数学选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.1 双曲线的标准方程导学案

双曲线的标准方程

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一双曲线的定义

一般地，如果是平面内的两个定点，是一个① 正常数，且，则平面上满足的动点的轨迹称为双曲线，其中，两个定点称为双曲线的焦点，两个焦点的距离称为双曲线② 焦距 .

要点二双曲线的标准方程

1.焦点在轴上的双曲线的标准方程：，其中 . 此时，双曲线的焦点为 .

2.焦点在轴上的双曲线的标准方程：③ ，其中 . 此时，双曲线的焦点为 .

自主思考

1.点，若，则点的轨迹是双曲线吗？

答案：提示不是. 因为，所以点的轨迹是一条射线.

2.双曲线的焦点在轴上，且，对吗？

答案：提示不对. 双曲线的焦点在轴上，但是不一定 .

名师点睛

 1.对双曲线定义的两点说明

（1）定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支，设分别表示双曲线的左、右焦点.若，则点M在右支上；若，则点在左支上.

（2）双曲线定义的双向运用：

①若，则动点的轨迹为双曲线；

②若动点M在双曲线上，则 .

2.双曲线的标准方程的说明

（1）只有当双曲线的两焦点在坐标轴上，并且线段的垂直平分线也是坐标轴时，得到的方程才是双曲线的标准方程.

（2）标准方程中的两个参数和确定了双曲线的形状，是双曲线的定形条件，这里，与椭圆中相区别，且椭圆中，但的大小关系不确定，而双曲线中，的大小关系不确定.

互动探究·关键能力

探究点一求双曲线的标准方程

精讲精练

例分别根据下列条件，求双曲线的标准方程.

（1）经过点；

（2），经过点(-5,2)，焦点在轴上.

答案：（1）设双曲线的方程为 .

两点在双曲线上，

解得

所求双曲线的标准方程为 .

（2）依题意可设双曲线的方程为，

则解得所求双曲线的标准方程为 .

解题感悟

求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出的值. 若焦点位置不确定，可按焦点在轴和轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂.若双曲线过两定点，可设其方程为，通过解方程组即可确定的值，避免了讨论.

迁移应用

 1.求满足下列条件的双曲线的标准方程.

（1）焦距为26，且经过点；

（2）与双曲线有公共焦点，且过点 .

答案：（1）双曲线经过点为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，则设双曲线的方程为，且 .

又 .

双曲线的标准方程为 .

（2）设双曲线的标准方程为 .由题意，知 .

双曲线过点 .

又 .

故双曲线的标准方程为 .

探究点二双曲线的定义

精讲精练

例如图所示，已知定圆，定圆动圆M与定圆都外切，求动圆圆心的轨迹方程.

答案：圆，圆心，半径 .

圆，圆心，半径 .

设动圆M的半径为，则有，

.

点的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，且 .

轨迹方程为 .

解题感悟

（1）求解与双曲线有关的点的轨迹问题常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.

（2）求解轨迹为双曲线的问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.

迁移应用

1.（2021河北保定第二中学高二期末）圆的半径为，是圆外一个定点，是圆上任意一点. 线段的垂直平分线和直线相交于点，当点P在圆上运动时，点的轨迹是(     )

A.直线B.圆

C.椭圆D.双曲线（一支）

答案：

解析：连接，因为是线段的垂直平分线，所以，因为，所以，所以点的轨迹是以点为焦点的双曲线的一支，故选D.

2.平面内动点到定点的距离比它到定点的距离大6，则动点的轨迹方程是 .

答案：

解析：由知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支.

易知，所以，

所以动点的轨迹方程是 .

探究点三双曲线的定义和标准方程的应用

精讲精练

例（1）（2021天津南开高二月考）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是(     )

A.(-1,3)B. C.(0,3)D.

（2）（2020湖南衡阳田家炳实验中学高二期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交双曲线的右支于两点，若是等腰三角形，且，则的周长为(     )

A. B.

C. D.

（3）（2020山东聊城一中高二月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使得，则的面积为(     )

A. B. C. D.

答案：（1）（2）（3）

解析：（1）由题意知，双曲线的焦点在x轴上，所以，解得，即，因为方程表示双曲线，所以解得所以的取值范围是(-1,3)，故选A.

（2）由双曲线可得 . 设 . 因为，所以 .

因为是等腰三角形，且，

所以，即，所以，所以，

在中，由余弦定理得，，

即，

所以，解得，

的周长 .

（3），所以，

点在双曲线上，设 ①.

，

在中，根据余弦定理可得

，故 ②.

由①②可得，

的面积 .

解题感悟

（1）求双曲线中焦点三角形面积的方法：

①根据双曲线的定义求出；

②利用余弦定理表示出之间满足的关系式；

③通过配方，利用整体的思想求出的值；

④利用公式求得面积.

（2）由双曲线的方程求参数的值或取值范围的关键是将方程化为标准方程，找到，利用的关系即可解决问题.

迁移应用

1.已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为(     )

A. B. C. D.

答案：

解析：由题意可得，则，

由为双曲线右支上一点，可得，

因为，

所以，则的周长为，故选C.

2.（2021山东济南历城二中高二期中）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的面积是(     )

A.4B.2C.1D.

答案：

解析：由双曲线可知，

所以，两边平方可得 .

因为，所以，

因此可得，所以 .

评价检测·素养提升

课堂检测

1.已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左，右焦点，若，则 (     )

A.2B.3C.5D.6

答案：

2.（2021北京昌平一中高二期中）已知双曲线的一个焦点坐标是(2,0)，则的值为(     )

A.1B.3C.3D.5

答案：

3.（2020山东滨州高二期中）已知双曲线的焦距为10，且，则的方程为(     )

A. B.

C. D.

答案：

4.设分别是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于(     )

A. B. C.6D.10

答案：

素养演练

数学运算——利用双曲线的定义求最值

1.已知点是双曲线的左焦点，定点是双曲线右支上的动点，则的最小值为(     )

A.7B.8C.9D.10

答案：

解析：审：已知定点，双曲线的方程及双曲线上的动点，求的最小值.

联：设双曲线的右焦点为，作出图形，根据双曲线的定义可得，则，利用三点共线时，取得最小值即可得解.

解：是双曲线的左焦点，

如图，设双曲线的右焦点为，则，由双曲线的定义可得①，则，

所以，

当且仅当②三点共线时，等号成立，因此，的最小值为9. 故答案为C.

思：求解双曲线有关的线段长度和、差的最值时，都可以通过双曲线的定义分析问题，当三点共线时，可得到最值.