点,点P是双曲线C上的一点,若PF1⊥PF2且∠PF1F2=30°,求双曲线C的离心率.
解析:在Rt△PF1F2中,由题设可知:|F1F2|=2c,|PF2|=c,|PF1|=c,又|PF1|−|PF2|=2a,所以.
教学反思
学生前面已经学习了椭圆,基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法,而双曲线问题,与椭圆问题有类似性,知识的正迁移作用可在本节课中充分显示.也就是说,学生在经过前期解析几何的系统学习,已初步掌握了解析法思想和解析研究的能力,学习本课已具备一定的基础.在学习过程中,较双曲线而言,从直观图形轨迹到抽象概念的形成,中间一些细节问题的处理要求学生有更细致入微的分析和更强的领悟性,因此学生概括起来有更高的难度.特别是对于为什么需要加绝对值,c与a有怎样的大小关系,为什么是这样的,等等.在教学思想上,教师以“问题引导,探究交流”为主,兼容讲解、演示、合作等多种方式,力求灵活运用.在教学目标上,以突出解析思想为主,兼容知识与技能、过程与方法、情感与体验为一体,力求多元价值取向.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果,总结出教学过程中,为使学生更好得掌握双曲线的标准方程及其几何性质,需要在课堂教学时引导学生探究推导过程,一题多解,多独立解决例题和课堂练习进行巩固.必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
1.双曲线及其标准方程
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学抽象
直观想象
逻辑推理
数学运算
【考查内容】
1.根据几何条件求出双曲线的方程
2.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用
3.运用双曲线的方程与性质解决综合问题
【考查题型】
填空题、选择题、解答题为主
2.双曲线的几何性质(1)
数学抽象
直观想象
数学运算
逻辑推理
数学建模
3.双曲线的几何性质(1)
数学抽象
直观想象
数学运算
逻辑推理
数学建模
核心知识
1.双曲线及其标准方程
2.双曲线的几何性质(1)
3.双曲线的几何性质(2)
直观想象 数学抽象
逻辑推理 数学运算
数学建模
核心素养
标准方程
(a>0,b>0)
(a>0,b>0)
性质
图形
焦点坐标
(−c,0),(c,0)
(0,−c),(0,c)
焦距
2c
范围
x≤−a或x≥a,y∈R
y≤−a或y≥a,x∈R
对称性
对称轴:x轴、y轴;对称中心:原点
顶点坐标
A1(−a,0),A2(a,0)
A1(0,−a),A2(0,a)
轴
实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;半实轴长:a,半虚轴长:b
离心率
∈(1,+∞),其中c=
渐近线
a,b,c之间的关系