数学选择性必修 第一册双曲线的标准方程教学设计

这是一份数学选择性必修 第一册双曲线的标准方程教学设计，共5页。教案主要包含了探究新知，应用举例，课堂小结，课后作业等内容，欢迎下载使用。
一、探究新知
问题1:我们已经学习过椭圆.椭圆是平面上一个动点到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹.当然,这个定长要大于这两个定点之间的距离.那么,平面上到两个定点距离之差是一个定长的点的轨迹是什么呢?
【师生活动】可以由学生动手完成教材第页的活动:利用拉链制作得到双曲线的过程.
设计意图:数学教学应当从问题开始.首先设疑,提出新的问题，打破知识结构的平衡，引发学习兴趣.
问题2:如图,在运动中,这条曲线上的点所满足的几何条件是什么?
【师生活动】分析活动中的“变”与“不变”的条件.在拉链拉开后,是定长,的长都在变化,但是它们的差不变.
设计意图:弄清曲线上的点所满足的几何条件是建立曲线方程的关键之一.
问题3:能否说,这条曲线是平面上一个动点到两个定点距离之差等于定长的点的轨迹呢?
【师生活动】调换固定在处的图钉再进行操作,出现双曲线的另一支.
设计意图:把固定在处的图动调换位置,得到双曲线的另一支.
问题应该如何描述动点所满足的几何条件呢?
【师生活动】双曲线是平面上一个动点到两个定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹.
设计意图:整理活动结果,归纳抽象成数学问题,提升数学抽象核心素养.
问题5:还有其他约束条件吗?
【师生活动】师生共同讨论:平面上一个动点到两个定点距离之差的绝对值等于这两个定点间的距离的点的轨迹是什么?
设计意图:这个“差”要小千这两个定点之间的距离,即,加深对双曲线概念的理解.
结论1.双曲线的定义.
写出动点所满足的几何条件的点的集合:||.
明确双曲线的定义:一般地,如果是平面内的两个定点,是一个正常数,且,则平面上满足||的动点的轨迹称为双曲线,其中,两个定点称为双曲线的焦点,两个焦点的距离称为双曲线的焦距.
问题我们是怎样建立坐标系求椭圆标准方程的?又应当怎样建立适当的坐标系求双曲线的方程呢?
【师生活动】所谓适当,应当分析曲线的某些特征(如对称性等),使方程比较简单:以线段的中点为原点,以的垂直平分线为轴建立直角坐标系.
设计意图:求曲线方程时,建立坐标系要适当.
结论2.完成了“建系”,设点是双曲线上的任意一点,双曲线的焦距为,那么焦点的坐标分别是.又设点与的距离的差的绝对值等于常数.
由定义可知,双曲线就是集合.
因为,
所以.
问题7:怎样化简方程|?
【师生活动】请名学生板演化简方程.教师观察一些同学(尤其是学习有困难的学生)的化简过程.
设计意图:与化简椭圆方程相联系,运用化简椭圆方程的经验,提升学生逻辑推理素养与数学运算素养.
让相邻座位的两位同学相互检查方程化简的过程,看是否得到正确结果,出现过什么问题.
教师引导学生评价板演情况.肯定好的方面,如表达规范、运算简洁;如有问题,找出问题的原因.
因为已有化简椭圆方程的经验,由,设,得到.学生并不会感到困难,只是对的意义的认识不如椭圆那么容易,可以暂时放一放.
问题8:你能在轴上找一点,使得吗?
【师生活动】以双曲线与轴的交点为圆心,以线段(或为半径画圆交轴于点.
设计意图:学生对椭圆方程中的认识已经很清楚.这里对的意义的认识也很容易,借助(形似勾股定理,找一条直角边,又指定要在轴上找),找点,应该不困难.以此提升学生的直观想象核心素养.
问题椭圆有两个标准方程,双曲线也有两个吗?另一个是如何得到的?
【师生活动】有.另一个是.把方程中的对调.
师指出:和分别称为焦点在轴、轴上的双曲线的标准方程.
设计意图:反复与椭圆类比,既加强与已有知识的联系,又找出与旧知识的不同之处(“同化”与“顺应”),提升逻辑推理与直观想象核心素养.
二、应用举例
例1 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程:
（1）两个焦点的坐标分别是,且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于;
（2）双曲线的一个焦点坐标是,且双曲线经过点.
解 （1）由已知得.因此,且.又因为双曲线的焦点在轴上,所以所求的双曲线的标准方程是
（2）由已知得双曲线的焦点在轴上,且,所以另一个焦点坐标为.
因为点在双曲线上,所以点与两焦点的距离的差的绝对值为
，
因此,从而.
因此,所求双曲线的标准方程是
例2 已知,动点满足
，
求动点的轨迹方程.
解 因为,所以根据双曲线的定义可知,一定在且焦点在轴上的双曲线上.这就是说,点的坐标一定满足
.
另一方面,由可知,因此的横坐标要大于零,从而可知的轨迹方程为
.
【师生活动】请名学生板演.
设计意图:双曲线标准方程的应用.
三、课堂小结
1.我们已经学习了双曲线,双曲线是怎样的点的轨迹?
2.双曲线标准方程是怎样的?
四、课后作业
教材第141页练习第题.
板书设计
教学研讨
1.在学习双曲线之前，学生已经学习过椭圆，对椭圆的定义、如何建立椭圆的标准方程都有所了解.因此，教学中要注意运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立有关双曲线的知识结构.
2.教学中，可以把教学内容编成一系列问题，通过问题链、问题解决，形成新的知识结构3.学生能干的事让学生去干，在教学中，可以运用板演、相互交流、相互检查等方式，让学生开展合作学习.教学时要让学生自己体会得到结论的过程，而不是把结论直接拋给学生，注意加强学习过程中学生的主动研究.
2.6.1双曲线的标准方程
一、探究新知
1.双曲线的定义
一般地,如果是平面内的两个定点,是一个正常数,且,则平面上满足||的动点的轨迹称为双曲线,其中,两个定点称为双曲线的焦点,两个焦点的距离称为双曲线的焦距
2.双曲线的标准方程
和分别称为焦点在轴、y轴上的双曲线的标准方程
二、运用举例
例1
例2
三、课堂小结
四、课后作业